人教版初中数学第二十八章第2节《解直角三角形及其应用》提升训练 (一)(含答案解析)

第二十八章第2节《解直角三角形及其应用》提升训练（1）

一、单选题

1.如图，矩形A3CO的边长A6=l,BC=2.把BC绕B逆时针旋转，使C恰好落在上的

点E处,线段8C扫过部分为扇形8CE.若扇形8CE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥

的底面圆的半径是（）

2

C.一DT

2.如图,在RtAABC中,ZC=90°,AB=10,若以点C为圆心，CB长为半径的圆恰好经过AB的

c.5V2D.6

3.如图，C是线段48上一点，AC=^CB=2,以CB为直径作半圆。，P是半圆。上一动点，

2

以AP为斜边向上作R3APQ,使得NPQA=90。，N以。=30。.若点P从点C沿半圆弧运动到点

8,则点Q在运动中经过的路径长是（）

C.2兀D.也it

二、填空题

4.如图，在△ABC中，AB=BC^6,点O为BC中点，点P是射线AO上的一个动点，且

NAOC=60°.要使得ABCP为直角三角形，CP的长为.

c

o

5.如图，直角坐标系中，RtAABC的A8边在x轴上，ZCAB=90°,sinZACB=-.将RsABC沿

3

直线BC翻折得RtAOBC,再将RtAOBC绕点8逆时针旋转，正好点C与坐标原点。重合，点。

的对应点E落在反比例函数"延0>0）的图象上，此时线段AC交双曲线于点凡则点尸的坐

X

标为.

6.如图，在菱形A8CD中，NA=45°,AB=O,以点C为圆心，CO为半径画弧。B，则

阴影部分的面积是

7.如图，已知等边AABC内接于。0,AB=2,则AABC的外接圆半径为cm.

8.新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形.如图，已知在对余四边形A8CD中,

3

AB=10,BC=12,CD=5,tan8=—,那么边A。的长为.

4

A

9.一段公路的坡度为1：3,某人沿这段公路路面前进100米，他上升的最大高度为

三、解答题

10.如图，四边形ABCD是。O的内接四边形，ZABC=2ZD,连结OA、OB、OC、AC,OB与

AC相交于点E.

(1)求NAOC的度数；

(2)若NAOB=3/COB,OC=46,求阴影部分的面积.

11.在矩形ABC。中，E为边。。上一点，把AADE沿AE翻折，使点D恰好落在边BC上的点

F处.

?

(1)求证：△AB/s2\FCE.

(2)若AO=10,CD=6,则tanNE4尸的值为

(3)若AD=6,DE=3,则AB的长为.

12.如图，在等腰AABC中，NA=30°，。和。为线段4。的三等分点，以。为圆心，线段0C

的长为半径画圆.

(1)求证：A8是圆。的切线；

(2)若圆。的半径为1,求阴影部分面积是多少？

13.如图，在AABC中，NC=90°，NABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交A3

于点F，。。是砂的外接圆.

(1)求证：AC是。。的切线.

(2)过点£作由_LAB，垂足为“，求证：CD=HF.

(3)若C£>=1,EH=3,求8尸及AE长.

14.5月27日，2020珠峰高程测量登山队成功登顶珠穆朗玛峰完成峰顶测量任务，受此消息鼓舞，

某数学小组开展了一次测量小山高度的活动，如图，该数学小组从地面A处出发，沿坡角为53。的

山坡A8直线上行一段距离到达B处，再沿着坡角为22°的山坡BC直线上行600米到达C处，通

过测量数据计算出小山高CD=500机.求该数学小组行进的水平距离(结果精确到加).(参

考数据：sin22°®0.37,cos22°®0.92,tan22°*0.32,sin53°«0.8,cos53°®0.6,

tan530®1.3)

15.目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔.如图所示，新电视塔高AB为600米，远处有一栋

大楼，某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45。，在楼顶D处测得塔顶B的仰角为39°.(参考数

据：tan39°«0.8098,sin39°«0.6293,cos390®0.7771)

(1)求大楼与电视塔之间的距离AC：

(2)求大楼的高度CD(精确到1米).

16.如图，为了测量某建筑物CE的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是45°,

然后在水平地面上向建筑物前进了20m,此时自3处测得建筑物顶部的仰角是60°,已知测角仪

的高度是1m，请你计算出该建筑物的高度.(取6°1.732,结果精确到1m)

17.如图，在AA6C中，AG1BC,垂足为点G,点E为边4C上一点，BE=CE,点。为边

BC上一点，GD=GB,连接AO交BE于点b.

