第14讲正弦定理（六大题型）

第14讲正弦定理【题型归纳目录】【知识点梳理】知识点一、正弦定理正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即：知识点诠释：（1）正弦定理适合于任何三角形；（2）可以证明（为的外接圆半径）；（3）每个等式可视为一个方程：知三求一．（4）利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：=1\*GB3①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；=2\*GB3②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边．知识点二、正弦定理在解三角形中的应用利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；知识点三：三角形的形状的判定特殊三角形的判定：（1）直角三角形勾股定理：，互余关系：，，；（2）等腰三角形，；用余弦定理判定三角形的形状（最大角的余弦值的符号）（1）在中，；（2）在中，；（3）在中，；知识点四、三角形面积公式在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则的面积．知识点五、仰角与俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角．目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示．【典型例题】题型一：已知两角及任意一边解三角形【例1】（2024·全国·高一假期作业）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（

）A．8 B．5 C．4 D．3【答案】B【解析】在中，，因为，所以，则由正弦定理得.故选：B．【变式11】（2024·全国·高一随堂练习）在中，已知，，，则边的长为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，，可得，由正弦定理可得.故选：B.【变式12】（2024·浙江嘉兴·高一校联考期中）在△ABC中，，，，则边长（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由正弦定理知，，即，解得.故选：D题型二：已知两边及其中一边的对角解三角形【例2】（2024·吉林·高一校考阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，(1)若，求b；(2)若，求b．【解析】（1）由余弦定理，得，解得（负值舍去），故.（2）由正弦定理，得，∵，∴或，当时，，∴；当时，，∴．综上，或．【变式21】（2024·全国·高一专题练习）不解三角形，判断下列三角形解的个数．(1)，，；(2)，，；(3)，，．【解析】（1）由正弦定理，∴，∵，∴，∴只有一解，三角形解的个数为一解.（2）由正弦定理，∴，∴，∵，，∴，∴有两解，三角形解的个数为两解.（3）∵，∴，∴，∴无解，三角形无解.【变式22】（2024·四川成都·高一统考期中）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，，．(1)求c的值．(2)求的值．【解析】（1）∵△ABC为锐角三角形，，∴，由余弦定理得：，解得：.故c的值为3.（2）由正弦定理得：，即：，解得：.故的值为.题型三：三角形形状的判断【例3】（2024·广东佛山·高一佛山市南海区桂华中学校考阶段练习）已知的三内角、、所对的边分别是、、，设向量，，若，且满足，则的形状是（

）A．等腰直角三角形 B．等边三角形C．钝角三角形 D．直角非等腰三角形【答案】B【解析】由题意，向量，，，则，可得：，即.又由，可得，即，∵，∴，∴可解得：，∵，∴，又∵，∴，∴是等边三角形.故选：B.【变式31】（2024·江苏徐州·高一统考期中）在中，三个内角，，所对的边分别为，，，若，则的形状为（

）A．等腰三角形 B．等边三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【答案】D【解析】，由正弦定理化简得，即，故，，则或，即或，则的形状为等腰或直角三角形.故选：D.【变式32】（2024·高一校考单元测试）在中，角、、所对的边分别为、、，且，则的形状为（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形【答案】B【解析】∵，∴由正弦定理得，又∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴是直角三角形，故选：B.【变式33】（2024·广东佛山·高一罗定邦中学校联考阶段练习）在中，角的对边分别为，若，则的形状为（

