机器人控制工程 教案 -第五章 线性系统的频域分析与仿真

PAGEPAGE10单元第五章线性系统的频域分析与仿真§5.1（2）教学目的和要求理解和掌握频率响应与频率特性的概念重点难点重点：频率响应与频率特性难点：实验求取频率特性考核方法过程考核，期末考试教学进程(教学内容教学方法辅助手段师生互动时间分配板书设计)一、系统对正弦输入信号的稳态输出5-1-1图5-1-1线性定常系统设系统的输入信号为正弦信号，即x(t)Xsintyss(t)Y)其中 YX|j)|——态应值；j) 由线性定常系统对正弦信号的稳态输出，可称为线性定常系统的频率特性，可以得出如下结论：1.稳态输出是与正弦输入信号频率相同的正弦信号；2.稳态输出的幅值为正弦输入信号幅值的|G(j)|倍；3.稳态输出相对正弦输入信号的相移为G(j)；x(tXsintyss(t)X|j)|j))以为自变量的复函数G(j)包含了系统频率响应的所有特征。j)|j)|ej)|j)|称为幅频特性，j称为相频特性，j)0j)01.根据系统的传递函数求取。先求得系统的传递函数，然后令s，即j)j2.实验法。【例5-1】控制系统的方框图如图5-1-2，当系统的参考输入为r(t)2sin3t时，求系统的稳态误差。图5-1-2控制系统的方框图三、频率特性的图形描述常用描系频特的图方表5-1。表5-1 用率性线及坐标序号 名称 图形常用名 坐标系幅频特性曲线频率性图 直角标相频特性曲线极坐标图、幅相率性线 极坐标奈奎特图对数频性线 对数标对数频性线 图、德图对数幅相对数幅相坐对数相率性线 图、柯尔标斯图教学设计：课堂讲授，给出思考题思考题：系统的频率特性与傅里叶变换有什么关系？作业题：习题5-3单元第五章线性系统的频域分析与仿真§5.2Bode图与仿真（4学时）教学目的和要求掌握开环系统的对数频率特性重点难点重点：开环系统的对数频率特性难点：振荡环节的对数频率特性考核方法过程考核，期末考试教学进程(教学内容教学方法辅助手段师生互动时间分配板书设计)一、对数频率特性图的基本概念对数频率特性曲线又叫伯德(Bode)图，是G(j)的对数幅值0g()和频率的关系曲线。其中0g()，纵G(j的相角()和频率的关系曲线。横坐标和对数幅频特性的横坐标相)，其中)G()（图5-2-1示对幅 )频特性图，直线AB的斜率 L AA为：k LA LAAB lglg L BB A B BA 二、典型环节的Bode图 A B图5-2-1对数幅频特性的直线斜率1.放大环节放大环节的频率特性为G(j)K L(dB)其对数幅频特性与对数相频 20特性为 10 20lgKL()20lgK01 10 100 1000()010放大环节的Bode图如图5-()2-2所示。放大环节的传递函10数为常数K，其特点是输出能01 10 100 1000够无滞后、无失真地复现输10入信号。图5-2-2放大环节的Bode图2.积分环节L(dB)积分环节的频率特性为40G(j)120 20dB/dec其对数幅频特性与对数相频 00.01 0.1 1 10 特性为 20L()20lg()()9090积分环节的Bode图如图5-00.01 0.1 1 10 2-3所示。可见积分环节的对90数幅频特性是通过(1,0)点，图5-2-3积分环节的Bode图且斜率为-20db/dec的直线。对数相频特性为－90°平行于横轴的直线。3.微分环节L(dB)微分节频特为 40G(j)j20 20dB/dec对数幅频和对数相频特性为L()20lg 00.1 1 100()20微分的Bode图5-2- )4示。可微环对数 90幅频特性是通过(1,0)点，且 00.1 1 10 100斜率为20db/dec的。对 90数相频特性为90°平行于横图5-2-4微分环节的Bode图轴的直线。4.惯性环节L(dB) 1T 惯性节频特为 0渐进特性Gj 1 20精确特性1jT40 20dB/dec其相应的对数幅频特性为60)0g 1 0g1T21T2 ) 0惯性环节的对数相频特性为T 45Bode5-2-590图5-2-5惯性环节的Bode图5.一阶微分环节L(dB)一阶微分环节的频率特性为G(j)1j40相应对频特为 20dB/dec20L()20lg1220()1 ) 1 90转折频率为n，45最大误差为3dB，一阶微分环节的Bode图图5-2-6示， 0其与惯性环节的Bode图图5-2-6一阶微分环节Bode图是关于轴对称的。6.