机械传动系统数学模型课件

机械系统设计（4学时）§2.1机械传动系统数学模型§2.2传动机构§2.3导向机构本章要求掌握机电系统建模方法，机电系统对机械机构的要求。机械传动系统数学模型§2.1机械传动系统数学模型在机电一体化系统的分析中，质量，弹簧，及阻尼这三个理想的机械元件代表了机械系统各组成部分的本质。另外，机械系统中的负载，驱动力，间隙，死区等因素也直接影响机械系统的性能。机械传动系统数学模型

2.1机械系统建模中基本物理量的描述一、质量和惯量的转化

质量m：指储有直线运动动能的部件属性。

力—质量系统mxF(t)机械传动系统数学模型转动惯量J：表示具有转动动能的部件属性。转动惯量取决于部件相对转动轴的几何位置和部件的密度。质量和惯量转化的原则：转化前后系统瞬时动能保持不变。即：机械传动系统数学模型转动元件的瞬时动能为：移动元件的瞬时动能为：式中m化——转化质量(等效质量)；

J化——转化惯量(等效转动惯量)。机械传动系统数学模型机床传动机构示意图1、2、3、4—齿轮5—丝杠6—工作台等效质量

已知齿轮1、2、3、4及丝杠5和工作台6，其转动惯量J1，J2，

J3，

J4，J5，工作台6的质量为m6，各齿轮的齿数为Z1，Z2，Z3，Z4，丝杠5螺距为12mm，求工作台6的转化质量。机械传动系统数学模型机床传动机构示意图1、2、3、4—齿轮5—丝杠6—工作台机械传动系统数学模型机械传动系统数学模型二、弹性系数的转化

轴向弹性系数k表示位移弹簧的位能。力—弹簧系统F(t)kX(t)机械传动系统数学模型扭力弹簧系数或扭转刚度系数k表示旋转弹簧的位能。转矩—扭力弹簧系统T(t)θ(t)k机械传动系统数学模型弹性系数的转化旋转传动系统弹性系数的转化：式中k化——转化弹性系数；

kj——各构件的弹性系数；

ij——各构件到被研究元件间的传动比。此式是对旋转传动系统而言的，如果是移动系统则需要变换。

机械传动系统数学模型移动系统弹性系数的转化：串联弹簧的等效数学表达式为：并联弹簧的等效其数学表达式为：机械传动系统数学模型三、阻尼系数的转化

机械系统在工作过程中，相互运动的元件间存在着阻力，并以不同的形式表现出来。如摩擦阻力、流体的阻力以及负载阻力。这些在建立物理模型时都需要进行转化，转化为与速度有关的粘滞阻尼力。机械传动系统数学模型(一)直线运动的摩擦FFFF

1．静摩擦2．动摩擦3．粘滞摩擦机械传动系统数学模型(二)旋转运动的摩擦

直线运动的三种摩擦均适用于转动。机械传动系统数学模型

(三)阻力系统转化为当量粘滞阻尼系数

上边讲的系统中存在的阻力性质是不相同的，但系统在运行过程中都要消耗能量是共同的。在数学模型的建立中，只有与构件运动速度成正比的阻力才是可行的。所以，利用摩擦阻力与粘滞阻力所消耗的功相等这一基本原则来求取转化粘滞阻尼系数。机械传动系统数学模型基本要求●正确建立控制元部件和系统的微分方程

●了解非线性微分方程的线性化方法●掌握传递函数的定义及其求解方法

●熟悉典型环节及其传递函数●掌握系统动态方框图的建立方法

●掌握动态方框图的简化和梅逊公式●掌握反馈系统的开环和闭环传递函数机电系统的动态数学模型机械传动系统数学模型§2-1微分方程及其线性近似一、列写微分方程的一般步骤：(1)要先明确输入和输出变量；(2)利用对系统的分析，找出各元部件之间的动态联系:微分方程组；(3)消去中间变量，得到输入、输出变量间的微分方程；(4)写成标准式：即与输入变量有关的项放在等号的右边，与输出变量有关的项放在等号左边。并按求导次数依次降低的顺序排列。机械传动系统数学模型[例1]：求组合机床动力滑台力学模型的微分方程。fi(t)xo(t)kDM由牛顿第二定律得：二阶线性定常非齐次微分方程！§2-1微分方程及其线性近似机械传动系统数学模型拉普拉斯变换及反变换一、拉氏变换的定义：(1)当t<0时，x(t)=0；当t>0时，x(t)在每个有限区间上分段连续；对于函数x(t)，如果满足下列条件：(2)存在，其中s=σ+jω为复变量。为原函数为象函数机械传动系统数学模型二、典型函数的拉氏变换1、单位阶跃函数:1(t)=1,(t<0)0,(t>0)2、单位斜坡函数:

t·1(t)0t1(t)10tt·1(t)45°§2-2拉普拉斯变换及反变换机械传动系统数学模型二、典型函数的拉氏变换δ(t)[在a→0时]t-a/21/aa/20,

(t≠0);∞,

(t=0);且有δ(t)=4、指数函数:e-at1(t)3、单位脉冲函数:δ(t)§2-2拉普拉斯变换及反变换机械传动系统数学模型三、拉氏变换的基本性质和定理1、线性性质：t[例]：0x(t)45°2§2-2拉普拉斯变换及反变换机械传动系统数学模型三、拉氏变换的基本性质和定理2、微分性质：若系统处于零初始条件下：则有§2-2拉普拉斯变换及反变换机械传动系统数学模型三、拉氏变换的基本性质和定理[例]：在零初始条件下求输出的拉氏变换。解：对上方程在零初始条件下求拉氏变换得：利用拉氏反变换便可得到输出的原函数。§2-2拉普拉斯变换及反变换机械传动系统数学模型三、拉氏变换的基本性质和定理3、积分性质（在零初始条件下）：4、延时定理：0t1(