(1)求证：/ARE=/EAF：

(2)求证：AE2=EFEC;

(3)若CG=2AG,AD=2AF,BC=5,求AE的长.

18.如图，一艘轮船以18海里/小时的速度由南向北航行，在A处测得小岛P在北偏西15°的方向

上，2小时后，轮船在3处测得小岛P在北偏西30。方向上，在小岛P周围20海里内有暗礁，若

轮船继续向前航行，有无触礁的危险？

北

B

19.如图，四边形ABC。是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接QE交AB于点尸，

ZAED=2NCED,点G是。产的中点.

(1)求证：NCED=ZDAG.

⑵若BE=1，AG=4,求sinNAEB的值.

20.如图，以。为圆心的两个同心圆中，大圆的直径A。交小圆于M,N两点，大圆的弦A3切小

圆于点C,过点C作直线CEJ_AD,垂足为E,交大圆于RH两点.

H

(1)试判断线段4c与8c的大小关系，并说明理由：

(2)求证：FCCH^AEAO；

(3)若FC,C77是方程/一26x+4=0的两根(C"〉b)，求图中阴影部分图形的周长.

21.美丽的金水湖是我们阳谷县的最美丽景点之一，金水湖大桥更是金水湖上一道美丽的风景线,

小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的金水湖大桥8C,并测得B,C两点的俯角分别为45°,

35°.已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100m,请求出热气球离地面的高度.(结果

保留整数)

757

（参考数据:sin35°»—,cos35°«-,tan35°»—）

12610

22.如图，在平面直角坐标系中，已知AABC三个顶点的坐标分别是A(2,2),6(4,0),C(4,-4).

J小

(1)请在图中，画出向左平移6个单位长度后得到的△A4G；并写出各对应点坐标；

(2)以点O为位似中心，将AABC缩小为原来的;，得到2c2,请在图中y轴右侧，画出

,并写出各对应点坐标；

(3)求出N&C?4的正弦值.

23.如图，在吊AABC中，NACB=90°,点。为AC中点，作AE〃3C,交80的延长线于点E.

(1)求证：四边形ABCE为平行四边形；

(2)若/胡C=30°,AD=2,求四边形ABCE的面积.

24.如图1,抛物线丁=/一2》一3与x轴交于A,B,与直线y=2x-3交于C,D两点，点P

是抛物线上一动点.

(2)过点P作轴交直线CD于点F.若以O,C,P,F为顶点的四边形是平行四边形，求

点P的横坐标；

(3)如图2,若点P在直线CD的下方，且NPCD=45°,请直接写出点P的坐标.

25.已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-(x-w)2+4与y轴交于点B,与x轴交于点C、

。(点C在点。左侧)，顶点A在第一象限，异于顶点4的点P(l,〃)在该抛物线上.

(1)如果点尸与点C重合，求线段AP的长；

(2)如果抛物线经过原点，点。是抛物线上一点，tanNOPQ=3,求点。的坐标;

(3)如果直线依与x轴的负半轴相交，求，”的取值范围.

26.为测量某大楼的高度A8，在M点测量大楼顶点A的仰角为30°,在距离M点30米的点N处

测量大楼顶点A的仰角为60。，则大楼高AB为多少米？(031.41，结果保留整数)

27.如图△A5C，AB=AC=2,ZBAC=30°,将AABC绕点A逆时针旋转一定的角度(1(0。<

心180。)得至1]44即，点B、C的对应点分别是E、F.连结BE、CF相交于点D.

(1)当CF恰好垂直AE时，求NCFE的大小;

(2)当四边形ABDF为菱形时，求CD的长.

28.济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”.某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测

量.如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为30。，再往楼的方向前进60米至B处，测得仰角为

60°,若学生的身高忽略不计.

(1)求N4D8的度数;

(2)求该楼的高度CD为多少米？(结果保留根号)

29.如图1,以△ABC的边A8为直径的。。交边8c于点E,过点E作。。的切线交AC于点£>,

且EDLAC.

(1)试判断△ABC的形状，并说明理由;

(2)如图2,若线段AB、DE的延长线交于点尸，ZC=75°,CD=2-73-求。。的半径和BF

的长.

30.（操作发现）

（1）如图（1）,在AOAB和△OCD中，OA=OB,OC=OD,NAOB=NCOD=40。，连接AC,

BD交于点M.