振荡环节振荡节频特为j)11T22j2T相应的对数幅频特性为20lg 1 20lgT22(1T22)2(2T)220lgT2220lgn 1TL(dB)200.10.20.30.50 0.71.020 40dB/dec40()060 0.10.20.30.5120 0.71.01800.1 0.20.30.40.60.81 2 34 6810T图5-2-7振荡环节的Bode图当02时，最大误差发生在谐振频率处，此时误差为220lgMM1。r r r n212振荡环节的对数相频特性为 2T 1 1T22 T 2T1 T21 T振荡环节的Bode图如图5-2-7示。 L(dB)7.二阶微分环节二阶分节率性为 8040dB/decG(j)22400由于二阶微分环节的频率 1 ) 特性和振荡环节的频率特180性互为倒数，因此二阶微分环节的Bode图与振荡环节90的Bode图关于轴的对称，图5-2-8所。0 三、开环系统Bode图 图5-2-8二微环的Bode图设开环系统由n个典型环节串联组成，可以根据渐近频率特性的特点直接绘制开环系统的Bode图。具体步骤如下：1.K2.K（1,20lgK斜率为/（v。3.的斜率值为原有斜率值加上该转折频率所对应的典型环节斜率的4.5.绘制相频特性曲线。分别作出每个典型环节的相频特性，然后叠下面通过实例说明开环系统Bode图的绘制过程。【例5-2】已知系统的开环传递函数为G(s) 64(s2)s(s0.5)(s23.2s64)试绘制开环系统的Bode图。4020dB/dec2020lgK12db 40dB/dec0 20dB/dec2060dB/de40 90②① 0③ ④ 2700.1 0.5 1 2 810 20例5-2系统的Bode图四、最小相位系统位环节；所有环节都是最小相位环节的控制系统称为最小相位系的零极点均分布在S平面的左半部分。1、最小相位，相角在趋近于∞时变为-90°(n-m)。2、最小相位系统的传递函数可以由对数幅频率特性唯一确定。【例5-3】Bode5-2-9L(dB)20dB/dec282040dB/dec00.1 1 2.5 10 图5-2-9最小相位系统的幅频特性【例5-4】Bode5-2-10所示，图中频率值c和v递函数。L(dB)20lgK 20dB/dec 0 1 c v 40dB/dec1图5-2-10 最小相位系统五、用MATLAB绘制系统的Bode图MATLABBode【调用格式】bode(sys)，bode(num,den)[mag,phase,w]=bode(sys)，[mag,phase]=bode(sys,w)【说明】1、不带返回参数的调用，将直接绘制系统的Bode图；2G(j在（dB）（dgre【例5-5】二阶系统传递函数为2G(s)n s22s2n n试用MATLAB绘制出不同和n的Bode图，并计算谐振频率n和谐振峰值n。课堂演示l551.ml552.ml553.m讲解matlab程序并显示运行结果。教学设计：课堂讲授，给出思考题思考题：为什么要绘制对数频率特性？作业题：习题5-6，5-7，5-8预 习：域定分析复 习：率性单元第五章线性系统的频域分析与仿真§5.3频域稳定性分析与仿真（2学时）教学目的和要求掌握开环系统的幅相频率特性掌握奈奎斯特稳定判据重点难点重点：典型环节的幅相频率特性难点：奈奎斯特稳定判据考核方法过程考核，期末考试设系统的频率特性为G(j)A()ej()X()jY()如果将G(j0～Gj的端点组成的轨迹可以在复平面上用极坐标表示，称为幅相频率特性(Nyquist)图，一、典型环节的Nyquist图1.放大环节放大节传函为 G(s)K其频特为 0G(Kj0j0 G(j)K 0G(j)02.积分环节 图5-3-1积环的相性线积分环节的传递函数为 1 G(s)s其频率特性为90G(j)0j11ej90 0 0G()1 G)3.微分环节 图5-3-2微环的相性微分环节的传递函数为G(s)s通过由开环传递函数分析闭环系统的稳定性，阐述遇到困难时，从哲学角度思考创教学进程新。(教学内容教学方法辅助手段师生互动时间分配板书设计)其频率特性为G(j)0jej90，G(j)G(j)904.惯性环节 惯性环节的传递函数为 0.5 1 Re0 0G(s) 1 45 G(1 11其频率特性为G(j) 1 ， 11jT T图5-3-3惯性环节的幅相特性曲G(j)1 1T225.一G(j)arctanTIm阶微分环节 一阶微分环节的传递函数为G(s)s1其频特为 0 Re0 1G(j)1，G()12G()n 图4 一阶分节幅特图6.振荡环节Im振荡环节的传递函数为1 T2s2Ts11 Re0 0式中：T振荡环节的时间常 数，振环的尼。 3 其频特为 G1 ( ) 1 2 3 41T22j2T图5-3-5振荡环节的幅相特性图G(j0)00 j)1 T22 2T 1 22 j) 1T T 2T1 180 T21 TG(j

