2024届河南省信阳市数学高二下期末达标检测试题含解析

2024届河南省信阳市数学高二下期末达标检测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若是关于的实系数一元二次方程的一个根，则（）A．， B．，C．， D．，2．已知函数，且，则曲线在处的切线方程为（）A． B．C． D．3．直线与相切,实数的值为（）A． B． C． D．4．函数在区间上的最大值是（）A． B． C． D．5．设，则的虚部是（）A． B． C． D．6．随机变量，且，则（）A．64 B．128 C．256 D．327．曲线在点处的切线斜率为（）A． B． C． D．8．已知，且，则的取值范围为（）A． B． C． D．9．某军工企业为某种型号的新式步枪生产了一批枪管，其口径误差（单位：微米）服从正态分布，从已经生产出的枪管中随机取出一只，则其口径误差在区间内的概率为（）（附：若随机变量服从正态分布，则，）A． B． C． D．10．如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为上任意一点，、为上两点，且的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（）A．点到平面的距离B．直线与平面所成的角C．三棱锥的体积D．△的面积11．已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（）A．2 B． C．4 D．12．已知函数，与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是()A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．函数的单调减区间是______．14．在中，角所对的边分别为，已知，则____.15．某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有______种.16．设正三棱锥侧棱长为1，底面三角形的边长为2．现从正三棱锥的6条棱中随机选取2条，这两条棱互相垂直的概率为________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不做广告宣传且每件获利a元的前提下，可卖出b件；若做广告宣传，广告费为n千元比广告费为千元时多卖出件。（1）试写出销售量与n的函数关系式；（2）当时，厂家应该生产多少件产品，做几千元的广告，才能获利最大？18．（12分）把6本不同的书，全部分给甲，乙，丙三人，在下列不同情形下，各有多少种分法？（用数字作答）(Ⅰ)甲得2本；(Ⅱ)每人2本；(Ⅲ)有1人4本，其余两人各1本．19．（12分）直三棱柱中，，，，F为棱的中点.（1）求证：；（2）点M在线段上运动，当三棱锥的体积最大时，求二面角的正弦值.20．（12分）已知数列，…的前项和为.（1）计算的值，根据计算结果，猜想的表达式；（2）用数学归纳法证明（1）中猜想的表达式.21．（12分）已知椭圆的四个顶点围成的菱形的面积为，点与点分别为椭圆的上顶点与左焦点，且的面积为（点为坐标原点）.（1）求的方程；（2）直线过且与椭圆交于两点，点关于的对称点为，求面积的最大值.22．（10分）设函数过点．（Ⅰ）求函数的极大值和极小值．（Ⅱ）求函数在上的最大值和最小值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

由题意可知，关于的实系数一元二次方程的两个虚根分别为和，然后利用韦达定理可求出实数与的值.【题目详解】由题意可知，关于的实系数一元二次方程的两个虚根分别为和，由韦达定理得，解得.故选B.【题目点拨】本题考查利用实系数方程的虚根求参数，解题时充分利用实系数方程的两个虚根互为共轭复数这一性质，并结合韦达定理求解，也可以将虚根代入方程，利用复数相等来求解，考查运算求解能力，属于中等题.2、B【解题分析】

先对已知函数f(x)求导，由可得a的值，由此确定函数和其导函数的解析式，进而可得x=0处的切线方程。【题目详解】，，解得，即，，则，，曲线在点处的切线方程为，即.【题目点拨】本题考查求函数某点处的切线方程，解题关键是先由条件求出函数f(x)中的未知量a。3、B【解题分析】

利用切线斜率等于导数值可求得切点横坐标，代入可求得切点坐标，将切点坐标代入可求得结果.【题目详解】由得：与相切切点横坐标为：切点纵坐标为：，即切点坐标为：，解得：本题正确选项：【题目点拨】本题考查导数的几何意义的应用，关键是能够利用切线斜率求得切点坐标.4、B【解题分析】