①AC与BD之间的数量关系为；

②/AMB的度数为；

（类比探究）

（2）如图（2）,在△OAB和△OCD中，ZAOB=ZCOD=90°,tanZ0BA=tanZ0DC=2,连接

AC,交BD的延长线于点M.

①判断AC与BD之间存在怎样的数量关系？并说明理由；

②求NAMB的度数；

（拓展应用）

（3）在图（2）的条件下，将图（2）中的4。。。绕着点O在平面内旋转，若OD=1,OB=6,

当C、D、B在同一直线上时，求点A、C之间的距离.

D

B'B

图（1）图（2）

【答案与解析】

1.A

【解析】

由旋转的性质可求得BE=2,根据矩形的性质和直角三角形的边角关系可求得NAEB=30。，进而可

得/EBC=30。，利用弧长公式和圆的周长公式即可解答.

解：•••四边形ABC。是矩形，

Z8A£=90°,AD!IBC

•••线段3E由线段BC旋转而成，BC=2,

BE=BC-2.

=ZBAE=90°，

ZAE3=30°,

-AD//BC,

:./EBC=ZAEB=30°,

30x2%x2n

：.CE=-------------=—,

3603

jr

设围成的圆锥的底面半径为r,则2万7=一，

3

解得：r=J.

6

故选：A.

本题考查旋转的性质、直角三角形的性质、矩形的性质、弧长公式、圆的周长公式，熟记公式，熟

练掌握直角三角形的边角关系是解答的关键.

2.A

【解析】

此题根据题意连接CD,根据圆的性质和直角三角形的斜边上中线与斜边的关系可得△CDB为等边

三角形，再由锐角三角函数计算即可.

如图，连接CD,

VZC=90°,D为AB的中点,

・・・CD=DA=DB.

而CD=CB,

.\CD=CB=DB,即ACDB为等边三角形.

・・・ZB=60°.

VAB=10,

.\AC=AB-sinZB=10x—=5^.

2

故选A.

此题考查圆的有关知识和直角三角形中线的问题，涉及到锐角三角函数，难度一般，理解题意是关

键.

3.B

【解析】

如图，过点A作。0的切线AR,R为切点，连接CR,OR,OQ,QR,OP.利用相似三角形的性

质求解=可得：点Q的运动轨迹是以R为圆心，、/^为半径的半圆，从而可得答案.

解：如图，过点A。作。0的切线AR,R为切点，连接CR,OR,OQ,QR,OP.

AAR±OR,

・・・ZARO=90°,

・・・AC=-BC,

2

.•.AC=OC=OR,

/.AO=2OR,

.\ZOAR=30°,

ZQAP=30°=ZOAR,ZAQP=ZARO=90°,

/.△OAR^APAQ,

.OA_AR

-=cosZOAR=cos30°=—，

AOAP2

•；NOAR=N9Q=30。，

/OAP=/RAQ,

/.△OAP^ARAQ,

QRAR6

,OP-AO-V

•.•AC=，CB=2,

2

:.OP^-BC^2,

2

；•QR=y/3,

•••点Q的运动轨迹是以R为圆心，出为半径的半圆，

Q在运动中经过的路径长是,x2乃x6=省万，

2

故选:B.

本题考查轨迹，解直角三角形，切线的性质，弧长的计算，相似三角形的判定和性质等知识，解题

的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题.

4.36或3或3".

【解析】

利用分类讨论，①当/BPC=90。时，情况一：如图1,利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半

得出PO=BO,易得△BOP为等边三角形，利用锐角三角函数可得CP的长；情况二：如图2,利用

直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得结论.②当/CBP=90。时，如图3,由对顶角的性质可

得NAOC=/BOP=60。，易得/BPO=30。，易得BP的长，利用勾股定理可得CP的长.

解：①当NCPB=90。时，

情况一：（如图1）,

B

图1

•••点。为BC中点，

/.AO=BO,

/.PO=BO,

ZAOC=60°,

・•・ZBOP=60°,

.,.△BOP为等边三角形，

\'AB=BC=6,

・・・CP=CB-sin60°=6x与=3c；

情况二：如图2,

・・,点0为BC中点，

.*.AO=BO,

VZCPB=90°,

/.PO=BO=CO,

ZAOC=60°,

•・•△COP为等边三角形，

ACP=CO=3,

②当NCBP=90。时，如图3,

p

o

AB

图3

VZAOC=ZBOP=60°,

JZBPO=30°,

4=2=36

；.BP=tan30。V3，

T

在直角三角形CBP中，

CP=JBC2+BP2=«2+（3我2=3不

故答案为：3G或3或3

本题主要考查了勾股定理，含30。直角三角形的性质和直角三角形斜边的中线，分类讨论，数形结

合是解答此题的关键.