1)190，振荡环节的幅相频率特性曲线如图5-3-5所示，从图中可以得到以下结论：（1）幅相频率特性图的准确形式与阻尼比有关；在n1/Tj)尼自振角频率n；（3）距原点最远的频率点对应于谐振频率r，这时G(j)的峰值用谐振峰值Mr表示。122122r n M 1 M21212二、开环系统的Nyquist图绘制开环系统的幅相特性曲线步骤：1.（0）（2.0jk的解。3.（。【例5-6】设开环系统的传递函数为G(s)

KsTs+1

，试绘制该系统的环相率性。 KT

Re00图5-3-6幅相频率特性图【例5-7】制环统G(s)Ks的奈氏。(T1s1)(T2s1)ImKRe

ImKRe

ImK Re(a)0T1

(b)

(c)T1T2图5-3-7幅相频率特性图三、Nyquist图的MATLAB绘制【调用格式】nyquist(sys)，nyquist(num,den)[re,im,w]=nyquist(sys)，[re,im]=nyquist(sys,w)【说明】1、当不带输出变量时，直接绘制出Nyquist曲线；2、sys或（num,den）为系统开环传递函数；3、w为指定的频率范围，若没有指定频率范围，其频率范围由函数自动选取；4、输出变量[re,im]分别为系统幅相频率特性的实部和虚部。四、Nyquist稳定判据1.幅角定理ss平面的有限个奇点PZsssss以顺时针方向沿s在平面上的映射曲线FNZP关于幅角定理，给出几点说明：1N0FN0,则F逆时N0，则F2．包围原点的次数N与s曲线选取的形状无关，只与零点ZP3．Z、P可以是s包围的(s是F(s)全部的零极点数。(s) (s) C()2.辅助函数 -Y(s)设典型反馈系统的H(s)方框图如图5-3-8所示。构造助数 图5-3-8典型反馈系统的方框图F(s)=1+G(s)H(s)1M1(s)M2(s)(s)N2(s)M1(s)M2(s)(s)N2(s) (s)N2(s)则有结论与开环传递函数。3.完整的开环奈氏图s平面取一条封闭曲线ss果闭环系统稳定，则sZ0。根据幅角定理，如果闭环系统稳定，则s的映射下，其映射曲线FPP为s内包的极点数。又因为G(s)H(sF(s1，所以闭环系统稳定的充要条件是s在G(s)H(s函数关系映射下，其映射曲线GH在平面内逆时针包围PP为系统右半平面映射曲线GH和开环系统幅相频率特性曲线G(j)H(j)之间的关系。(1) s①正虚轴②负虚轴③半径为无限大的右半圆（2）s平面的原点处有开环极点的情况4.奈氏稳定判据包围PPs平（从（)左侧的正负穿越次数之差等于右半s平面的开环极点数P。如果完整的开环奈氏图在点(1,j0)左侧负穿越次数大于正穿越次数，则闭环系统不稳定。5.在Bode图上使用奈氏稳定判据Bode图上，在幅值20lgj)H)0dB的区域当增时相性曲中从下上越线是正越相特性()从向下越线是穿。闭环系统稳定的充分必要条件是：在开环对数幅频特性20lgG(j)H(j)0dB的所有频段内，对数相频特性()与P/2Ps开【例5-9】控制系统的方框图如图5-3-9所示，试确定使系统稳定k的范围。k 1 s3 s- +图5-3-9系统方框图Im0 0 Rek13图5-3-10开环系统奈氏图【例5-10G(s)H(s)Ks1)s2(Ts1)参数T和对闭环系统稳定性的影响。图5-3-11开环系统奈氏图【例5-11】已知系统的开环传递函数为G(s)H(s) 100(s(s2)(s8)(s20)Nyquistmatlab教学设计：课堂讲授，给出思考题思考题：1积分环节与微分环节，惯性环节与一阶微分环节，振荡环节与二阶微分环节有何关系？2惯性环节与不稳定惯性环节有何关系？