6.2.16.2.2向量的减法运算向量的加法运算

&向量的减法运算向量的加法运算【考点梳理】考点一：向量加法法则考点二：向量加法的运算律考点三：向量加法法则的几何应用考点四：相反向量考点五：向量减法法则考点六：向量减法的运算律考点七：向量减法法则的几何应用考点八：向量加减法的综合问题【考点梳理】知识点一向量加法的定义及其运算法则1.向量加法的定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.2.向量求和的法则向量求和的法则三角形法则已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，则向量eq\o(AC,\s\up6(→))叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a平行四边形法则以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，则以O为起点的对角线eq\o(OC,\s\up6(→))就是a与b的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则知识点二向量加法的运算律交换律a＋b＝b＋a结合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)技巧：向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系区别联系三角形法则(1)首尾相接(2)适用于任何向量求和三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半知识点三：相反向量1.定义：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a.2.性质(1)零向量的相反向量仍是零向量.(2)对于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.(3)若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.知识点四：向量的减法1.定义：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，因此减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算，叫做向量的减法.2.几何意义：在平面内任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则向量a－b＝eq\o(BA,\s\up6(→))，如图所示.3.文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量.【题型归纳】题型一：向量加法法则1．（2021下·高一课时练习）化简下列各式：①；②；③；④．其中结果为的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据向量的加减运算法则计算，逐一判断①②③④的正确性，即可得正确答案.【详解】对于①：，对于②：，对于③：，对于④：，所以结果为的个数是，故选：B2．（2021·高一课时练习）向量化简后等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由向量加法运算法则直接计算可得结果.【详解】故选：C.3．（2021下·云南保山·高一统考期中）如图，在中，为的中点，为上一点，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用平面向量的加法运算求解.【详解】因为为的中点，所以.故选：A题型二：向量加法的运算律4．（2020下·辽宁阜新·高一）下列向量的运算结果为零向量的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】根据向量加法运算规律，逐项检验，即可求得答案.【详解】对A，；对B，；对C，；对D，.综上所述，只有C符合题意故选：C.【点睛】本题解题关键是掌握向量加法运算规律，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.5．（2021·高一课时练习）已知下列各式：①；②；③；④.其中结果为的是.(填序号)【答案】①④/④①【分析】利用向量加法的运算法则化简各项向量的线性表达式，即可确定结果是否为.【详解】①;②;③;④.故答案为：①④.6．（2021下·高一课时练习）如图，在平行四边形中，O是和的交点.（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】【分析】根据向量加法法则计算．【详解】（1）由平行四边形法则，；（2）由向量加法的三角形法则，；（3）由向量加法法则得，；（4）由向量加法法则得，．故答案为：；；；．题型三：向量加法法则的几何应用7．（2023下·山西阳泉·高一统考期末）菱形中，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据菱形的几何性质结合向量的线性运算求解.【详解】因为菱形中，，若，所以为等边三角形，且，因为，所以.故选：B.8．（2022·高一课时练习）已知是正三角形，则下列等式中不成立的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据向量加法的三角形法则及是正三角形，逐一判断即可.【详解】解：对于A，因为，,所以，故正确；对于B，因为,(为中点)，故错误；对于C，因为(为中点),(为中点),所以，故正确；对于D，因为，，所以，故正确.故选：B.9．（2022下·广东广州·高一广州市第二中学校考阶段练习）点P在内部，满足，则为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分别取、的中点、，连接，根据平面向量的线性运算确定点的位置，由此可求得的值.【详解】分别取、的中点、，连接，因为，，所以，，同理可得，因为，所以，，所以，，所以，点为线段上靠近点的三等分点，故，，，因此，.故选：C.题型四：相反向量10．（2021下·安徽安庆·高一统考期末）设点分别是的三边的中点，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用向量的线性运算和中点的向量表示进行计算，即得结果.【详解】由已知可得，故选：A.11．（2020·河南·高一校联考阶段练习）已知是所在平面内一点，为线段的中点，且，那么A． B． C． D．【答案】A【分析】所给等式可整理为，再由为的中点得，推出，得解.【详解】因为，所以，因为为的中点，所以，则.故选:A【点睛】本题考查平面向量的线性运算，属于基础题.12．（2010下·辽宁本溪·高一统考期末）如图所示，已知在中，是边上的中点，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由题意得，再由，即可得到答案.【详解】由于是边上的中点，则..故选：B.题型五：向量减法法则13．（2023下·山东泰安·高一统考期中）下列向量的运算结果不正确的是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据向量的加减法法则逐个分析判断即可.【详解】对于A，，所以A正确，对于B，，所以B错误，对于C，，所以C正确，对于D，，所以D正确，故选：B14．（2023下·湖南长沙·高一湖南师大附中校考期末）如图，在平行四边形中，对角线与交于点，且为的中点，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据平面向量的线性运算法则，准确化简，即可求解.【详解】因为为的中点，可得，所以.故选：C.15．（2023·高一课时练习）下面四个式子不能化简成的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据向量加减法的运算规则求解.【详解】对于A，，点D和A的位置不详，不可继续计算，错误；对于B，，正确；对于C，，正确；对于D，，正确；故选：A.题型六：向量减法的运算律16．（2023下·天津和平·高一天津市第五十五中学校考阶段练习）下列各式中不能化简为的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得.【详解】对于A：，故A正确；对于B：，故B错误；对于C：，故C正确；对于D：，故D正确；故选：B17．（2021下·云南昆明·高一云南师大附中校考期中）已知是所在平面内一点，且满足，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据向量的运算法则将变形即可求出．【详解】因为，所以，，得．故选：C．18．（2022·全国·高一专题练习）如图，、、、是平面上的任意四点，下列式子中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据向量的加法减法运算法则，即可求解.【详解】故选：B题型七：向量减法法则的几何应用19．（2022下·湖南长沙·高一长郡中学校考期中）如图为正八边形，其中为正八边形的中心，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据正八边形的几何性质可知，结合向量的减法运算，可得答案.【详解】因为，所以，故选:A.20．（2021·高一课时练习）如图，向量，，，则向量可以表示为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据平面向量的加减法法则结合图形即可得到答案.【详解】如图，.故选：D.21．（2021下·北京·高一清华附中校考期中）已知，A，，，在同一平面内，，且，则的最大值为（