5.（3,警）

【解析】

过点E作EHLOB于点H,由全等变换可得NEOB=NACB,由sinNEOB=，，点E在反比例函数

3

图象上可求出点E的坐标，易证△OHEsaEHB,从而可求出HB、EB（即AB）、进而可求出AH,

OE（即AC）、OB、OAE|1可解决问题.

解：过点E作于点H,如图：

则有AEHO=/BHE=90°.

由题可得：7CAB三kCDB三kOEB，

ZACB=ZDCB=ZEOB，ZCAB=ZCDB=ZOEB=90°，

AC^CD^OE,AB=DB=EB.

QsinZACB=-,

.…八EH1

/.sin/EOB=----=-.

OE3

设EH=a,则OE=3a,

.・•点E的坐标为RJ5

・・•点E在反比例函数y=&g(x＞0)的图象上,

A2y/2a2=472＞。＞()，

6r=2，

a=V2，

：.OH=4,EH=也，

-,-ZOEB=90°,

ZOEH=90°-ZHEB=/EBH,

:NOHE7EHB,

OHHE

：.BH=-,

2

3

AB=BE=~,

2

:.OA=OB-BA=3,

J©

3,

4V2

故答案为°，-

本题主要考查了全等变换、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数、反比例函数图象上点的坐标

特征、勾股定理等知识，对运算能力要求较高.

【解析】

作DH上BC于H，利用菱形的性质和直角三角形的边角关系求出DH,根据

5阴=S菱形ABCD一S扇形C0B即可求解.

解：如图，作DH工BC于H,

•••四边形ABCO是菱形，

；•NC=ZA=45°,CD=AB=6

：.在RtACDH中，DH=CDsin45°=1,

故答案为：＞/2-----.

本题考查菱形的性质、解直角三角形、扇形的面积公式，解答的关键是添加常用辅助线，构造直角

三角形解决问题，属于中考常考题型.

2>/3

"V

【解析】

作直径AD,连接BD,根据等边三角形性质求出NC=60。，根据圆周角定理求出ND=NC=60。，解

直角三角形求出AD即可.

解：如图，作直径AD,连接BD,

•..等边△ABC内接于。O,AD为直径,

AZC=60°=ZD,ZABD=90°,

AB_y/3

sinD

AD-V

224\/3

AD=—=AB=-7=X2=--(cm)，

V3V33

•••O。的半径是2叵cm,

3

故答案为：空.

3

本题考查的是三角形的外接圆与外心，涉及到等边三角形的性质，圆周角定理，解直角三角形的应

用，关键是能正确作出辅助线.

8.9

【解析】

3

连接AC,作AEL5c交BC于E点，由tanB=-，AB=1O,可得AE=6,BE=8,并求出AC

4

的长，作CELAD交AD于F点，可证N5=NOCF,最后求得AF和DF的长，可解出最终结

果.

解：如图，连接AC,作A£_LBC交BC于E点，

3

tanB=-,AB=10,

4

3

tanB=---=—，设AE=3x,BE=4x,

BE4

222

AE+BE=AB，则（3x）2+«力2=25%2=100；

解得x=2,则AE=6,BE=8,

又BC=12,CE=BC-BE=4,

•1-AC=yjAE2+CE2=2V13，

作CFJ.AQ交AD于F点，

•••ZB+ZD=90。，Z£>+ZDCF=90°，

3DF

Z_B=/DCF，tanB=-=tanZDCF=---,

4CF

又•：CD=5,・,•同理可得DF=3,CF=4,

AF=y]AC2-CF2=6>

AD=AF+DF=9.

故答案为：9.

A

F

本题考查四边形综合问题，涉及解直角三角形，勾股定理，有一定难度，熟练掌握直角三角形和勾

股定理知识点，根据题意做出正确的辅助线是解决本题的关键.

9.10痴米.

【解析】

已知了坡面长为100米，可根据坡度比设出两条直角边的长度，根据勾股定理可列方程求出坡面的

铅直高度，即此人上升的最大高度.

解：如图.

RsABC中，tanA=—，AB=100米.