）A．等边三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【解析】由三角形面积公式可得，，由，，化简得，由正弦定理得，，即，得，，由，则，的形状为直角三角形.故选：B题型四：三角形面积公式及其应用【例4】（2024·上海宝山·高一上海交大附中校考期末）在中，角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且.(1)求；(2)若，的周长为3，求的面积S.【解析】（1）因为，则，即，解得.（2）由（1）可知：，且，可得，由题意可知，即，由余弦定理可得，即，解得，所以的面积.【变式41】（2024·全国·高一随堂练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且.(1)求；(2)若的面积为，求的周长.【解析】（1）由正弦定理得，则.（2），得，由余弦定理，即，则，所以，的周长为.【变式42】（2024·河南平顶山·高一校考阶段练习）的内角，，所对的边分别为，，，向量与平行．(1)求；(2)若，，求的面积．【解析】（1）向量与平行，所以，由正弦定理可知：，，，所以，，可得；（2），，由余弦定理可得：，可得，解得或（舍），的面积为．【变式43】（2024·全国·高一随堂练习）在中，角，，的对边分别为，，，向量，，且．(1)求的值；(2)若，，求的面积．【解析】（1）因为，，且，，，又∵为内角，，（2）由余弦定理，得，解得或（舍去），故，所以．题型五：判断三角形解的个数【例5】（2024·河北石家庄·高一石家庄市第十七中学校考期中）设的角，，所对的边分别为，，，且，，当有两个解时，的取值范围是.【答案】【解析】由正弦定理可知，即，所以，因为有两个解，即有两解，又，则，由正弦函数的性质，可得且，所以，即，解得，即的取值范围是.故答案为：【变式51】（2024·四川泸州·高一统考期末）已知a，b，c分别是的内角A，B，C的对边，写出“使满足，的唯一”的a的一个取值为．【答案】（答案不唯一，满足或即可）【解析】∵，，∴当或，即或时，唯一；故答案为：（答案不唯一，满足或即可）【变式52】（2024·浙江台州·高一统考期末）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知，，，若有两解，则的取值范围是.【答案】【解析】由正弦定理得：，即，，若有两解，则，且，即，所以，故答案为：【变式53】（2024·河北张家口·高一统考期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，符合条件的三角形有两个，则b的取值范围是．【答案】【解析】在中，，，因为符合条件的三角形有两个，所以，所以，解得，故b的取值范围是．故答案为：题型六：用正弦定理解决简单的实际问题【例6】（2024·辽宁沈阳·高一沈阳二中校考期中）我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”公式.设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，“三斜求积”公式表示为.在△ABC中，若，，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为.【答案】【解析】，及正弦定理可得，即，舍去，因为，所以，从而的面积为.故答案为：.【变式61】（2024·江苏徐州·高一统考期中）如图，为了测量河对岸的塔高，选取与塔底在同一水平面内的两个观测点和，测得，，，并在处测得塔顶的仰角为，则塔高．【答案】90【解析】在三角形中，，，，又，由正弦定理可得：，，解得，又在中，由题意可知：，.故答案为：.【变式62】（2024·江苏镇江·高三统考期中）海岛上有一座高塔，高塔顶端是观察台，观察台海拔.在观察台上观察到有一轮船该轮船航行的速度和方向保持不变.上午11时，测得该轮船在海岛北偏东，俯角为处，11时20分测得该轮船在海岛北偏西，俯角为处，则该轮船的速度为m/h，再经过分钟后，该轮船到达海岛的正西方向.【答案】10【解析】如图：设轮船上午11时位于点A，11：20位于B，为观察台，，与底面所成角，在直角三角形中，，与底面所成角，在直角三角形，，在中，，即，从A点到B点的时间，故，延长与x轴交于E点，设，所以，设,在中，，所以，即，∴还需时间，故答案为：；10.【过关测试】一、单选题1．（2024·内蒙古赤峰·高一校考阶段练习）在锐角中，角，，所对应的边分别为，，，若，则角等于（

）A． B． C． D．或【答案】A【解析】由正弦定理和可得.因为所以，所以，因为，所以为.故选：A2．（2024·青海·校联考模拟预测）在中，角所对的边分别为.若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据正弦定理可知，，，则，得.故选：A3．（2024·全国·高三专题练习）在中，角，，所对的边分别为，，．，，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由正弦定理，得，因为，所以，又，所以．故选：C.4．（2024·陕西商洛·统考一模）在△中，角的对边分别是，则=（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以．因为，所以，所以．因为，所以，则．故选：B5．（2024·河南省直辖县级单位·高二河南省济源第一中学校考期末）在中，，，分别为，，的对边，且，，的面积为，那么等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，可得，又，且，得，所以，则.故选：B6．（2024·云南大理·高二校考阶段练习）已知角是的内角，则“”是“”的（

