广东省清连中学2024届数学高二第二学期期末综合测试试题含解析

广东省清连中学2024届数学高二第二学期期末综合测试试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知是虚数单位，是的共轭复数，若，则的虚部为（）A． B． C． D．2．一位母亲根据儿子岁身高的数据建立了身高与年龄(岁)的回归模型，用这个模型预测这个孩子岁时的身高，则正确的叙述是（）A．身高在左右 B．身高一定是C．身高在以上 D．身高在以下3．函数为偶函数，且在单调递增，则的解集为A． B．或C． D．或4．已知集合，，则()A． B． C． D．5．若复数，则（）A． B． C． D．6．已知展开式中项的系数为，其中，则此二项式展开式中各项系数之和是（）A． B．或 C． D．或7．已知集合，或，则（）A． B．C． D．8．已知复数（是虚数单位），则复数的共轭复数（）A． B． C． D．9．如图，棱长为1的正方体中，P为线段上的动点（不含端点），则下列结论错误的是A．平面平面B．的取值范围是（0，]C．的体积为定值D．10．一同学在电脑中打出如下若干个圈：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●……若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前55个圈中的●个数是（）A．10 B．9 C．8 D．1111．已知,为的导函数，则的图象是（）A． B．C． D．12．函数是（）A．偶函数且最小正周期为2 B．奇函数且最小正周期为2C．偶函数且最小正周期为 D．奇函数且最小正周期为二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．的展开式中的常数项为______。14．已知甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为，，，若他们3人分别向目标各发1枪，则三枪中至少命中2次的概率为______．15．在正项等比数列中，，，则公比________.16．行列式的第2行第3列元素的代数余子式的值为________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆的右焦点为，过作轴的垂线交椭圆于点（点在轴上方），斜率为的直线交椭圆于两点，过点作直线交椭圆于点，且，直线交轴于点.（1）设椭圆的离心率为，当点为椭圆的右顶点时，的坐标为，求的值.（2）若椭圆的方程为，且，是否存在使得成立？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由.18．（12分）已知定点及直线,动点到直线的距离为,若.(1)求动点的轨迹C方程；(2)设是上位于轴上方的两点,坐标为,且,的延长线与轴交于点,求直线的方程.19．（12分）已知函数在处取得极值．(1)求实数a的值；(2)若关于x的方程在区间上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围．20．（12分）已知不等式的解集为．（1）求集合；（2）设实数，证明：．21．（12分）袋中有形状和大小完全相同的四种不同颜色的小球，每种颜色的小球各有1个，分别编号为1，2，3，1．现从袋中随机取两个球．（Ⅰ）若两个球颜色不同，求不同取法的种数；（Ⅱ）在（1）的条件下，记两球编号的差的绝对值为随机变量X，求随机变量X的概率分布与数学期望．22．（10分）已知二次函数f（x）的最小值为﹣4，且关于x的不等式f（x）≤0的解集为{x|﹣1≤x≤3，x∈R}．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数g（x）的零点个数．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】由题意可得：，则，据此可得，的虚部为.本题选择A选项.2、A【解题分析】

由线性回归方程的意义得解.【题目详解】将代入线性回归方程求得由线性回归方程的意义可知是预测值，故选．【题目点拨】本题考查线性回归方程的意义，属于基础题.3、D【解题分析】

根据函数的奇偶性得到，在单调递增，得，再由二次函数的性质得到，【题目详解】函数为偶函数，则，故，因为在单调递增，所以.根据二次函数的性质可知，不等式，或者，的解集为，故选D.【题目点拨】此题考查了函数的对称性和单调性的应用，对于抽象函数，且要求解不等式的题目，一般是研究函数的单调性和奇偶性，通过这些性质将要求的函数值转化为自变量的大小比较，直接比较括号内的自变量的大小即可.4、C【解题分析】

先求出集合M，由此能求出M∩N．【题目详解】则故选：C【题目点拨】本题考查交集的求法，考查交集定义、函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5、C【解题分析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：由复数的运算法则可得：.本题选择C选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6、B【解题分析】

利用二项式定理展开通项，由项的系数为求出实数，然后代入可得出该二项式展开式各项系数之和.【题目详解】的展开式通项为，令，得，该二项式展开式中项的系数为，得.当时，二项式为，其展开式各项系数和为；当时，二项式为，其展开式各项系数和为.故选B.【题目点拨】本题考查二项式定理展开式的应用，同时也考查了二项式各项系数和的概念，解题的关键就是利用二项式定理求出参数的值，并利用赋值法求出二项式各项系数之和，考查运算求解能力，属于中等题.7、C【解题分析】

首先解绝对值不等式，从而利用“并”运算即可得到答案.【题目详解】根据题意得，等价于，解得，于是，故答案为C.【题目点拨】本题主要考查集合与不等式的综合运算，难度不大.8、B【解题分析】分析：利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，再由共轭复数的概念得答案.详解：，.故选：B.点睛：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.9、B【解题分析】

根据线面位置关系进行判断．【题目详解】∵平面，∴平面平面，A正确；若是上靠近的一个四等分点，可证此时为钝角，B错；由于，则平面，因此的底面是确定的，高也是定值，其体积为定值，C正确；在平面上的射影是直线，而，因此，D正确．故选B．【题目点拨】本题考查空间线面间的位置关系，考查面面垂直、线面平行的判定，考查三垂线定理等，所用知识较多，属于中档题．10、B【解题分析】将圆分组：第一组：○●，有个圆；第二组：○○●，有个圆；第三组：○○○●，有个，…，每组圆的总个数构成了一个等差数列，前组圆的总个数为，令，解得，即包含整组，故含有●的个数是个,故选B.【方法点睛】本题考查等差数列的求和公式及归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤:一、通过观察个别情况发现某些相同的性质.二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）.常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1)数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2)形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.11、A【解题分析】