作业题：1习题5-7，5-102练使用绘奈图预 习：制统相稳定性复 习：环统对频率性单元第五章线性系统的频域分析与仿真§5.4（2学时）教学目的和要求相角裕度、幅值裕度的计算重点难点重点：相角裕度、幅值裕度的计算难点：利用频域指标判定稳定性考核方法过程考核，期末考试教学进程(教学内容教学方法辅助手段师生互动时间分配板书设计)1.相角裕度G)1Bode0dB的交点，也称为剪切频率，记为c。G(jc)1，20lgG(jc)0)180G()2.幅值裕度在相位交界频率上，幅值G(j)的倒数称为幅值裕度，记为Kg。所谓相位交界频率，是指开环频率特性的相角G(j)等于gK 1 , G()g |ggK(db)20lg 1g |g为了使最小相位系统稳定，必须满足幅值裕度Kg1或者Kg0dB。L(dB) L(dB)K(dB)0 0 0 Kg(dB)0()()9090 180 0 180 0270270a稳定系统正幅值裕量，正相角裕量b不稳定系统负幅值裕量，负相角裕量图5-4-1相角裕度与幅值裕度3.关于幅值裕度和相角裕度的几点说明⑴标准的一阶系统和二阶系统的幅值裕度为无穷大，因为这类系统的开环奈氏图除了原点外，和负实轴不相交。⑵为了确定系统的相对稳定性，必须同时给出相角裕度和幅值裕度，只用其中一个性能指标无法确定稳定性。⑶对于最小相位系统，只有当相角裕度和幅值裕度(分贝)都为正时，系统才稳定。任何一个裕度为负，都表示系统不稳定。)（。⑸相角裕度和幅值裕度是系统的开环频域指标，但描述的是闭环系统的相对稳定性，它与闭环系统的动态性能密切相关。度在和之间幅裕度于于在数频。【例5-12】设单位负反馈系统的开环传递函数为ks(s1)(s5)试确定当k10时系统的幅值裕度和相角裕度。b/dec图5-4-2开环系统的Bode图计算结束，课堂演示l513.m，讲解matlab程序并比较运行结果。教学设计：课堂讲授，给出思考题思考题：为什么要通过开环系统的频率特性来研究闭环系统的性能？作业题：习题5-12，5-13预 习：率标时指标关系复 习：阶统时指标2020decc40db/d60db/dec单元第五章线性系统的频域分析与仿真§5.5（2学时）[]教学目的和要求了解频域指标与时域指标的关系重点难点重点：频率指标与时域指标的关系难点：高阶系统频率指标与时域指标的关系考核方法过程考核教学进程(教学内容教学方法辅助手段师生互动时间分配板书设计)一、闭环系统的频率特性对于环制统使用(j)(s) 描述频特，sj其中(s))5-385-5-1图5-5-1系统的闭环频率特性1.零频值2.复现输入信号带宽3.谐振频率4.相对谐振峰值5.截止频率6.带宽二、控制系统的性能指标1.时域性能指标控制系统的时域性能指标包括稳态指标和动态指标，常用的时域性能指标如下：）vK、稳态误差ess。上升时间tr、峰值时间tp、超调量p、过渡过程时间ts、振荡“联系”的哲学原理，强调联系的普遍性与条件性。次数N。2.频域性能指标开环频域性能指标包括：相角裕度、剪切频率c、幅值裕度Kg、相位交界频率g、中频宽度h。闭环频域性能指标包括：相对谐振峰值Mr、谐振频率r、截止频率b。三、二阶系统的时域动态性能指标和频域性能指标的关系1.开环频域指标和时域指标的关系 142c n14422tg ， n241tg2 c 41tg2e12100%，t11 ，t p s 12 p 12n n 142 1cts 12 142ctp 12（，cts和ctp剪切频率越大，响应速度就越快。2.闭环频域指标和时域指标的关系 12 1)r n 2MA / 1 1)r 21 2111M2或 r (M2 r可见，阻尼比和谐振峰值互为对方的单变量函数。2 1由 n (22)2)2 2n n (122)24