3

设BC二x米，则AC=3x米，根据勾股定理，得：

x2+(3x)2=1002,

解得x=ioJ16(负值舍去).

故答案为：10丽米.

此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及勾股定理、三角函数的运用能力.

10.(1)ZAOC=120°;(2)与彩=12乃-8季.

【解析】

(1)根据四边形488是。。的内接四边形得到NA3C+NO=18()°,根据NA3C=2NO得

到N£>+2NO=180°,从而求得N£>=60°,进而得出答案；

(2)首先根据Z4O8=3NCOB得到NCO3=30°,从而得到NAO8为直角，然后利用

S阴影=S扇形0ftt-20公求解.

解：(1)•.•四边形A8CD是。。的内接四边形,

ZABC+ZD=180°,

-,•ZABC=2ZD,

...NO+2ZT>=180°,

ZD=60°，

ZAOC=2ZD=120°；

(2)•;ZAOB=3NCOB,

ZAOC=/COB+34coB=120°,

...408=30°,

ZAOB=ZAOC-ZCOB=90°,

在RtAOAE中，OC=Q4=4g,

OE=OA.tanZOAE=4G.tan300=4>/3x—=4,

3

・双曲=；OE.O4=；*4X4X/5=8G,

,q_90万(4府

万,

..J扇形054—36()=12

=12兀一80.

S阴影=S扇形OBA_SAO£4

【点评】

本题考查了扇形面积的计算，圆内接四边形的性质，解直角三角形的知识，在求不规则的阴影部分

的面积时常常转化为几个规则几何图形的面积的和或差.

124

11.(1)见解析；(2)—：(3)—

35

【解析】

(1)根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可；

(2)由折叠的性质得出AD=AF=10,DE=EF,ZEAF=ZDAE,由勾股定理求出BF=8,设

4/7BF

DE=x,则EF=x,CE=6-x,由相似三角的性质得出——=——，可求出DE的长，则可得出答

EFCE

案；

(3)设CE=y,则CD=AB=y+3,由折叠知，AD=AF=6,DE=EF=3,由相似三角形的性质

v+3

得出BF=2y,CF=」y-,则可得出方程求出CE的长，则可得出答案.

解：(1)证明：•••四边形ABCD是矩形,

/.ZB=ZC=ZD=90°,

由翻折可知，ZD=ZAFE=90°,

・・・NAFB+NEFC=90。，ZEFC+ZCEF=90°,

・・・NAFB=NFEC,

/.△ABF^AFCE；

(2)•・•把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在边BC上的点F处,

・・・AD=AF=10,DE=EF,ZEAF=ZDAE,

・・•四边形ABCD是矩形，

AB=CD=6,

；.BF=《一AB?=7102-62=8，

设DE=x,则EF=x,CE=6-x,

VAABF^AFCE,

.AFBF

••一,

EFCE

.108

••—=---，

x6-x

解得x=—,

3

10

・・・DE=—,

3

DE—1

tanZEAF=tanZDAE==3=—,

A。W3

故答案为：—;

3

(3)设CE=y,则CD=AB=y+3,

由折叠知，AD=AF=6,DE=EF=3,

VAFCE^AABF,

.EF_CE_CF_3_l

y+3

・・・BF=2y,CF=-^—,

y+3

/.2yH-------=6,

9

解得y=—，

924

・・・AB=CD=DE+CE=3+—=—，

55

故答案为：一

5

本题是四边形综合题，考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解直

角三角形等知识；熟练掌握折叠的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键.

12.(1)见解析；(2)B—三.

26

【解析】

(1)连接0B,如图，利用等腰三角形的性质得/C=30。，NOBC=/C=30。，再利用三角形外角性

质得到NAOB=60。，则可计算出NOBA=90。，然后根据切线的判定定理得到结论；

(2)先计算出AB=G，然后根据扇形面积公式，利用阴影部分面积MSAAOB-SS^OBD进行计算.

工(1)证明：连接OB,如图，

BA

・・•等腰AABC中，ZA=30°,

ZC=30°,

VOB=OC,

.-.ZOBC=ZC=30°,

・•・ZAOB=ZC+ZOBC=60°,

ZOBA=180o-60°-30o=90°,

AOB±AB,

JAB是圆。的切线；

(2)在RSOBA中，ZA=30°,OB=1

tan30°V3

3

**•阴影部分面积二SaAOB-S埒形OBD=1"x]xG_60NXF=@一工

236026

本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂

直于经过切点的半径.判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点''或"过圆心作这条直线的垂线”；有

切线时.，常常“遇到切点连圆心得半径也考查了等腰三角形的性质和扇形面积公式.