）．A． B． C． D．4【答案】B【分析】由向量加减运算几何意义及向量的模的几何意义分析即可得出答案．【详解】解：，，又，．，当、同向，且与反向时，取得最大值，故选：B．题型八：向量加减法的综合问题22．（2023下·新疆·高一校考期中）化简下列各向量的表达式：(1)；(2)；(3)；【答案】(1).(2).(3)【分析】根据平面向量的加法运算和减法运算法则可求出结果.【详解】（1）.（2）.（3）.23．（2023下·湖北·高一校联考阶段练习）如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，，，，，用，表示下列各式．(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据平面向量的加法运算求解即可.（2）根据平面向量的加法、减法运算求解即可.【详解】（1）由题知：．（2）

．24．（2023下·河南南阳·高一统考阶段练习）如图所示，在平行四边形中，，分别为边和的中点，为与的交点．(1)若，则四边形是什么特殊的平行四边形？说明理由．(2)化简，并在图中作出表示该化简结果的向量．【答案】(1)菱形，理由见解析(2)答案见解析【分析】（1）根据平面向量加法的运算法则，结合菱形的定义进行求解判断即可；（2）根据三角形中位线定理，结合平面向量运算法则进行求解即可.【详解】（1）由条件知，即，又四边形是平行四边形，故四边形是菱形．（2）由平行四边形及三角形中位线的性质可知．所以．作出向量如图所示．【双基达标】25．（2023·全国·高一专题练习）（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用平面向量的线性运算化简，求解即可．【详解】由题意可得：.故选：C．26．（2023下·河南驻马店·高一校联考期中）在中，，则是（

）A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【分析】根据向量加减法法则及模的定义判断.【详解】因为，，，，所以，所以是等边三角形．故选：A．27．（2022下·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）如图所示，在中，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解.【详解】根据向量的线性运算法则，可得：.故选：A.28．（2023下·安徽六安·高一六安二中校考期中）下列说法错误的是（

）A．若ABCD为平行四边形，则 B．若，，则C．互为相反向量的两个向量模相等 D．【答案】B【分析】根据向量的相关概念和线性运算逐项分析判断.【详解】对于A：若ABCD为平行四边形，则，故A正确；对于B：若，则与任何向量均平行，可得，，但不一定平行，故B错误；对于C：相反向量：模长相等，方向相反的向量互为相反向量，所以互为相反向量的两个向量模相等，故C正确；对于D：因为，故D正确；故选：B.29．（2023·高一课前预习）化简下列各式：(1)(＋)＋()；(2)；(3)；(4)；(5)【答案】(1)(2)(3)(4)(5)【分析】根据平面向量线性运算法则及运算律计算可得.【详解】（1）法一：原式；法二：原式；（2）法一：原式法二：原式（3）方法一：；方法二：；（4）（5）30．（2021下·高一课时练习）如图，已知，，，，，试用，，，，表示以下向量：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)【分析】由向量减法法则依次计算即可得出各小问的结果.【详解】（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.【高分突破】一、单选题31．（2023下·上海青浦·高一上海市青浦高级中学校考期中）下列式子中，不能化简为的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用向量加减法法则化简各式，即可得答案.【详解】A：；B：；C：；D：；故选：B32．（2023下·四川达州·高一达州中学校考阶段练习）设是平行四边形的对角线的交点，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据平行四边形对角线平分及向量加减法计算可得.【详解】是平行四边形的对角线的交点，则,所以.故选：A.33．（2023下·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第六中学校校考阶段练习）在中，若，则的形状为（