t

-τ)1τ[例]：x(t)t045°22§2-2拉普拉斯变换及反变换机械传动系统数学模型三、拉氏变换的基本性质和定理5、终值定理：[证明])(lim)(lim0ssXtxst®¥®=§2-2拉普拉斯变换及反变换机械传动系统数学模型四、拉氏反变换采用部分分式展开法求拉氏反变换：

x(t)X(s)X(s)=L[x(t)]X(s)x(t)x(t)=L[X(s)]-1§2-2拉普拉斯变换及反变换机械传动系统数学模型1、只含不同单极点的式中：四、拉氏反变换§2-2拉普拉斯变换及反变换机械传动系统数学模型四、拉氏反变换1、只含不同单极点的情况：[例1][例2]解：解：§2-2拉普拉斯变换及反变换机械传动系统数学模型四、拉氏反变换通过配方化成正弦、余弦象函数的形式再求反变换2、含共轭复数极点的情况：§2-2拉普拉斯变换及反变换机械传动系统数学模型四、拉氏反变换2、含共轭复数极点的情况：[例]§2-2拉普拉斯变换及反变换机械传动系统数学模型四、拉氏反变换3、含重极点的情况：S-p1S=-p1为r重极点展开为r个分式§2-2拉普拉斯变换及反变换机械传动系统数学模型四、拉氏反变换[例1]3、含重极点的情况：§2-2拉普拉斯变换及反变换机械传动系统数学模型四、拉氏反变换[例2]3、含重极点的情况：§2-2拉普拉斯变换及反变换机械传动系统数学模型四、拉氏反变换[例2]3、含重极点的情况：§2-2拉普拉斯变换及反变换机械传动系统数学模型§2-3传递函数基本要求：掌握传递函数的概念和求解方法熟悉典型环节及其传递函数

一、传递函数的定义二、典型环节及其传递函数三、对传递函数的七点说明本节内容：机械传动系统数学模型

线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。

一、传递函数的定义

§2-3传递函数即系统的传递函数为：式中:C(s)为系统的输出量，R(s)为输入量，m≤n。a0、a1、…

an

及b0、b1、…、bm均为实数,其数值由系统的结构及参数决定。

机械传动系统数学模型若线性定常系统的微分方程一般形式为：

一、传递函数的定义

式中：c(t)为系统的输出量，r(t)为系统的输入量；m≤

n；a0、a1、…

an

及b0、b1、…、bm

均为实数,其数值由系统的结构及参数决定。§2-3传递函数假设c(t)、r(t)及其各阶导数的初始值均为零，对微分方程进行拉氏变换得：机械传动系统数学模型一、传递函数的定义

若线性定常系统的微分方程一般形式为：G(s)R(s)C(s)即为系统的传递函数。§2-3传递函数C（s）=G（s）R（S）机械传动系统数学模型控制系统的数学模型是描述系统内部各物理量（或变量）之间关系的数学表达式或图形表达式或数字表达式。亦：描述能系统性能的数学表达式（或数字、图像表达式）

建立系统数学模型的方法主要有两类：机理建模白箱实验建模（数据建模）黑箱或灰箱G(s)Xi(s)Xo(s)

微分方程传递函数系统方框图传递函数是系统数学模型的又一种形式，也是一种表示输入输出的模型形式。它表示了系统本身的特性而与输入信号无关。它仅能表示输入输出关系，而无法表示出系统的内部结构。§2-3传递函数一、传递函数的定义

机械传动系统数学模型u1u2RCi[例]：求RC无源滤波网络的传递函数在初始值u2(0)=0时，上述微分方程的拉氏变换为：经整理得RC网络的传递函数为：一、传递函数的定义

U1(s)U2(s)定义式法§2-3传递函数机械传动系统数学模型

二、典型环节及其传递函数§2-3传递函数系统的传递函数为：机械传动系统数学模型⑴比例(或放大)环节：G(s)=K⑵(理想)积分环节：G(s)=1/s⑶(理想)微分环节：G(s)=s⑷(一阶)惯性环节：G(s)=1/(Ts+1)⑸一阶微分环节：G(s)=τs+1⑹(二阶)振荡环节：G(s)=1/(T2s2+2ξTs+1)⑺二阶微分环节：G(s)=τ2s2+2ζτs+1

二、典型环节及其传递函数1.典型环节的传递函数§2-3传递函数机械传动系统数学模型①电阻、电感、电容元件：iRuRRiLuLLiCuCC2.典型机电元部件传递函数中的典型环节二、典型环节及其传递函数§2-3传递函数机械传动系统数学模型iuRRuLLuCCIURRULsLUC1/sC①电阻、电感、电容元件：二、典型环节及其传递函数2.典型机电元部件传递函数中的典型环节§2-3传递函数机械传动系统数学模型①电阻、电感、电容元件：iiRRiLLiCCu二、典型环节及其传递函数2.典型机电元部件传递函数中的典型环节§2-3传递函数机械传动系统数学模型u1u2RCi②无源电子网络之一——

RC无源滤波网络：U1(s)R1/CsI(s)U2(s)时域电路模型变为S域模型2.典型机电元部件传递函数中的典型环节S域模型法

二、典型环节及其传递函数§2-3传递函数机械传动系统数学模型u1u2i1i2R1R2C1C2uc1U1(s)U2(s)U1(s)U2(s)③无源电子网络之二：2.典型机电元部件传递函数中的典型环节二、典型环节及其传递函数§2-3传递函数机械传动系统数学模型[思考]是否可把此电路看成是两个独立的RC滤波网络的连接，直接由各自电路的微分方程得出整个电路的微分方程呢？③无源电子网络之二：u1u2i1i2R1R2C1C2uc12.典型机电元部件传递函数中的典型环节二、典型环节及其传递函数§2-3传递函数机械传动系统数学模型注意负载效应问题！③无源电子网络之二：u1u2i1i2R1R2C1C2uc1u1u2R1i2隔离放大器的K=1i1R2C1C22.典型机电元部件传递函数中的典型环节二、典型环节及其传递函数§2-3传递函数机械传动系统数学模型-+R1R2R2R3u1u2Ci④有源电子网络：u0ABU1(s)U2(s)S域模型法