函数，，令，解得x．利用三角函数的单调性及其导数即可得出函数的单调性．【题目详解】函数，，令，解得．∴函数在内单调递增，在内单调递减．∴时函数取得极大值即最大值．．故选B．【题目点拨】本题考查了三角函数的单调性，考查利用导数研究函数的单调性极值与最值、考查了推理能力与计算能力，属于中档题．求三角函数的最值问题，一般是通过两角和差的正余弦公式将函数表达式化为一次一角一函数，或者化为熟悉的二次函数形式的复合函数来解决.5、B【解题分析】

直接利用复数代数形式的乘除运算化简得，进而可得的虚部.【题目详解】∵，∴，∴的虚部是，故选B．【题目点拨】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，共轭复数的概念，属于基础题．6、A【解题分析】

根据二项分布期望的计算公式列方程，由此求得的值，进而求得方差，然后利用方差的公式，求得的值.【题目详解】随机变量服从二项分布，且，所以，则，因此.故选A.【题目点拨】本小题主要考查二项分布期望和方差计算公式，属于基础题.7、C【解题分析】分析：先求函数的导数，因为函数图象在点处的切线的斜率为函数在处的导数，就可求出切线的斜率．详解：∴函数图象在点处的切线的斜率为1．

故选：C．点睛：本题考查了导数的运算及导数的几何意义，以及直线的倾斜角与斜率的关系，属基础题．8、D【解题分析】

由三个正数的和为21，可知三个正数的平均数为7，因此可以用反证法来求出的取值范围.【题目详解】由三个正数的和为21，可知三个正数的平均数为7，假设，因为，则有，这与，相矛盾，故假设不成立，即，故本题选D.解法二:因为，所以【题目点拨】本题考查了反证法的应用，正确运用反证法的过程是解题的关键.9、C【解题分析】

根据已知可得，结合正态分布的对称性，即可求解.【题目详解】.故选：C【题目点拨】本题考查正态分布中两个量和的应用，以及正态分布的对称性，属于基础题.10、B【解题分析】

试题分析：将平面延展到平面如下图所示，由图可知，到平面的距离为定值.由于四边形为矩形，故三角形的面积为定值，进而三棱锥的体积为定值.故A，C，D选项为真命题，B为假命题.考点：空间点线面位置关系.11、C【解题分析】

根据已知条件先求得抛物线的焦点和准线方程，过点作，垂足为点，求得圆的圆心和半径，运用圆外一点到圆上的点的距离的最值和抛物线的定义，结合基本不等式，即可得到所求最小值.【题目详解】如图：抛物线的准线方程为，焦点，过点作，垂足为点，由抛物线的定义可得,圆的圆心为，半径，可得的最大值为，由，可令，则，即，可得：，当且仅当时等号成立，即，所以的最小值为故选：C【题目点拨】本题考查了抛物线定义以及基本不等式求最小值，考查了计算能力，属于较难题.12、A【解题分析】

根据题意，可以将原问题转化为方程在区间上有解，构造函数，利用导数分析的最大最小值，可得的值域，进而分析方程在区间上有解，必有，解之可得实数的取值范围.【题目详解】根据题意，若函数，与的图象上存在关于轴对称的点，则方程在区间上有解化简可得设，对其求导又由，在有唯一的极值点分析可得：当时，，为减函数，当时，，为增函数，故函数有最小值又由，比较可得，，故函数有最大值故函数在区间上的值域为若方程在区间有解，必有，则有则实数的取值范围是故选：A【题目点拨】本题考查在函数与方程思想下利用导数求最值进而表示参数取值范围问题，属于难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】分析：先求出函数的定义域，函数的导函数，令导函数小于0求出的范围，写成区间形式，可得到函数的单调减区间.详解：函数的定义域为，，令，得函数的单调递减区间是，故答案为.点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于简单题.利用导数求函数的单调区间的步骤为：求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间.14、3【解题分析】

