概率论与数理统计第1-3章复习资料

概率论与数理统计第1-3章复习资料汇报人：AA2024-01-20概率论基本概念一维随机变量及其分布多维随机变量及其分布数理统计基本概念和方法参数估计方法及应用举例假设检验方法及应用举例contents目录01概率论基本概念不可能事件空集，不包含任何样本点的事件。必然事件包含样本空间中所有样本点的事件，即S本身。基本事件只包含一个样本点的事件。样本空间所有可能结果的集合，常用大写字母S表示。事件样本空间的子集，即某些可能结果的集合，常用大写字母A、B等表示。样本空间与事件概率定义：事件A发生的可能性大小，记为P(A)，满足非负性、规范性（必然事件的概率为1）、可列可加性。概率性质P(∅)=0；对于任意事件A，0≤P(A)≤1；若A与B互斥（即A∩B=∅），则P(A∪B)=P(A)+P(B)；对于任意事件A和B，P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。概率定义及性质条件概率在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，记为P(A|B)，计算公式为P(A|B)=P(AB)/P(B)。事件的独立性若P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A与B相互独立。多个事件的独立性对于n个事件A1,A2,...,An，若对于任意k个事件（1≤k≤n），都有P(A_i1A_i2...A_ik)=P(A_i1)P(A_i2)...P(A_ik)，则称这n个事件相互独立。条件概率与独立性若事件B1,B2,...,Bn构成一个完备事件组（即两两互斥且并集为全集），且P(Bi)>0(i=1,2,...,n)，则对于任意事件A，有P(A)=Σ[P(Bi)P(A|Bi)]，其中Σ表示对i从1到n求和。全概率公式在全概率公式的条件下，对于任意事件A和Bi(i=1,2,...,n)，有P(Bi|A)=[P(Bi)P(A|Bi)]/Σ[P(Bj)P(A|Bj)]，其中Σ表示对j从1到n求和。贝叶斯公式常用于根据已知信息更新某事件发生的概率。贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式02一维随机变量及其分布设随机试验的样本空间为S，若对于任意实数x，集合{ω|X(ω)≤x}都是一个随机事件，则称X(ω)为随机变量。随机变量定义随机变量具有可测性、单值性和确定性。随机变量性质随机变量定义及性质分布律定义设离散型随机变量X的所有可能取值为x1,x2,...,xn，且取各个值的概率P(X=xi)=pi,i=1,2,...,n，则称pi(i=1,2,...,n)为X的分布律。常见离散型随机变量分布0-1分布、二项分布、泊松分布等。离散型随机变量分布律概率密度函数定义设连续型随机变量X的分布函数为F(x)，若存在非负函数f(x)，使得对于任意实数x，有F(x)=∫f(t)dt（积分下限为-∞，上限为x），则称f(x)为X的概率密度函数。常见连续型随机变量分布均匀分布、指数分布、正态分布等。连续型随机变量概率密度函数设随机变量X的函数为Y=g(X)，则称Y为X的函数，也称为随机变量函数。随机变量函数的定义根据X的分布律或概率密度函数，通过适当的变换和计算，求出Y的分布律或概率密度函数。常见的方法有公式法、图解法、卷积公式法等。随机变量函数的分布求法随机变量函数分布03多维随机变量及其分布联合概率密度函数定义当二维随机变量的取值是连续的时候，用联合概率密度函数来描述它们的概率分布规律。性质非负性、规范性、可加性。联合分布律定义描述两个随机变量同时取值的概率分布规律。二维随机变量联合分布律/概率密度函数