2.典型机电元部件传递函数中的典型环节二、典型环节及其传递函数§2-3传递函数机械传动系统数学模型⑤永磁式直流测速机：2.典型机电元部件传递函数中的典型环节二、典型环节及其传递函数§2-3传递函数机械传动系统数学模型拉氏变换后得：同一元部件可有不同的传递函数！

当负载电阻Ro可视为无穷大时：ωRoLaRaeuoia电动势才与输出电压相等，于是有2.典型机电元部件传递函数中的典型环节二、典型环节及其传递函数§2-3传递函数⑤永磁式直流测速机：机械传动系统数学模型由电机电枢回路的电压方程得:注意负载效应问题而对于一般负载（Ro）的情况：式中：§2-3传递函数二、典型环节及其传递函数2.典型机电元部件传递函数中的典型环节⑤永磁式直流测速机：ωRoLaRaeuoia机械传动系统数学模型⑥

机械转动系统：M(t)ω(t)fJ此系统由惯性负载和粘性摩擦阻尼器构成，负载的转动惯量为

J，粘性摩擦系数为

f，作用到系统上的转矩为M(t)。根据牛顿定律可得：§2-3传递函数二、典型环节及其传递函数2.典型机电元部件传递函数中的典型环节机械传动系统数学模型经拉氏变换得角速度的传递函数：则减速器转矩的传递函数为可见负载转矩M2折算到输入端的折算值为：由机械原理知，在不考虑功率损耗时有M1M2（减速比：）⑦减速器：Z1Z2ω1M1ω2M2§2-3传递函数二、典型环节及其传递函数2.典型机电元部件传递函数中的典型环节机械传动系统数学模型轴Ⅰ：轴Ⅱ：轴Ⅲ：M21M32⑧齿轮传动系统：设输入为转矩M1，输出为转角θ1

。J3,f3M1J1,f1θ1轴ⅠJ2,f2θ2M2轴Ⅱθ3M3轴ⅢZ1Z2Z3Z4且在不考虑功率损耗时有:§2-3传递函数二、典型环节及其传递函数2.典型机电元部件传递函数中的典型环节机械传动系统数学模型M1θ1fJ轴Ⅰ⑧齿轮传动系统：设输入为转矩M1，输出为转角θ1

。J3,f3M1J1,f1θ1轴ⅠJ2,f2θ2M2轴Ⅱθ3M3轴ⅢZ1Z2Z3Z4§2-3传递函数二、典型环节及其传递函数2.典型机电元部件传递函数中的典型环节机械传动系统数学模型⑨弹簧、阻尼器、质量（等效弹性刚度）：Mx(t)f(t)f(t)=kx(t)x(t)f(t)kF(s)=kX(s)F(s)/X(s)=kF(s)=DsX(s)x(t)f(t)Df(t)=Dx(t)F(s)/X(s)=Dsf(t)=Mx(t)F(s)=Ms2X(s)F(s)/X(s)=Ms2§2-3传递函数二、典型环节及其传递函数2.典型机电元部件传递函数中的典型环节机械传动系统数学模型f(t)x(t)kDx1(t)kDf(t)x(t)f(t)=kx(t)+Dx(t)F(s)=kX(s)+DsX(s)F(s)/X(s)=k+Dsf(t)=k[x(t)-x1(t)]并联的弹性刚度等于各弹性刚度之和k[x(t)-x1(t)]=Dx1(t)F(s)=k[X(s)-X1(s)]k[X(s)-X1(s)]=DsX1(s)F(s)/X(s)=kDs/(k+Ds)串联弹性刚度等于各弹性刚度的倒数之和的倒数⑨弹簧、阻尼器、质量（等效弹性刚度）：§2-3传递函数二、典型环节及其传递函数2.典型机电元部件传递函数中的典型环节机械传动系统数学模型二、典型环节及其传递函数D1D2§2-3传递函数机械传动系统数学模型三、对传递函数的七点说明1、传递函数只适用于线性系统，而不适用于非线性系统。因为传递函数是在拉氏变换的基础上导出的，而拉氏变换是一种线性积分变换，只适用于线性微分方程，非线性系统不能用线性微分方程来描述，也就不能用传递函数表示。2、传递函数中的各项系数与微分方程中的各项系数对应相等，完全由系统的内部结构、参数决定，而与输入量的大小和形式无关，故传递函数与微分方程一样，均可作为系统的动态数学模型。§2-3传递函数机械传动系统数学模型

3、传递函数的结构形式及参数虽然相同，但输入、输出的物理量不同，则代表的物理意义不同。从另一方面说，两个完全不同的系统（例如一个是机械系统，一个是电子系统），只要它们的控制性能一样，就可以有完全相同的传递函数。这就是在实验室做模拟实验的理论基础。4、一个传递函数[G(s)=C(s)

/R(s)]只能表示一个输入量对一个输出量的关系，对同一部件可有不同的传递函数。至于信号传递通道中的中间变量，用一个传递函数无法全面反映。三、对传递函数的七点说明§2-3传递函数机械传动系统数学模型

5、传递函数只表明线性系统的零状态响应特性，它是由系统工作状态相对静止时得出的。这时可认为，对于相对给定的平衡点，系统输出量和输入量的初始值均为零，这才符合传递函数的定义。

6、传递函数分子多项式的阶次总是低于至多等于分母多项式的阶次，即m≤n

。这是因为实际物理系统或元件中总是含有较多的惯性元件，以及能源又是有限的缘故。传递函数分母中S的最高阶次等于输出量导数的最高阶次。如果S的最高阶次为n，则系统称为n阶系统。三、对传递函数的七点说明§2-3传递函数机械传动系统数学模型