13.(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)BF=10,AF=-.

4

【解析】

(1)连接OE,由于BE是角平分线，则有/CBE=NOBE；而OB=OE,就有/OBE=/OEB,等

量代换有NOEB=NCBE,那么利用内错角相等，两直线平行，可得OE〃BC；又/C=90。，所以

ZAEO=90°,即AC是的切线；

(2)连结DE,先根据AAS证明△CDE^AHFE,再由全等三角形的对应边相等即可得出CD=HF.

(3)先证得△EHFs^BEF,根据相似三角形的性质求得BF=10,进而根据直角三角形斜边中线

的性质求得0E=5,进一步求得OH,然后解直角三角形即可求得0A,得出AF.

解：(1)证明：如图，连接0E.

BE工EF，

/BEF=90°,

8尸是圆0的直径.

:8E平分乙43C,

/.ZCBE=ZOBE,

,/OB=OE,

：.NOBE=NOEB,

/./OEB=/CBE,

：.OE//BC,

ZAEO=NC=90。，

•••AC是。。的切线.

(2)如图，连结£>E.

VZCBE=ZOBE,EC上BC于C,EHLAB于H,

EC=EH.

,/ZCDE+ZBDE=180°,ZHFE+ZBDE=180°,

；•/CDE=/HFE.

在△CDE与WFE中,

ZCDE=ZHFE

<NC=NEHF=9。。,

EC=EH

；•MDE=AHFE,

：.CD=HF.

(3)由(2)得CD=HF,又8=1,

；•HF=1,

在RtJiFE中,EF=732+12=V10-

•/EF±BE，

NBEF=90°,

/.AEHF=/BEF=9Q0,

■:ZEFH=/BFE，

/.八EHF〜八REF,

空二”即巫=上,

BFEFBFV10

/.防=10,

：.OE=-BF=5O/f=5-1=4,

29

4

:・RtLOHE中,cosZEOA=-,

OE4

RtAEOA中，cosZEOA=——=-,

OA5

.54

..=—,

OA5

本题主要考查了切线的判定，全等三角形的判定与性质，三角形相似的判定和性质以及解直角三角

形等.要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可.

14.该数学小组行进的水平距离为766m

【解析】

通过添加辅助线构造出矩形8七£归、Rt/XACE、RsABH,再解RNBCE求得CE、3E的长,

再由线段的和差、矩形的性质可得8“、的长，再解可求得AH的长，最后由线段

的和差即可求得答案.

解：过3作8E_LC£>于E，过8作8〃J_AP于H，如图：

四边形6石。//是矩形

:•DE=BH，BE=DH

•:在RNBCE中,BC=6(X),NCBE=2T

；•CE=BCsin22°=600x0.37=222m,BE=BCcos22°=600x0.92=552加

DH=BE=552m

,/CD=500m

=DE=8—CE=500—222=278m

•••在后△ABH中，/B4H=53°

Atan53°=—

AH

…278…

AH=----«214/n

1.3

/.AD=AH+DH=214+552^766m.

答：该数学小组行进的水平距离AD为766帆.

本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定和性质、线段的和差等，添加辅助线构造出直角三角

形和矩形是解题的关键.

15.(1)600米;(2)114米

【解析】

(1)判断出△BAC为等腰直角三角形，即可求出AC的长；

BE

(2)在RsDEB中，根据tan39°=——即可求出BE,进一步即可求出CD的长.

DE

解：(1)在RSB4C中，NBC4=45°,

/.ACAB=0)0(米)

答：大楼与电视塔之间的距离AC为600米.

(2)由题意可知，CD=AE,£>E=AC=600米.

在RtzXBED中，NBZ）E=39°,

Rp

'：—=tan4BDE，

DE

BE=DE-tanZfiDE®6（）0x0.8098-485.88（米），

AC£>=AE=AB-J3E=600-485.88«114（米）.

答：大楼的高度CD约为114米.

本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，熟悉等腰三角形的性质和三角函数的定义是解题

的关键.

16.约为48m.

【解析】

设CD为xm,根据正切的概念用x表示出AD、BD,根据题意列出方程，解方程即可求出CD,结

合图形计算即可.