）A．钝角三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形【答案】D【分析】根据向量的减法法则可得，由三边相等关系即可得出结果.【详解】解：因为，，所以，所以为等边三角形．故选：D34．（2023下·北京顺义·高一牛栏山一中校考阶段练习）下列说法不正确的是（

）A．若向量方向相反，则与为相反向量B．C．在平行四边形中，一定有D．若两个非零向量满足，则与一定是共线向量【答案】A【分析】根据相反向量的定义判断A，根据向量的线性运算法则判断B，根据向量相等的定义判断C，根据共线向量的定义判断D.【详解】若，为非零向量，则向量方向相反，但与不是相反向量，A错误；，B正确；因为四边形为平行四边形，所以向量方向相同，且，所以，C正确；因为，故，又向量为非零向量，所以与方向相反，所以与一定是共线向量，D正确；故选：A.35．（2023·高一课时练习）已知向量，，，满足，记的最大值为，最小值为，则（

）A． B．2 C． D．1【答案】A【分析】根据向量的线性运算结合图形的性质分析求解.【详解】在中，设，则，因为，即，所以为等边三角形，以为邻边作平行四边形，设交于点，可得，则，因为，取的起点为，可知的终点的轨迹为以点为圆心，半径为的圆，如图，当点为的延长线与圆的交点时，的最大值为；当点为线段与圆的交点时，的最小值为；所以.故选：A.二、多选题36．（2023下·湖南怀化·高一校考期中）下列各式中结果一定为零向量的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】利用向量的加法运算，结合零向量的意义逐项计算判断作答.【详解】对于A，，A是；对于B，，不一定是零向量，B不是；对于C，，C是；对于D，，D是.故选：ACD37．（2023上·辽宁·高一沈阳二中校联考期末）《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八卦，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形如图2中的正八边形，其中O为正八边形的中心，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．和不能构成一组基底【答案】BCD【分析】根据正八边形的结构性质及向量的共线、线性运算逐项判断即可得解.【详解】因为正八边形中，，所以，但方向不同，所以不正确，故A错误；由，所以正确，故B正确；由正八边形知，，且,根据向量加法法则可知：为以为邻边的正方形中以为始点的一条对角线所对应的向量，所以，又，与以为始点的一条对角线所对应的向量共线，所以，故C正确；在正八边形中，，和平行，所以和共线，故和不能构成一组基底，故D正确.故选：BCD38．（2023下·江苏扬州·高一统考期末）如图，在平行四边形中，分别是边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（

）.A． B．C． D．【答案】AC【分析】结合图形，用向量共线的知识和三等分点的性质即可判断选项A；用向量的加法法则和向量的性质即可判断选项B和选项C；用向量的加法法则和减法法则即可判断选项D.【详解】对选项A：，正确；对选项B：，错误；对选项C：，正确；对选项D：，错误.故选：AC39．（2023下·河北邢台·高一沙河市第二中学校联考阶段练习）以下四个选项中，正确的有（

）A．若向量，则B．若非零向量满足，则表示的有向线段可以构成三角形C．若四边形满足，且，则四边形为矩形D．为四边形所在平面内一点，若，则四边形为平行四边形【答案】CD【分析】当时，无法确定的方向，即可判断A；当共线时，即可判断B；由，可得且，再根据结合平面向量的减法的三角形法则即可判断C；根据，可得，即可判断D.【详解】对于A，当时，无法确定的方向，故不能判断是否平行，故A错误；对于B，若非零向量满足，则，当共线时，则表示的有向线段不可以构成三角形，故B错误；对于C，若四边形满足，则且，则四边形为平行四边形，因为，即，所以平行四边形为矩形，故C正确；对于D，因为，所以，即，所以且，所以四边形为平行四边形，故D正确.故选：CD.三、填空题40．（2023·全国·高一随堂练习）化简：（1）；

（2）；（3）；

（4）．【答案】【分析】根据向量加减法的几何意义进行运算即可.【详解】（1）；（2）；（3）；（4）.故答案为：