7、传递函数的三种常用的表示形式：（1）定义表示式（2）典型环节表示式（3）零极点表示式三、对传递函数的七点说明§2-3传递函数机械传动系统数学模型§2-4系统方框图一、系统方框图方框图模型是控制系统的又一种数学模型。特点：具有图示模型的直观，能表明系统个元件的功能及信号的流向。方框图具有数学性质，可以进行代数运算和等效变换，是计算系统传递函数的有力工具，应用非常普遍。系统方框图与原理图是不一致的！机械传动系统数学模型§2-4系统方框图一、系统方框图组成A(s)B(s)C(s)=A(s)±B(s)±A(s)A(s)A(s)信号线：表示信号传递通路与方向。方框：表示对信号进行的数学变换。方框中写入元件或系统的传递函数。比较点：对两个以上的信号进行加减运算。引出点：表示信号引出或测量的位置。同一位置引出的信号数值和性质完全相同。R(s)C(s)E(s)G(s)H(s)(-)系统方框图表示符号的“三要素”机械传动系统数学模型二、系统方框图的绘制对各元件的微分方程进行拉氏变换，并做出各元件的方框图表示。2.按照系统中各变量的传递顺序，依次将各元件的方框图连接起来，可得系统的方框图。3.绘制系统方框图的步骤建立控制系统各元件的微分方程。注意分清各元件的输入和输出，同时考虑相邻元件之间的负载效应。1.§2-4系统方框图机械传动系统数学模型[例1]：试建立图示机械系统的方框图(或结构图)。J1J2T2T1θok2fθik1θ1解：二、系统方框图的绘制§2-4系统方框图机械传动系统数学模型Θ1(s)－k1Θi(s)T1(s)T2(s)－Θ1(s)Θo(s)－k2T2(s)Θo(s)[例1]：试建立图示机械系统的方框图(或结构图)。J1J2T2T1θok2fθik1θ1二、系统方框图的绘制§2-4系统方框图机械传动系统数学模型Xo(s)X2Xi(s)F2[例2]：试建立图示汽车简化力学模型的方框图。xo(t)k1Dk2M1M2x2(t)xi(t)路面轮胎弹性车轮质量弹簧减振器汽车质量Mx(t)f(t)x(t)f(t)kF(s)/X(s)=kx(t)f(t)DF(s)/X(s)=DsF(s)/X(s)=Ms2F1K1+Ds二、系统方框图的绘制§2-4系统方框图机械传动系统数学模型这里主要介绍利用S域模型建立电子网络方框图的方法[例3]：试建立图示电子网络的方框图(或结构图)。R1CR2u1u2＋IR1(s)IC(s)U2(s)R2I(s)1/R1CsU1(s)－U二、系统方框图的绘制§2-4系统方框图机械传动系统数学模型[例4]：试建立图示电子网络的方框图(或结构图)。uiuoi1i2R1R2C1C2u二、系统方框图的绘制§2-4系统方框图U(s)I2(s)

Uo(s)(d)

(-)IC(s)U(s)(c)

IC(s)I1(s)I2(s)

(-)(b)Ui(s)I1(s)

U(s)

(-)(a)I2(s)

Uo(s)(e)Ui(s)Uo(s)

I2(s)

U(s)IC(s)

I1(s)

(-)

(-)

(-)(f)机械传动系统数学模型[例4]：试建立图示电子网络的方框图(或结构图)。uiuoi1i2R1R2C1C2uI2(s)Uo(s)I1(s)－U

(s)－－Ui(s)二、系统方框图的绘制§2-4系统方框图机械传动系统数学模型一、系统方框图的等效变换法则G1(s)G2(s)Xi(s)Xo(s)1.串联方框的等效变换G1(s)Xi(s)Xo(s)G2(s)Y(s)G(s)Xi(s)Xo(s)§2-4系统方框图的等效变换和梅逊公式1）各前向通路的传函保持不变，2）各回路的传函保持不变。R(s)C(s)E(s)G(s)H(s)(-)机械传动系统数学模型G1(s)±G2(s)Xi(s)Xo(s)G(s)Xi(s)Xo(s)2.并联方框的等效变换G1(s)Xi(s)Xo(s)G2(s)±一、系统方框图的等效变换法则§2-4系统方框图的等效变换和梅逊公式机械传动系统数学模型Xi(s)Xo(s)Φ(s)Xi(s)Xo(s)3.反馈连接的等效变换G

(s)Xi(s)Xo(s)H(s)±一、系统方框图的等效变换法则§2-4系统方框图的等效变换和梅逊公式前向通道的传函G(s)反馈通道的传函H(s)开环传函G(s)H(s闭环传函

(s)机械传动系统数学模型4.加减点的(等效)移动C(s)A(s)B(s)±G

(s)C(s)A(s)B(s)±G

(s)1/G

(s)一、系统方框图的等效变换法则D(s)A(s)B(s)±±C(s)D(s)A(s)B(s)±±C(s)D(s)A(s)B(s)±±C(s)§2-4系统方框图的等效变换和梅逊公式机械传动系统数学模型一、系统方框图的等效变换法则5.引出点的(等效)移动G(s)A(s)B

(s)A(s)G(s)A(s)B

(s)A(s)1/G(s)A(s)A(s)A(s)A(s)A(s)A(s)§2-4系统方框图的等效变换和梅逊公式机械传动系统数学模型[例1]＋IR1(s)IC(s)U2(s)R2I(s)1/R1CsU1(s)－二、由系统方框图求系统传递函数的方法：⑴利用方框图的等效变换⑵利用梅逊公式主要有两种：1、利用方框图的等效变换求系统传递函数§2-4系统方框图的等效变换和梅逊公式

(Cs+1/R1)机械传动系统数学模型[例2]－－k2Θo(s)－k1Θi(s)Θi(s)－－k2Θo(s)－k11、利用方框图的等效变换求系统传递函数－－k2Θo(s)－k1Θi(s)或§2-4系统方框图的等效变换和梅逊公式注意:分支点与相加点尽量避免相互跨越!机械传动系统数学模型1、利用方框图的等效变换求系统传递函数§2-4系统方框图的等效变换和梅逊公式[例3]教材P69的例2-6H1H2G1G2G3G4(-)(-)RY