解：设CD为xm,

在RSADC中，ZCAD=45°,

/.AD=CD=xm,

在RtABDC中，ZCBD=60°,

BD=———=—

tanZCBD3'）

由题意得，x--x=2Q.

3

解得x=10g+30，

则该建筑物的高度为1M+30+1v48（/n）,

答：该建筑物的高度约为48m.

本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，理解仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的概

念是解题的关键.

17.(1)见解析；(2)见解析；(3)AE=-.

8

【解析】

⑴首先证明/EBC=/C,ZABD=ZADB,再根据/ABD=NABE+/EBC,ZADB=ZDAC+ZC,

可得结论；

(2)证明△AEF-ABEA可得结论；

(3)设BE交AG于J,连接DJ,DE.证明四边形AJDE是平行四边形，推出DELBC,AE=DJ,

求出DJ即可解决问题.

(1)证明：•;EB=EC,

:.NEBC=/C,

-AG1BD,BG=GD,

:.AB=AD，

:.ZABD=ZADB，

ZABD=ZABE+ZEBC,ZADB=ZDAC+ZC,

:.ZABE=NDAC,

即

(2)证明：•.,ZAEF=NBEA,ZEAF=ZABE，

^AEF^^BEA，

.AE_EF

~BE~~AE'

：.AE2=EFEB-

:EB=EC,

AE2=EFEC;

(3)解：设3E交AG于J,连接D/,DE.

•.•AG垂直平分线段8。，

JB=JD,

：.ZJBD=ZJDG,

-.-ZJBD=ZC,

:.ZJDB=/C,

:.DJ//AC，

:.ZAEF=ZDJF,

AD=2AF,

:.AF=DF,

在AAfE和ADE/中

NAEF=NDJF

<NAFE=NDFJ,

AF=DF

：.^AFE=\DFJ{AAS),

：.AE=DJ,

•：AFIIDF,

四边形A/OE是平行四边形，

:.DE//AG，

vAG±BC.

:.ED±BC,

•；EB=EC,

：.BD=DC=-,

2

DG=-

•：tanZ.JDG=tanZC=---=—=——，

CG2DG

8

vZ/GD=90c

+心=符+(|)2=半,

DJ=』GJ2

575

AE=DJ=

~1T'

A

A

BGD

本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定与性质，勾股定

理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中

考常考题型.

18.有危险，理由见解析

【解析】

有危险，理由为：过P作PD垂直与AB,交AB延长线于点D,如图所示，由NPBD为三角形PAB

的外角，利用外角的性质得到NPBD=NA+NAPB,由NPBD及NA的度数求出NBPA的度数,

得到NBPA=/A,利用等角对等边得到PB=AB,由2小时走的路程为15海里/时x2,得到PB为

30海里，在直角三角形PBD中，利用30。角所对的直角边等于斜边的一半得到PB=2PD,由PB

的长求出PD的长，由PD的长与20比较大小，即可对轮船不改变方向仍继续向前航行，有无触礁

的危险作出判断.

解：有危险，

理由如下：

过P点作PD_LA5,交A8延长线与点。，如图所示：

P\

VljD

\^°

\'B

2

r

A

由题意可知：ZA=15°,NPBD=3O。,

ZBPA=ZPBD-ZA=15°,

即.♦."7%=NA

/.PB—AB=18x2=36（海里）

在RASP。中，

-.•ZPBD=3O°,PB=36（海里）

，PO=，PB=18海里<20海里，

2

则轮船不改变方向仍继续向前航行，有触礁的危险.

此题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的外角性质，以及含30。直角三角形的性质，其中轮

船有没有危险由PD的长与20比较大小决定.

19.(1)证明见解析；(2)sinZAEB=-—

4

【解析】

(1)根据矩形的对边平行可得AD〃BC,再根据两直线平行，内错角相等可得NCED=NADE,根

据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AG=DG,然后根据等边对等角求出

ZDAG=ZADE,从而得证；

(2)根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出

ZAGE=ZADG+ZDAG=2ZDAG,然后求出NAED=NAGE,根据等角对等边可得AE=AG,再利

用勾股定理列式求出AB,然后根据锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解.

(1)证明：：矩形ABCD,

；.AD〃BC,

.,.ZCED=ZADE,

又：点G是DF的中点，

；.AG=DG,

NDAG=/ADE,

，ZCED=ZDAG；

(2)在4ADG中，ZAGE=ZADG+ZDAG=2ZDAG,

又：/AED=2/CED,

NAED=NAGE,

，AE=AG,

VAG=4,

；.AE=4,

在RSAEB中，由勾股定理可求AB=[AE?_BE2=J42—F=J石,

.,.sinZAEB=—=2^.