先求得函数的导函数，再对导函数求导，然后利用特殊点对选项进行排除，由此得出正确选项.【题目详解】依题意，令，则.由于，故排除C选项.由于，故在处导数大于零，故排除B,D选项.故本小题选A.【题目点拨】本小题主要考查导数的运算，考查函数图像的识别，属于基础题.12、C【解题分析】

首先化简为，再求函数的性质.【题目详解】，是偶函数，故选C.【题目点拨】本题考查了三角函数的基本性质，属于简单题型.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、240【解题分析】

根据二项式展开式通项公式确定常数项对应项数，再代入得结果【题目详解】，令得，，所以的展开式中的常数项为.【题目点拨】本题考查求二项式展开式中常数项，考查基本分析求解能力，属基础题.14、【解题分析】

设事件A表示“甲命中”，事件B表示“乙命中”，事件C表示“丙命中”，则，，，他们3人分别向目标各发1枪，则三枪中至少命中2次的概率为：，由此能求出结果．【题目详解】解：设事件A表示“甲命中”，事件B表示“乙命中”，事件C表示“丙命中”，则，，，他们3人分别向目标各发1枪，则三枪中至少命中2次的概率为：．故答案为．【题目点拨】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．15、【解题分析】

利用等比中项可求出，再由可求出公比.【题目详解】因为，，所以，，解得.【题目点拨】本题考查了等比数列的性质，考查了计算能力，属于基础题.16、-11【解题分析】

根据代数余子式列式，再求行列式得结果【题目详解】故答案为：-11【题目点拨】本题考查代数余子式，考查基本分析求解能力，属基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）不存在，理由见解析【解题分析】

（1）写出，根据，斜率乘积为-1，建立等量关系求解离心率；（2）写出直线AB的方程，根据韦达定理求出点B的坐标，计算出弦长，根据垂直关系同理可得，利用等式即可得解.【题目详解】（1）由题可得，过点作直线交椭圆于点，且，直线交轴于点.点为椭圆的右顶点时，的坐标为，即，，化简得：，即，解得或（舍去），所以；（2）椭圆的方程为，由（1）可得，联立得：，设B的横坐标，根据韦达定理，即，，所以，同理可得若存在使得成立，则，化简得：，，此方程无解，所以不存在使得成立.【题目点拨】此题考查求椭圆离心率，根据直线与椭圆的位置关系解决弦长问题，关键在于熟练掌握解析几何常用方法，尤其是韦达定理在解决解析几何问题中的应用.18、（1）（2）【解题分析】

（1）直接把条件用坐标表示，并化简即可；（2）设，由可得的关系，的关系，再结合在曲线上，可解得，从而能求得的方程．【题目详解】（1）设，则由，知又，∴由题意知：∴∴∴点的轨迹方程为（2）设，∵∴为中点，∵∴∴又，∴又，∴∵，∴，∴∴直线方程为【题目点拨】本题考查椭圆的轨迹方程，直线与椭圆的位置关系，求轨迹方程用的是直接法，另外还有定义法、相关点法、参数法、交轨法等．19、(1)；(2)．【解题分析】

（Ⅰ）函数，对其进行求导，在处取得极值，可得，求得值；

（Ⅱ）由知，得令则关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根，转化为上恰有两个不同实数根，对对进行求导，从而求出的范围；【题目详解】（Ⅰ）时，取得极值，故解得.经检验符合题意．（Ⅱ）由知，得令则在上恰有两个不同的实数根，等价于上恰有两个不同实数根.当时，，于是上单调递增；当时，，于是在上单调递增；依题意有.【题目点拨】本题考查利用导数研究函数的极值及单调性以及方程的实数根问题，解题过程中用到了分类讨论的思想，分类讨论的思想也是高考的一个重要思想，要注意体会其在解题中的运用，属中档题．20、（1）；（2）证明见解析.【解题分析】

（1）对分、、三种情况讨论，去绝对值，分别解出不等式，可得出不等式的解集；（2）证法一：由题意得出，，将不等式两边作差得出，由此可得出所证不等式成立；证法二：利用分析法得出所证不等式等价于，由题意得出，，判断出的符号，可得出所证不等式成立.【题目详解】（1）当时，不等式化为：，解得；当时，不等式化为：，解得；当时，不等式化为：，解得.综上可知，；（2）证法一：因为，，所以，.而，所以；证法二：要证，只需证：，只需证：，因为，，所以，.所以成立，所以成立.【题目点拨】本题考查利用分类讨论法解绝对值不等式，以及利用分析法和比较法证明不等式，证明时可结合不等式的结构合理选择证明方法，考查分类讨论思想和逻辑推理能力，属于中等题.21、（1）96（2）见解析【解题分析】

（1）两个球颜色不同的情况共有12＝96(种).（2）随机变量X所有可能的值为0，1，2，2．P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝2)＝所以随机变量X的概率分布列为：X0122P所以E(X)＝0＋1＋2＋2＝．点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布)，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.22、（1）；（2）个零点.【解题分析】

解：（1）∵f（x）是二次函数，且关于x的不等式f（x）≤0的解集为{x|﹣1≤x≤3，x∈R}，∴f（x）＝a（x+1）（x﹣3）＝a[（x﹣1）2﹣4