RH2+G3H1G1G2G3H2G4(-)Y(a)G4G3H2Y

R(b)G4Y

R(c)机械传动系统数学模型2、利用梅逊公式求系统传递函数§2-4系统方框图的等效变换和梅逊公式1+R1C1s

x2x5x4

x6

-1

x3

x7I(s)

R2

1/R1

x1信号流图的基本性质：①节点标志系统的变量，节点标志的变量是所有流向该节点信号的代数和；②信号在支路上沿箭头单向传递；③前向通路：信号从输入节点到输出节点传递时，每个节点只通过一次的通路，叫前向通路。前向通路上各支路增益之乘积称前向通路总增益，一般用Pk表示。④回路：起点和终点在同一节点，而且信号通过每一节点不多于一次的闭合通路称回路。回路上各支路增益之乘积称回路增益，一般用La表示。⑤不接触回路：回路之间没有公共节点时，称不接触回路。机械传动系统数学模型2、利用梅逊公式求系统传递函数梅逊公式Pk是指从输入端到输出端第k条前向通路的传递函数△为特征式:△=1-∑La+∑LbLc-∑LdLeLf+……式中,∑La是指所有不同回路的“回路传递函数”之和ⅢⅡⅠ∑LbLc是指两两互不接触回路的“回路传递函数”之和∑LdLeLf是指所有三个互不接触回路的“回路传递函数”之和G1G2Xi(s)Xo(s)[例]§2-4系统方框图的等效变换和梅逊公式机械传动系统数学模型2、利用梅逊公式求系统传递函数△k是指特征式△中,

将与第

k

条前向通路相接触的“回路传递函数”所在的项代以零值

(

或除去

)

以后的余式。梅逊公式§2-4系统方框图的等效变换和梅逊公式ⅢⅡⅠG1G2Xi(s)Xo(s)[例]机械传动系统数学模型2、利用梅逊公式求系统传递函数I2(s)U2(s)I1(s)－Uc1(s)－－U1(s)[例2]§2-4系统方框图的等效变换和梅逊公式机械传动系统数学模型[例3]G1Xi(s)Xo(s)解法一：利用等效变换解法二：利用梅逊公式Xi(s)Xo(s)G11/G12、利用梅逊公式求系统传递函数§2-4系统方框图的等效变换和梅逊公式机械传动系统数学模型[例3]G1Xi(s)Xo(s)2、利用梅逊公式求系统传递函数解法三：A(s)B(s)§2-4系统方框图的等效变换和梅逊公式机械传动系统数学模型[练习题]G1(s)Xi(s)Xo(s)G2(s)－－+[练习题]G1(s)Xi(s)Xo(s)G2(s)－－++§2-4系统方框图的等效变换和梅逊公式机械传动系统数学模型§2-5反馈系统的开环和闭环传递函数自动控制系统在工作过程中会受到外加信号的作用，其中一种信号是控制信号或输入信号；另一种信号则是干扰信号或扰动信号。输入信号加在系统的输入端，而干扰信号多作用于受控对象。一典型的闭环控制系统为：G1(s)G2(s)H(s)N(s)R(s)C(s)B(s)机械传动系统数学模型一、系统开环传递函数的概念

G1(s)G2(s)H(s)N(s)R(s)C(s)B(s)如将图中H(s)的输出通路断开,即断开系统的主反馈通路,

这时前向通路传递函数与反馈通路传递函数的乘积G1(s)G2(s)H(s),称为系统的开环传递函数。§2-5反馈系统的开环和闭环传递函数机械传动系统数学模型1、r(t)作用下的闭环传递函数：令n(t)=0，则输出c(t)与输入r(t)之间的传递函数，称为系统在r(t)作用下的闭环传递函数。二、系统闭环传递函数的概念G1(s)G2(s)H(s)N(s)R(s)C(s)B(s)§2-5反馈系统的开环和闭环传递函数机械传动系统数学模型2、n(t)作用下的闭环传递函数：令r(t)=0，则输出c(t)与干扰n(t)之间的传递函数称为系统在n(t)作用下的闭环传递函数。N(s)C(s)G1(s)G2(s)H(s)二、系统闭环传递函数的概念G1(s)G2(s)H(s)N(s)R(s)C(s)B(s)§2-5反馈系统的开环和闭环传递函数机械传动系统数学模型根据线性系统的叠加原理，可知系统的总输出为:三、系统的总输出G1(s)G2(s)H(s)N(s)R(s)C(s)B(s)§2-5反馈系统的开环和闭环传递函数机械传动系统数学模型基本要求▲正确建立控制元部件和系统的微分方程

▲了解非线性微分方程的线性近似方法▲掌握传递函数的定义及其求解方法

▲熟悉典型环节及其传递函数▲掌握系统动态方框图的建立方法

▲掌握动态方框图的简化以及梅逊公式▲掌握反馈系统开环和闭环传递函数的概念系统的动态数学模型机械传动系统数学模型1.3机械传动

机械的主功能是完成机械运动，一部机器必须完成相互协调的若干机械运动，每个机械运动可用单独的控制电机、传动件和执行机构组成的若干子系统来完成，若干个机械运动由计算机来协调与控制。这就使设计机械时的总体布局、机械选型和结构造型更加合理和多样化。机电一体化机械系统的良好伺服性能，要求机械传动部件满足转动惯量小、摩擦小、阻尼合理、刚度大、振动特性好、间隙小的要求，还要求机械部分的动态特性与电机速度环的动态特性相匹配。为满足以上的要求，采用与传统机械机构不同的结构，主要包括：滚珠丝杠、调隙齿轮、谐波齿轮、贴塑导轨等等。机械传动系统数学模型1.3机械传动一、滚动螺旋传动（一）工作原理及结构形式工作原理：螺杆和螺母的螺纹滚道间置滚珠，当螺杆或螺母转动时，滚珠沿螺纹滚道滚动，使螺杆和螺母作相对运动时为滚动摩擦。提高了传动效率和传动精度；传动平稳、同步性好，不易产生爬行、随动精度和定位精度高；磨损小，寿命长；不能自锁，传动具有可逆性；结构复杂，工艺要求高，成本高。机械传动系统数学模型1.3机械传动机械传动系统数学模型1.3机械传动机械传动系统数学模型1.3机械传动一、滚动螺旋传动结构形式：根据滚珠的循环方式，滚动螺旋传动结构形式为内循环类型与外循环类型。