AE4

本题考查了矩形的性质，平行线的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等角对

等边的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及锐角三角函数的定义,

熟记各性质并准确识图是解题的关键.

20.(1)AC=BCi理由见解析；(2)证明见解析；(3)阴影部分周长=2+28+逑万.

【解析】

（1）连结OC,AB切小圆于点C,可得COLAB,再利用垂径定理可得结论;

（2）连接心,A”，证明八4S52\/708,可得4。-。8=/。-677,再证明/。.。"=4。2,

再证明八4。£5八40。，可得AC2=AE-AO,从而可得结论：

（3）先解方程求解。〃=石+1,CF=M1,再求解CE=逐一（、后—1）=1,

4。2=尸。.。“=4,可得4。=2,求解ZA=30°,ZAOC=60°,ZCON=120°,

CO=ACtanZCAE=-y/3,4。=上色_=迪，可得AV=RI,CN的长度，

3sin60033

AN=AM+20c=2g,从而可得阴影部分周长.

解：（1）相等，理由如下：

连结。C,48切小圆于点C,

CO±AB,

AC=BC.

(2)连接

-.-AF^AF,

:.ZAHC=ZFBC,

ZACH=ZFCB,

.ACCH

"~FC~~CB，

ACCB=FCCH,

•.♦AC=BC,

/.FC・CH=AC2,

CE±AD,AB切小圆于点C,

,-.ZAEC=90°=ZACO,

ZCAE=ZOAC,

AACE^AAOC,

.ACAE

"'AO~'AC,

AC2=AEAO^

：.FCCH=AEAO.

⑶•“-2后+4=0，

-2行『-4x1x4=4,

.X=2逐±2二6±],

2

•;CH>CF,

CH=75+1)CF=^—\,

\FH±AD,

：.EF=EH=5口=；心—1+布+1)=布,

CE=y/5-(^5-l)=l,AC2=FC-CH=(75+1)=4,

；•AC=2(负根舍去),

CE1

在Rt/\ACE中，sinNC4E=------,

AC2

：.NA=30°,

/.ZAOC=60°,NCON=120°,

在△ACO中，

「八.732/-.cAC4百

CO=ACtanNCAE=2x—=—，3，AO=--------=------，

33sin6003

AM=AO-QM=AO-OC=迪-纽=空

333

10n26

12()•1x-------Anz

CN=--------------。心兀

1809

AN=AM+2OC=^-+2x^-=2y/3,

33

，阴影部分周长=AC+AN+CN=2+2j5+竽乃.

本题考查了切线的性质，垂径定理的应用，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，一元二次方程

的解法，锐角三角函数的应用，弧长的计算，掌握以上知识是解题的关键.

21.热气球离地面的高度是233m.

【解析】

作A。，8c交CB的延长线于。，设AD为X,表示出DB,DC,根据正切值得概念求出x的值即

可.

如图：作ADJ_3c交C8的延长线于£>,设AO为x,

由题意得，NABD=45。,NACE>=35°,

在中，ZABD=45°,

DB-x,

在mdADC中，NACD=35°,

An

：.tanZACD=—,

CD

•-=7

x+100-10'

解得，x«233m.

所以热气球离地面的高度是233m.

本题考查的是解直角三角形的实际应用，理解仰角和俯角的概念，掌握锐角三角函数的概念是解题

关键，解答时注意正确作出辅助线构造直角三角形.

22.(1)图见解析；4(—4,2),4(—2,0),q(—2,-4)；(2)图见解析；B2(2,0),C2(2,-2)；

(3)sinZAC2B2

【解析】

(1)利用点平移的坐标变换规律写出Ai,BI,G点的坐标，然后描点即可；

(2)把点A、B、C的横纵坐标分别乘以3得到点A2,B2,C2的坐标，然后描点即可,

(3)利用正切的定义确定/A2c2B2的正切值.

(1)如图所示："46，即为所求；

4(-4,2),即―2,0),C,(-2,-4).

(2)如图所示：即为所求,

4(1,1),员(2,0),C2(2,-2).

(3)由图形可知，ZA,C2B2=ZACB,过点A作交BC的延长线于点

由A(2,2),C(4,-4),6(4,0),则。(4,2),

故AD=2>CD—6,AC=V22+62=2-\/10，

AD