边缘分布律/概率密度函数边缘分布律定义二维随机变量中，只涉及一个随机变量的概率分布。边缘概率密度函数定义当二维随机变量的取值是连续的时候，只涉及一个随机变量的概率密度函数。求解方法对联合分布律/概率密度函数中另一个随机变量进行积分。03求解方法利用条件概率公式和边缘分布律/概率密度函数求解。01条件分布律定义在已知一个随机变量取值的条件下，另一个随机变量的概率分布。02条件概率密度函数定义当二维随机变量的取值是连续的时候，在已知一个随机变量取值的条件下，另一个随机变量的概率密度函数。条件分布律/概率密度函数如果两个随机变量的联合分布律/概率密度函数等于各自边缘分布律/概率密度函数的乘积，则称这两个随机变量是相互独立的。定义相互独立的二维随机变量，一个随机变量的取值不影响另一个随机变量的取值。性质通过比较联合分布律/概率密度函数与边缘分布律/概率密度函数的乘积是否相等来判定两个随机变量是否相互独立。判定方法相互独立二维随机变量04数理统计基本概念和方法研究对象的全体个体组成的集合，通常用一个随机变量及其分布来描述。总体样本样本容量从总体中随机抽取的一部分个体组成的集合，用于推断总体的性质。样本中包含的个体数目，用$n$表示。030201总体和样本概念由样本数据计算出来的量，用于描述样本特征或推断总体性质。统计量样本均值、样本方差、样本标准差、样本矩等。常用统计量无偏性、有效性、一致性等。统计量的性质统计量及其性质$bar{x}=frac{1}{n}sum_{i=1}^{n}x_i$，其中$x_i$为样本数据。样本均值$S^2=frac{1}{n-1}sum_{i=1}^{n}(x_i-bar{x})^2$，用于描述数据的离散程度。样本方差$S=sqrt{S^2}$，与样本方差意义相同，但单位与原始数据相同。样本标准差描述数据分布形态的量，如偏度、峰度等。样本矩常用统计量计算方法抽样分布定理在参数估计和假设检验中常用的抽样分布，分别对应于不同的统计量和假设条件。$chi^2$分布、$t$分布和$F$分布当总体服从正态分布时，样本均值服从正态分布，且其期望为总体均值，方差为总体方差除以样本容量。正态分布下的抽样分布定理当总体分布未知时，随着样本容量的增加，样本均值的分布逐渐趋近于正态分布。中心极限定理05参数估计方法及应用举例最大似然估计法根据样本观测值出现的概率最大原则来估计总体参数，适用于总体分布形式已知但参数未知的情况。矩估计法用样本矩作为总体矩的估计量，适用于总体分布形式已知但参数未知的情况。最小二乘法通过最小化误差的平方和来寻找数据的最佳函数匹配，适用于线性回归模型的参数估计。点估计方法介绍利用样本统计量构造一个区间，使得该区间以一定的置信水平包含总体参数的真值。通过构造一个包含总体参数和样本统计量的函数，使得该函数的分布不依赖于总体参数，进而利用该函数的分布来构造置信区间。区间估计方法介绍枢轴量法置信区间法单个正态总体均值置信区间01当总体服从正态分布时，可以利用样本均值和样本标准差构造t统计量，进而得到总体均值的置信区间。两个正态总体均值之差置信区间02当两个总体分别服从正态分布时，可以利用两个样本均值和样本标准差构造t统计量，进而得到两个总体均值之差的置信区间。正态总体方差置信区间03当总体服从正态分布时，可以利用样本方差构造卡方统计量，进而得到总体方差的置信区间。正态总体均值和方差置信区间构建123当总体不服从正态分布时，可以利用中心极限定理或自助法等方法得到总体均值的近似置信区间。非正态总体均值置信区间当总体为二项分布或泊松分布等离散型分布时，可以利用样本比例构造二项分布或泊松分布的置信区间。非正态总体比例置信区间当总体不服从正态分布时，可以利用样本方差构造非参数方法的置信区间，如基于秩的方法或自助法等。非正态总体方差置信区间非正态总体参数置信区间构建06假设检验方法及应用举例选择检验统计量根据假设选择合适的检验统计量，并确定其分布。建立假设根据实际问题，提出原假设$H_0$和备择假设$H_1$。确定拒绝域根据显著性水平$alpha$和检验统计量的分布，确定拒绝域。作出决策根据检验统计量的值和拒绝域，作出是否拒绝原假设的决策。计算检验统计量的值根据样本数据计算检验统计量的值。假设检验基本原理和步骤$Z$检验：当总体方差$sigma^2$已知时，使用$Z$检验对总体均值$mu$进行假设检验。$t$检验：当总体方差$sigma^2$未知时，使用样本方差$s^2$代替，进行$t$检验。$chi^2$检验：用于检验总体方差是否等于某个指定值。单个正态总体方差假设检验单个正态总体均值假设检验单个正态总体均值和方差假设检验两个正态总体均值和方差比较假设检验Welch$t$检验：当两总体方差不相等时，使用Welch$t$检验进行均值比较。两独立样本$t$检验：当两总体方差相等且未知时，使用两独立样本$t$检验对两总体均值进行比较。两个正态总体均值比较假设检验两个正态总体方差比较假设检验$F$检验：用于比较两个正态总体的方差是否相等。Wilcoxon符号秩检验：用于比较配对样本的差异是否显著。