外循环滚动螺旋传动

l---螺母2---钢球3---挡球器、反向器4---螺杆机械传动系统数学模型内循环滚动螺旋传动

l---螺母2---钢球3---挡球器、反向器4---螺杆机械传动系统数学模型

外循环有回球槽式和插管式。

回球槽式是螺母外表面有回球槽，槽的两端有通孔与螺母的螺纹滚道相切，形成滚珠返回通道。为引导滚珠在通孔内顺利出入，在孔口置有挡球器。特点：是螺母外径尺寸较小，安装方便。

回球槽式机械传动系统数学模型

插管式采用外接套管作为滚珠返回通道。结构简单、制造方便，但弯管突出于螺母外部，外形尺寸较大。若用弯管端部作挡球器，耐磨性差。

插管式机械传动系统数学模型内循环镶块式

在螺母上开有侧孔，孔内镶有反向器，将相邻两螺纹滚道联接起来。滚珠从螺纹滚道进入反向器，越过螺杆牙顶，进入相邻螺纹滚道，形成循环回路。特点是螺母的外径尺寸较小，和滑动螺旋副大致相同。滚珠返回通道短，有利于减少滚珠数量、减少磨损、提高传动效率，但反向器回行槽加工要求高。镶块式内循环机械传动系统数学模型

(二)消除间隙和调整预紧

滚动螺旋传动的消除间隙和调整预紧一般有垫片式、螺纹式和齿差式三种。

垫片式调整垫片厚度，使螺母产生轴向位移。结构紧凑、工作可靠、调整方便、应用广，但不很准确。并且当滚道磨损时不能随意调整，除非更换垫圈，故适用于一般精度的机构。垫片调隙式1---螺母2—垫片机械传动系统数学模型

螺纹调隙式螺母1的外端有凸缘，螺母3加工有螺纹的外端伸出螺母座外，用两个圆螺母2锁紧。键4的作用是防止两个螺母的相对转动。旋转圆螺母即可调整轴向间隙和预紧。特点是结构紧凑、工作可靠、调整方便。缺点是不很精确。螺纹调隙式1、2、3---螺母4---键机械传动系统数学模型

齿差调隙式在螺母1和4的凸缘上切出齿数相差一个齿的外齿轮(z4=zl+1)，把其装入螺母座中分别与具有相应齿数(z1和z4)的内齿轮2和3啮合。调整时，先取下内齿轮，将两个螺母相对螺母座同方向转动一定的齿数，然后把内齿轮复位固定。此时，两个螺母之间产生相应的轴向位移，从而达到调整的目的。当两个螺母按同方向转过一个齿时，其相对轴向位移为齿差调隙式1、4---螺母2、3---内齿轮机械传动系统数学模型（三）滚动螺旋机构的主要尺寸及标注1、主要尺寸机械传动系统数学模型（三）滚动螺旋机构的主要尺寸及标注2、滚动丝杠副的标注法机械传动系统数学模型（三）滚动螺旋机构的主要尺寸及标注2、滚动丝杠副的标注法螺纹旋向，右旋不标检查项目标号精度等级负载滚珠总圈数基本导程公称直径预紧方式(见各厂代号)循环方式(见各厂代号)外形结构特征(见各厂代号)机械传动系统数学模型（三）滚动螺旋机构的主要尺寸及标注2、滚动丝杠副的标注法示例1）汉江机床厂标记法：FC1B-60×6-5-E2左，它表示法兰凸出式插管型、变位螺距预加载荷、公称直径60mm、基本导程6mm、每个螺母上承载滚珠总圈数为5圈、E级精度、检查1~2项、左旋螺纹。2）南京工艺装备制造厂标记法：FFZD40×5-3-D3/1400×900，它表示浮动式内循环、法兰与直筒螺母组合垫片预紧、公称直径40mm、基本导程5mm、承载滚珠总圈数为3圈、D级精度、检查1~3项、右旋、丝杠全长1400mm、螺纹长度900mm。机械传动系统数学模型（三）滚动螺旋机构的主要尺寸及标注

3、精度等级数控机床、精密机床和精密仪器用于进给系统时，根据定位精度和重复定位精度的要求，可选用C、D、E级等；一般动力传动，其精度等级偏低，可选F、G等。各类型机械精度等级的要求。机械传动系统数学模型

(四)支撑方式的选择

丝杠的轴承组合及轴承座、螺母座以及与其它零件的连接刚性，对滚珠丝杠副传动系统的刚度和精度都有很大的影响，需在设计、安装时认真考虑。为了提高轴向刚度，丝杠支承常用推力轴承为主的轴承组合，仅当轴向载荷很小时，才用向心推力轴承。机械传动系统数学模型

(四)支撑方式的选择

除表中所列的特点以外，应该知道，当滚珠丝杠副工作时，因受热(摩擦及其它热源)而伸长，它对第一种支承方式的预紧轴承将会引起卸载，甚至可能产生轴向间隙，此时与第三、第四种支承情况类似，但对第二种支承方式，其卸载的结果可能在两端支承中造成预紧力的不对称，且只能允许在某个伸长范围内，即要严格限制其温升，故这种高刚度、高精度支承方式更适宜于精密丝杠传动系统。机械传动系统数学模型(五)滚动螺旋传动的设计计算

设计滚动螺旋传动时，已知条件是：工作载荷F或平均工作载荷Fm；螺旋的使用寿命L’h；螺杆的工作长度(或螺母的有效行程)l；螺杆的转速n(r／min)以及滚道硬度HRC和运转情况。一般设计步骤是：