）A．充分条件 B．必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】在三角形中，成立等价于，由正弦定理：，充分性：若成立，大角对大边，则成立，由上面正弦定理形式得出，满足充分性；必要性：若成立，由上面正弦定理形式得出，大边对大角，则成立，满足必要性；所以“”是“”的充要条件．故选：C.7．（2024·新疆·校联考一模）在中，角的对应边是，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以由余弦定理可得，利用正弦定理边化角得，因为，所以，且，由得，所以，整理得，解得或，所以或，又，所以，所以.故选：B8．（2024·陕西安康·校联考模拟预测）记的内角的对边分别为，分别以为边长的正三角形的面积依次为，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意得，则，所以，故，又，所以．故选：C.二、多选题9．（2024·辽宁铁岭·高三校联考期末）在中，，，，则可能为（

）A． B． C． D．【答案】CD【解析】由正弦定理，得，又因为，所以，因为，所以或.故选：CD.10．（2024·河南省直辖县级单位·高一校考阶段练习）在中角，，所对的边分别为，，，以下叙述或变形中正确的有（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】A选项，由正弦定理得，A选项正确.B选项，由正弦定理得，而当时，则或，则或，所以B选项错误.C选项，由正弦定理得，所以，所以C选项正确.D选项，，由正弦定理得，所以D选项正确.故选：ACD11．（2024·江苏淮安·高三马坝高中校考期中）在中，角所对的边为，有如下判断，其中正确的判断是（

）A．若，则为等腰直角三角形B．若，则C．若，则符合条件的有两个D．在锐角三角形中，不等式恒成立【答案】BD【解析】A选项，，，故或，解得或，所以为等腰三角形或直角三角形，A错误；B选项，，由正弦定理得，因为，所以，故，因为，所以，故，，因为，故，B正确；C选项，若，则，则符合条件的有0个，C错误；D选项，为锐角三角形，故为锐角，由余弦定理得，，故不等式恒成立，D正确.故选：BD12．（2024·安徽合肥·高三合肥一六八中学校考阶段练习）已知中，其内角的对边分别为，下列命题正确的有（

）A．若，则B．若，则C．若，则为等腰三角形D．若，则为等腰三角形【答案】ABD【解析】对于A.因在上单调递减，且，故A正确；对于B.由正弦定理以及三角形中大边对大角，所以若，则，则，故B正确；对于C.，且为三角形内角，所以或者，所以为等腰三角形或者直角三角形，故C错误；对于D.，则，即，所以为等腰三角形，故D正确.故选：ABD.三、填空题13．（2024·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）在中，内角所对的边分别为，则的面积为.【答案】【解析】因为，由余弦定理得，因为，所以，得，故.故答案为：14．（2024·上海嘉定·统考一模）在中，内角、、的对边分别为、、，的面积为，，，则.【答案】或【解析】由三角形的面积公式可得，则，因为，则或.当时，由余弦定理可得；当时，由余弦定理可得.综上所述，或.故答案为：或.15．（2024·宁夏石嘴山·高二石嘴山市第三中学校考期中）在中，，那么的值为．【答案】/【解析】∵，∴由正弦定理可得，可得：，，由余弦定理可得.故答案为：.16．（2024·陕西·高三校联考阶段练习）在中，D为BC边上一点，满足，，则的面积为．【答案】【解析】因为，所以，由题意得，，所以，所以，即，所以，在中，由余弦定理得，则，所以，或（舍去），所以面积．.故答案为：．四、解答题17．（2024·云南德宏·高三校考阶段练习）已知，，是三边长且，的面积，.(1)求角；(2)求，的值.【解析】（1）∵，∴，∵，∴；（2）∵的面积，∴，∴①，∵，∴②，由①②，解得或，.18．（2