布林代数之基本定理

節目錄………….…4-1

布林代數之特質通常邏輯變數應具備下列三種特性：節目錄基本的布林代數式可簡單的表示成：F＝f（A,B,C,⋯⋯），下圖為其示意圖。F的輸出是輸入變數A、B、C……等的函數，亦即F的值是由輸入變數的值所決定。………….…4-2

布林代數之基本運算布林代數雖然只有0與1兩種數值，但其基本運算有三種，分別為

OR運算，又稱邏輯的加法運算；AND運算，又稱邏輯的乘法運算；NOT運算，又稱邏輯的補數運算，現針對這三種基本運算之特性說明如下：1.OR運算(1)若A和B為兩個輸入變數，則當A和B以

OR加法組合時，其輸出F表示為F＝A＋B。節目錄(2)F＝A＋B之運算結果為「只要A或B是1，其結果F就是1」。除了A＝B＝1情形外，OR運算與二進制加

法運算相同。2.AND運算(1)若A和B為兩個輸入變數，則當A和B以

AND乘法組合時，其輸出F表示為F＝A·B。(2)F＝A·B之運算結果為「只有A是1且B也是

1，其結果F才是1」。AND運算與二進制乘法運算相同。節目錄3.NOT運算(1)若A為一個輸入變數，則當A做NOT補數運

算時，其輸出。(2)之運算結果為「將變數A反轉，即為其結果F，如A

=

1，則F

=

0，又如A

=

0，則F

=

1」。(3)NOT運算與二進制取1的補數運算相同。節目錄節目錄………….…4-3

布林代數之基本定理一、布林代數之假設1.封閉性(1)(2)2.單位元素(1)(2)3.交換律(1)(2)4.分配律(1)(2)節目錄5.補數元素(1)(2)6.結合律(1)(2)節目錄對偶性任何布林代數式，必有其相對的對偶式，對偶性之互換原則為(1)將「+」運算改為「·」，「·」運算改為

「+」。(2)將常數項「0」改為「1」，「1」改為

「0」。

(3)變數符號不加以改變。節目錄二、布林代數之基本定理

有了布林代數的假設，再以此假設為基礎，發展出下列之基本定理：全等性(1)X+X=X

(2)X·X=X

同一性(1)X+1=1(2)X·0=0自補性

消去性(1)X+XY=X(2)X·(X+Y)=X節目錄節目錄………….…4-4

第摩根定理一、第摩根第一定理「各變數OR運算後之反相，等於各變數先反相後再做AND之運算，即」。接著，將第摩根第一定理應用在兩輸入的邏輯閘上，可以發現，一個反或閘，可視為輸入端先經過反相閘，再輸入及閘，無論輸入端有多少之邏輯閘，此定理均成立。如下圖所示，故第摩根第一定理可將「OR」運算轉換成「AND」運算。若將圖4-2所示之左右兩邊邏輯閘之輸出端各加一反相閘，則可形成如圖4-3之等效或閘。節目錄二、第摩根第二定理第摩根第二定理也就是在表示這個功能性，定理敘述如下：

「各變數AND運算後之反相，等於各變數先反相後再做OR之運算，即」。節目錄接著，將第摩根第二定理應用在兩輸入的邏輯閘上，可以發現，一個反及閘，可視為輸入端先經過反相閘，再輸入或閘，無論輸入端有多少之邏輯閘，此定理均成立，如圖4-4所示，故第摩根第二定理可將「AND」運算轉換成「OR」運算。若將圖4-4所示之左右兩邊邏輯閘之輸出端各加一反相閘，則可形成如圖4-5之等效及閘。節目錄………….…4-5

邏輯閘之互換在許多布林代數化簡中，第摩根定理常被應用到，而且常是第一定理與第二定理相互搭配使用，是化簡布林代數不可或缺的工具，在練習例題之前，我們再將第摩根第一定理與第二定理陳述一遍。第摩根第一定理

第摩根第二定理

節目錄應用上述之第摩根定理，很容易將布林代數轉換成完全由通用閘（NANDGate或NORGate）所組成的邏輯電路，具有容易設計、製造成本低（因使用的IC數較少）之優點。下列為針對全部由NAND

Gate或NORGate的邏輯電路化簡方法。節目錄1.多層NANDGate邏輯電路分析邏輯電路若是由多層的NANDGate所組成，則將標示為奇數層的NANDGate，全部轉換成具反相輸入的ORGate；而標示為偶數層的NANDGate，則保持不變。2.

多層NORG