1)求出螺旋传动的计算载荷Fc式中KF——载荷系数，1～2．5；

KH——硬度系数，1～4；

KL——短行程系数，l—1．3；Fm——平均工作载荷。机械传动系统数学模型

2)考虑寿命从滚动螺旋的系列中找出相应的额定动载荷，初步确定其规格(或型号)式中：Ca’——额定动载荷；

nm——螺杆的平均转速(r／min)；Lh’——运转寿命(h)。3)根据所选规格(或型号)列出主要参数。

4)验算传动效率、刚度及工作稳定性是否满足要求，如不能满足要求则应另选其它型号并重新进行验算。5)对于低速(n≤10r/min)传动，只按额定静载荷计算即可。

机械传动系统数学模型

例2-3试计算一数控铣床工作台进给用滚动螺旋传动。已知平均工作载荷螺杆工作长度平均转速要求使用寿命左右，螺杆材料为CrWMn钢，滚道硬度58~62HRC，传动精度要求为0.03mm。解：（1）求计算载荷

机械传动系统数学模型(2)根据寿命条件计算必须的额定动载荷机械传动系统数学模型(3)根据必需的额定动载荷选择螺旋尺寸现假设用内循环结构的许用动载荷接近或稍大于的原则，所选择的螺旋有下列几个规格:1)机械传动系统数学模型考虑各种因素选用1)计算一下丝杠螺母副的尺寸滚道半径:偏心距:螺杆内径:机械传动系统数学模型(4)稳定性计算因为螺杆较长,所以稳定性的计算应以下式求临界载荷式中E为弹性模量螺杆危险截面的轴惯性距为丝杠内径为长度系数,两端铰接时

机械传动系统数学模型是稳定的。机械传动系统数学模型

(5)刚度验算按最不利的情况考虑,螺纹螺距因受轴向力引起的弹性变形与受转距引起弹性变形方向是一致的.故有机械传动系统数学模型式中摩擦系数机械传动系统数学模型每米螺纹长度上的螺纹距离的弹性变形为通常要求丝杠的导程误差应小于其传动精度的一半，即所以机械传动系统数学模型（6）效率验算式中所以要求在90％－95％之间，满足要求。机械传动系统数学模型二、齿轮传动装置

机械传动系统数学模型二、齿轮传动装置(一)应用概述在下列情况下，在进给轴上常用齿轮传动：1)使伺服电动机的转速与低速的滚珠丝杠装置、齿轮齿条传动装置、蜗轮传动装置的转速相匹配。2)减少外部转动惯量折算到电机轴上的值。3)增大主动轴的转矩。4)把电动机的实际位置与机床所需要的位置联成一体。在进给传动中一般选用一级齿轮传动，在主传动中，虽然主轴一般采用变频电机调速，但为了提高输出转矩和充分利用电机功率，一般配高低档变速！机械传动系统数学模型齿轮传动装置的优点：

1)进给电动机轴与进给丝杠不必在同一条直线上，即电动机的安装有多种的方式。2)电动机轴上外部转动惯量Jexi按比值1／i2减少，要求电动机轴上的转矩减少1／i，这表明可使用较小的电动机。3)在要求快速横向进给速度时，为使电动机转速一体化，除了进给丝杠导程h以外，齿轮速比i是另一个重要参数。4)对于转动惯量和驱动装置有关的动态特性一体化，可选用适当的齿轮速比使之最优化。机械传动系统数学模型齿轮传动装置的缺点：1)齿轮传动装置是一个附加的结构部件，对其设计和生产都有一定的要求，增加了制造成本。2)齿轮传动可能把附加的非线性(间隙)引入位置控制环，而且这类非线性只能部分地予以消除。3)虽然齿轮传动装置输出端的全部转动惯量可以通过齿轮速比予以减少，但齿轮转动惯量本身影响驱动装置的总转动惯量。

机械传动系统数学模型齿轮传动装置的缺点：

4)由于附加转动惯量及非线性对控制参数产生影响，因此必须仔细地调整速度调节器。5)齿轮的磨损可能引起反转误差的逐渐扩大，因此必须及时重新调整。6)齿轮传动装置在运行及停止时，特别是电源为一个线性同步换流器时，齿轮可能产生高的噪声电平。在运行时，高噪声电平产生的原因是齿廓误差及齿根面啮合过程引起的齿轮之间交变的反转误差。在静止时，高噪声电平产生的原因是齿轮间隙内的电动机振动。机械传动系统数学模型

(二)技术条件当应用齿轮或同步带轮来作为进给装置时，需要满足以下技术要求：1)大齿轮折算到电动机轴上的转动惯量要小。2)刚度大。3)无间隙。4)噪声低。

机械传动系统数学模型齿轮的转动惯量要小，这对于整个进给驱动装置的动态特性是重要的。齿轮应该由刚度大、密度小的材料制成。由于齿轮的转动惯量与其直径4次方成正比，它的直径应选得尽可能的小。对于安装在齿轮传动装置输出轴上的齿轮特别要注意该点。如果由于结构上的原因，必须使用结构类型3来代替类型1，则齿轮速比1≤i≤1.3比i=1更为合适。然而，在这种情况下，电动机最高转速必定高于直接联接时速比(i=1)所需要的转速。下面对这两种齿轮速比作一比较分析。机械传动系统数学模型齿轮速比i=1时，齿轮1与齿轮2的直径为d。齿轮速比i>1时，电机轴上齿轮1的直径为d1，驱动轴上齿轮2的直径为d2。各齿轮折算到电动机轴上的齿轮转动惯量是：当齿轮速比

i=1

当齿轮速比i>1机械传动系统数学模型如果我们假定dl+d2=2d，然后代入得转动惯量的关系式为：在范围1≤i≤1.3里，可得到近似值为：

这表示速比范围在1≤i≤1.3的齿轮转动惯量是速比i=l的齿轮转动惯量的1／i。机械传动系统数学模型

为了使机械传动部件的总刚度大，齿轮装置的扭转弹性系数必须保持尽可能的大，对于同步带齿轮，如果适当地确定尺寸并预加载荷，就会具有很高的刚度值。齿轮传动装置的齿轮轴必须尽可能地短，且有较好地抗弯曲与抗扭性能。电动机与滚珠丝杠之间在传动过程中的反转误差，可以利用图2—22的结构类型l来加以改善。具有同步带传动装置的结构类型2或3在很大程度上也能消除反转误差。反转误差之和相当于位置控制信号流的滞后。由于在轮廓控制传动及相当的低速进行定位时，最大驱动转矩不起作用，因此不必按大驱动转矩设计齿轮的预载荷。然而，当计算预加载齿轮的刚度时，必须考虑到预载荷。机械传动系统数学模型(三)齿轮传动间隙的消除措施

