成都二十中高二上学期期中考试数学试题

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精成都二十中2012—2013学年高二上学期期中考试数学试题时间：120分钟总分：150分一、选择题：本大题共12小题,每小题5分，共60分．1．下列说法正确的是(C）A、三点确定一个平面B、四边形一定是平面图形C、梯形一定是平面图形D、平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点2．空间的一个基底所确定平面的个数为（C）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个以上3．已知a、b、c为三条不重合的直线，下面有三个结论：①若a⊥b，a⊥c，则b∥c；②若a⊥b，a⊥c则b⊥c；③若a∥b,b⊥c，则a⊥c。其中正确的个数为(B)A．0个B．1个C．2个D．3个4．一个正方体的展开图如图所示,A、B、C、D为原正方体的顶点,则在原来的正方体中(D）A．AB∥CDB．AB与CD相交C．AB⊥CDD．AB与CD所成的角为60°5．下列命题中错误的是（D）A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么直线l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β6．下图是一几何体的三视图(单位：cm)，则这个几何体的体积为(B）A．1cm3B．3cm3C．2cm37．斜二测画法中，边长为a的正方形的直观图的面积为(D)A．a2B。eq\f(\r(2），2）a2C.eq\f（1，2)a2D.eq\f(\r(2）,4)a28、已知空间三点A(0,2,3），B（－2,1,6），C(1,－1,5)．若|a｜＝eq\r(3），且a分别与eq\o（AB，\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→）)垂直，则向量a为(C）A．（1，1,1）B．（－1，－1，－1）C．（1,1,1)或（－1,－1，－1)D．(1,－1，1）或（－1，1，－1）9．已知直线m、n和平面α、β，若α⊥β,α∩β＝m，n⊂α，要使n⊥β，则应增加的条件是(B）A．m∥nB．n⊥mC．n∥αD．n⊥α11．在空间四边形ABCD中，eq\o(AB，\s\up6(→)）·eq\o（CD，\s\up6(→）)＋eq\o（AC，\s\up6(→))·eq\o（DB,\s\up6(→））＋eq\o（AD,\s\up6(→)）·eq\o（BC,\s\up6(→））的值为(A)A．0B.eq\f(\r(3),2）C．1D．无法确定11.如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC,AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD,则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是（D)A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC12．球O的球面上有四点S、A、B、C,其中O、A、B、C四点共面，△ABC是边长为2的正三角形，平面SAB⊥平面ABC，则棱锥S－ABC的体积的最大值为(D）A．1B.eq\f（1,3）C。eq\r（3）D.eq\f（\r（3），3)二、填空题（每小题4分，共16分)13已知a＝（－2,1，3)，b＝（－1,2，1），若a⊥(a－λb），则实数λ的值为214、等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是大于（填“大于、笑语或等于")。15．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝2AB，若E,F分别为线段A1D1，CC1三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤17．（本小题满分12分)在四棱锥P－ABCD中，ABCD为平行四边形，AC与BD交于O，G为BD上一点，BG＝2GD，eq\o(PA，\s\up6(→)）＝a,eq\o(PB,\s\up6(→）)＝b,eq\o(PC,\s\up6（→))＝c，试用基底｛a，b,c}表示向量eq\o(PG，\s\up6（→））.[解析］∵BG＝2GD，∴eq\o（BG,\s\up6（→)）＝eq\f（2,3)eq\o（BD,\s\up6（→））.又eq\o（BD,\s\up6(→)）＝eq\o（BA，\s\up6(→）)＋eq\o（BC,\s\up6(→））＝eq\o（PA,\s\up6（→)）－eq\o(PB,\s\up6(→）)＋eq\o(PC,\s\up6(→））－eq\o(PB，\s\up6（→）)＝a＋c－2b,∴eq\o(PG,\s\up6（→)）＝eq\o（PB,\s\up6（→））＋eq\o(BG，\s\up6（→))＝b＋eq\f（2,3)（a＋c－2b）＝eq\f(2,3）a－eq\f(1,3）b＋eq\f（2,3）c。18．（本小题满分12分)如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为直角梯形，其中BA⊥AD，CD⊥AD，CD＝AD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．(1）求证：BE∥平面PAD；(2）若AP＝2AB，求证:BE⊥平面PCD。[解析］(1)取PD的中点F，连结AF，FE,又∵E是PC的中点，∴在△PDC中，EF∥DC,且EF＝eq\f（DC,2），由条件知AB∥DC，且AB＝eq\f（DC,2），∴EF綊AB，∴四边形ABEF为平行四边形，∴BE∥AF，又AF⊂平面PAD,BE⊄平面PAD，∴BE∥平面PAD。（2）由（1)FE∥DC，BE∥AF,又∵DC⊥AD，DC⊥PA,∴DC⊥平面PAD，∴DC⊥AF，DC⊥PD，∴EF⊥AF,在Rt△PAD中，∵AD＝AP，F为PD的中点，∴AF⊥PD,又AF⊥EF且PD∩EF＝F,∴AF⊥平面PDC，又BE∥AF,∴BE⊥平面PDC。yzNBCC11B11AA1yzNBCC11B11AA11Mx棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A(1）求的长；(2）求的值.解：以C为原点建立如图空间直角坐标系,（1）B（0,1，0），N（1，0，1），∴（2）∴,且，∴。20．如图，已知四棱锥P－ABCD,侧面PAD为边长等于2的正三角形,底面ABCD为菱形，∠DAB＝60°.（1)证明：∠PBC＝90°；（2)若PB＝3,求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．[解析]（1）取AD中点O,连OP、OB，由已知得：OP⊥AD,OB⊥AD，又OP∩OB＝O,∴AD⊥平面POB,∵BC∥AD，∴BC⊥平面POB，∵PB⊂平面POB,∴BC⊥PB，即∠PBC＝90°.（2）如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O－xyz，则A（1，0,0)，B（0，eq\r(3)，0），C(－1,eq\r（3)，0)，由PO＝BO＝eq\r(3),PB＝3，得∠POB＝120°,∴∠POz＝30°，∴P（0，－eq\f（\r（3),2),eq\f（3,2))，则eq\o（AB,\s\up6（→)）＝(－1，eq\r（3),0），eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－1，0,0），eq\o（PB,\s\up6（→））＝(0,eq\f(3\r(3),2），－eq\f(3，2))，设平面PBC的法向量为n＝（x，y，z)，则eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(－x＝0,\f（3\r(3）,2)y－\f（3,2）z＝0)）,取z＝eq\r（3)，则n＝(0，1,eq\r(3）），设直线AB与平面PBC所成的角为θ，则sinθ＝｜cos〈eq\o(AB,\s\up6（→))，n〉｜＝eq\f（\r（3),4）.21．如图，为圆的直径，点、在圆上，,矩形所在的平面和圆所在的平面互相垂直，且，。（1)求证：平面;（2）设的中点为，求证：平面；（3）设平面将几何体分成的两个锥体的体积分别为，,求．(1)证明：平面平面，，平面平面=，平面，平面，又为圆的直径，,平面。(2）设的中点为，则,又，则，为平行四边形，，又平面，平面，平面。(3)过点作于，平面平面，平面，,平面，，．22．已知矩形ABCD中，,将ΔABD沿BD折起，使点A在平面BCD内的射影落在DC上，E、F、G分别为棱BD、AD、AB的中点。（I）求证：DA⊥平面ABC；（II)求点C到平面ABD的距离；（III)求二面角G-FC-E余弦值的大小。解:如图，以CB所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，过点C，平面BDC方向向上