由正弦定理和已知，可以求出角的大小，再结合已知，可以求出的值，根据余弦定理可以求出的值.【题目详解】解:由正弦定理及得，，，，又，，，由余弦定理得：，即.【题目点拨】本题考查了正弦定理、余弦定理、考查了数学运算能力.15、1【解题分析】分析：把丙丁捆绑在一起，作为一个元素排列，然后把甲插入，注意丙丁这个元素的位置不同决定着甲插入的方法数的不同．详解：．故答案为1．点睛：本题考查排列组合的应用．排列组合中如果有元素相邻，则可用捆绑法，即相邻的元素捆绑在一起作为一个元素进行排列，当然它们之间也要全排列，特殊元素可优先考虑．注意分类与分步结合，不重不漏．16、【解题分析】从正三棱锥的6条棱中随机选取2条，有15种选法，因为正三棱锥侧棱长为1，底面三角形的边长为2，易知其中两条棱互相垂直的选法共有6种，所以所求概率为2三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)【解题分析】试题分析：(1)根据若做广告宣传，广告费为n千元比广告费为千元时多卖出件，可得，利用叠加法可求得.(2)根据题意在时,利润,可利用求最值.试题解析：（1）设表示广告费为0元时的销售量，由题意知，由叠加法可得即为所求。（2）设当时，获利为元，由题意知，，欲使最大，则，易知，此时.考点：叠加法求通项,求最值.18、（Ⅰ）240种（Ⅱ）90种（Ⅲ）90种【解题分析】

（Ⅰ）根据题意，分2步进行分析：①，在6本书中任选2本，分给甲，②，将剩下的4本分给乙、丙，由分步计数原理计算可得答案；（Ⅱ）根据题意，分2步进行分析：①，将6本书平均分成3组，②，将分好的3组全排列，分给甲乙丙三人，由分步计数原理计算可得答案；（Ⅲ）根据题意，分2步进行分析：①，在6本书中任选4本，分给三人中1人，②，将剩下的2本全排列，安排给剩下的2人，由分步计数原理计算可得答案；【题目详解】（Ⅰ）根据题意，分2步进行分析：①，在6本书中任选2本，分给甲，有C62＝15种选法，②，将剩下的4本分给乙、丙，每本书都有2种分法，则有2×2×2×2＝16种分法，则甲得2本的分法有15×16＝240种；（Ⅱ）根据题意，分2步进行分析：①，将6本书平均分成3组，有15种分组方法，②，将分好的3组全排列，分给甲乙丙三人，有A33＝6种情况，则有15×6＝90种分法；（Ⅲ）根据题意，分2步进行分析：①，在6本书中任选4本，分给三人中1人，有C64×C31＝45种分法，②，将剩下的2本全排列，安排给剩下的2人，有A22＝2种情况，则有45×2＝90种分法．【题目点拨】本题考查排列、组合的应用，考查了分组分配问题的步骤，涉及分类、分步计数原理的应用，属于中档题．19、（1）证明见解析（2）【解题分析】

（1）在矩形中由平面几何知识证明，再证，然后由线面垂直证明线线垂直．（2）当三棱锥的体积最大时点M与F重合，如图建立空间直角坐标系，用空间向量法求二面角．【题目详解】（1）连接，由直三棱柱和，易得面，面，所以，又，，，则，又，∴，，∴，∴，又，所以面，所以（2）当三棱锥的体积最大时点M与F重合，如图建立空间直角坐标系，用向量法求二面角．，，，设平面的法向量为，平面的法向量为，易知，，，设，则，解得取，则记二面角的大小为，则，故.【题目点拨】本题考查用线面垂直证明线线垂直，用空间向量法求二面角．属于常规题．20、（1），（2）见解析【解题分析】分析：（1）计算可求得，由此猜想的表达式；

（2）利用数学归纳法，先证明当时，等式成立，再假设当时，等式成立，即，去证明当时，等式也成立即可．详解：（I）猜想（II）①当时，左边=，右边=，猜想成立．②假设当时猜想成立，即，那么，所以，当时猜想也成立．根据①②可知，猜想对任何都成立．点睛：本题考查归纳推理的应用，着重考查数学归纳法，考查运算推理能力，属于中档题．21、（1）；（2）见解析.【解题分析】分析：（1）由题意得，，即可求出答案；（2）设直线的方程为联立直线方程与椭圆方程，由韦达定理表述出，，又，化简整理即可.详解：（1）∵的面积为，∴，即.又