齿轮完全无间隙的传动，只是在理论上能够实现。事实上齿轮在制造过程中加工误差是无法避免的。两个啮合着的齿轮。总要有微量的齿侧隙才能使齿轮正常地工作。为保证齿轮传动的精度，应采用一些措施尽可能地消除齿侧隙。机械传动系统数学模型

1．圆柱齿轮传动(1)偏心轴套调整法电液脉冲马达2是用偏心环1装在壳体内，该偏心环可以调节两个啮合着的圆柱齿轮中心距，这样就可以用缩小中心距的方法来消除圆柱齿轮正、反转时的齿侧隙。机械传动系统数学模型(2)轴向垫片调整法两个啮合着的圆柱齿轮1和3，如果它们的节圆直径沿着齿宽方向制成稍有锥度(其外形有些像插齿刀)，这样就可以用轴向垫片2使齿轮1在轴向错位而消除它的齿侧隙。装配时，调整轴向垫片2的厚度大小，可以达到齿轮1与齿轮3无侧隙啮合，并且转动灵活。

以上两种调整方法的特点是结构简单，但齿侧隙调整后不能自动补偿。机械传动系统数学模型

(3)双片薄齿轮错齿调整法

两个啮合着的圆柱齿轮，其中一个是宽齿轮，另一个是由两薄片组成的齿轮，再附加某些措施，使一个薄片齿轮的齿左侧和另一个薄片齿轮的齿右侧分别紧贴在宽齿轮的齿槽左、右两侧。这样错齿后就没有齿侧隙，故反向时就不会出现死区。

机械传动系统数学模型周向弹簧式：在两个薄片齿轮3和4上各开了几条周向槽，并在齿轮3和4的端面上各压配有安装弹簧1的短柱2，在弹簧1的作用下使薄片齿轮4和3错位而消除齿侧隙。弹簧l的张力必须足以克服传动扭矩才能起作用。在设计弹簧1时必须进行强度计算。由于周向圆槽及弹簧的尺寸不能太大，这种结构形式仅适用于读数装置或传动力矩很小的机械装置。

1、弹簧2、短柱3、4齿轮圆柱薄片齿轮周向弹簧错齿调整法机械传动系统数学模型可调拉簧式：在两个薄片齿轮8和9上各装有螺纹的凸耳1与7。弹簧2的一端钩在凸耳1上，另一端钩在螺钉5上。弹簧2所受的张力大小可用螺母3来调节螺钉5的伸出长度。调整好后可用螺母4来锁紧，在简易数控机床进给传动中，步进电机和长丝杠之间的齿轮传动常采用这种方式。

以上两种调整方法的特点是齿侧隙能够自动补偿，但其结构比较复杂。圆柱薄片齿轮可调拉簧错齿调整法

l、6、7、凸耳2、弹簧3、4、螺母5、螺钉8、9、薄片齿轮机械传动系统数学模型

2．斜齿轮传动齿侧隙的消除方法。(1)垫片调整法

基本上与上述错齿调整法相同，也就是用两个薄片齿轮和一个宽齿轮啮合，只是在两个薄片斜齿轮的中间隔开了一小段距离，这样它的螺旋线便错开了。在两个薄片斜齿轮3和4中间，加一个垫片2，这样一来，薄片齿轮3和4的螺旋线就错位，而分别与宽齿轮1齿的左、右侧面贴紧。

斜齿薄片齿轮垫片错齿调整法1、宽齿轮2、垫片3、4、薄片齿轮

这种调整方法的特点是结构比较简单，但调整起来比较费事，并且齿侧隙也不能自动补偿。机械传动系统数学模型三、微动装置(一)概述微动装置是机械中某一部件在一定范围内产生缓慢而平稳的微量移动(或转动)的一种装置。在机电一体化产品中，微动装置一般用于精确、微量地调节某一部件的相对位置。如在仪器的读数系统中，调整刻度尺的零位；在万能测长仪中，用摩擦微动装置调整刻度尺的零位；在磨床中，用螺旋微动装置调整砂轮架的微量进给。机械传动系统数学模型微动装置性能的好坏，在一定程度上影响机械产品的精度和操作性能。因此，对微动装置基本性能的要求是：1)应有足够的灵敏度，使微动装置的最小位移量能满足使用要求。2)传动灵活、平稳、无空回产生。

3)工作可靠、对调整好的位置在一定时期内应保持稳定。4)若微动装置包括在仪器的读数系统中，则要求微动手轮的转动角度与直线微动(或角度微动)的位移量成正比。5)要有良好的工艺性，使用方便并经久耐用。

机械传动系统数学模型按传动原理不同，微动装置分为机械式微动装置、电气----机械式微动装置和其它形式的微动装置。(二)机械式微动装置在微动装置中，常用的机械传动类型有：螺旋传动、齿轮传动、摩擦传动、杠杆传动以及几种传动方案的综合。

机械传动系统数学模型1．螺旋微动装置螺旋微动装置结构简单、制造较方便。图为万能工具显微镜工作台的微动装置，它由螺母2、调节螺母3、微动手轮4、螺杆5和滚珠6等组成。整个装置固定在测微外套1上；旋转微动手轮4时，螺杆5顶动工作台，实现工