（教学思想典型题专讲）高三数学一轮复习 函数、导数及其应用

一、选择题(每小题5分,共60分)1.(2013济南模拟)函数y=ln(2-x-x2)的定义域是(C)(A)(-1,2) (B)(-∞,-2)∪(1,+∞)(C)(-2,1) (D)[-2,1)解析:由题意得2-x-x2>0,即x2+x-2<0,解得-2<x<1.故选C.2.(2013年高考陕西卷)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为(D)(A)y=x+1 (B)y=-x3(C)y=QUOTE (D)y=x|x|解析:y=x+1是非奇非偶函数但为增函数,y=-x3是奇函数但为减函数,y=QUOTE是奇函数,定义域上不单调,y=x|x|为奇函数也为增函数.故选D.3.已知f(x)=QUOTE,则f(f(1))等于(D)(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:因为f(x)=QUOTE所以f(1)=0,f(f(1))=3.故选D.4.(2013西安一模)已知符号函数sgn(x)=QUOTE则函数f(x)=sgn(lnx)-lnx的零点个数为(C)(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:依题意得f(x)=sgn(lnx)-lnx=令f(x)=0得x=e,1,QUOTE,所以函数有3个零点,故选C.5.(2013吉林模拟)当x∈(1,2)时,不等式(x-1)2<logax恒成立,则实数a的取值范围为(C)(A)(2,3] (B)[4,+∞)(C)(1,2] (D)[2,4)解析:令y1=(x-1)2,y2=logax,∵x∈(1,2)时,y1∈(0,1),要使(x-1)2<logax恒成立,则QUOTE∴1<a≤2,故选C.6.(2013河北石家庄质检)牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同,假定保鲜时间y与储藏温度x的关系为指数型函数y=kax,若牛奶在0℃的冰箱中,保鲜时间约为100h,在5℃的冰箱中,保鲜时间约是80h,那么在10℃时的保鲜时间是(C)(A)49h (B)56h (C)64h (D)76h解析:由题意知,QUOTE所以k=100,a5=QUOTE,则当x=10时,y=100×a10=100×QUOTE=64.故选C.7.函数y=e|lnx|-|x-1|的图象大致为(D)解析:由y=e|lnx|-|x-1|=QUOTE可以判断选项D符合.8.若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直,则l的方程为(A)(A)4x-y-3=0 (B)x+4y-5=0(C)4x-y+3=0 (D)x+4y+3=0解析:切线l的斜率k=4,设切点的坐标为(x0,y0),则k=4QUOTE=4,∴x0=1,∴切点为(1,1),即y-1=4(x-1),∴4x-y-3=0.故选A.9.若f(x)=QUOTE是R上的单调递增函数,则实数a的取值范围为(B)(A)[-4,8] (B)[4,8)(C)(4,8) (D)(1,8)解析:由题意可知,4-QUOTE>0且4-QUOTE+2≤a1,解得4≤a<8.故选B.10.(2013福州市高三第一学期期末质量检查)已知g(x)为三次函数f(x)=QUOTEx3+QUOTEx2-2ax(a≠0)的导函数,则它们的图象可能是(D)解析:由已知得g(x)=ax2+ax-2a=a(x+2)(x-1),∴g(x)的图象与x轴的交点坐标为(-2,0),(1,0),且-2和1是函数f(x)的极值点,故选D.11.已知f(x)=alnx+QUOTEx2(a>0),若对任意两个不等的正实数x1、x2都有QUOTE≥2恒成立,则a的取值范围是(A)(A)[1,+∞) (B)(1,+∞)(C)(0,1) (D)(0,1]解析:由于QUOTE=k≥2恒成立,所以f'(x)≥2恒成立.又f'(x)=QUOTE+x,故QUOTE+x≥2,又x>0,所以a≥-x2+2x,而g(x)=-x2+2x在(0,+∞)上的最大值为1,所以a≥1.故选A.12.(2013年高考重庆卷)设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数y=(1-x)f'(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是(D)(A)函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)(B)函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)(C)函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)(D)函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)解析:由图象可知,当x<-2时,y>0,1-x>0,所以f'(x)>0,当-2<x<1时,y<0,1-x>0,所以f'(x)<0,当1<x<2时,y>0,1-x<0,所以f'(x)<0,当x>2时,y<0,1-x<0,所以f'(x)>0.所以函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2).故选D.二、填空题(每小题4分,共16分)13.(2013浙江嘉兴模拟)若f(x)=QUOTE则f(f(-2))=.

解析:∵f(-2)=|-2-1|=3,∴f(3)=log33=1,即f(f(-2))=1.答案:114.设函数f(x)的图象关于y轴对称,又已知f(x)在(0,+∞)上为减函数,且f(1)=0,则不等式QUOTE<0的解集为.

解析:因为函数f(x)的图象关于y轴对称,所以该函数是偶函数,又f(1)=0,所以f(-1)=0,又已知f(x)在(0,+∞)上为减函数,所以f(x)在(-∞,0)上为增函数,QUOTE<0可化为xf(x)<0,所以当x>0时,解集为{x|x>1},当x<0时,解集为{x|-1<x<0}.综上可知,不等式的解集为(-1,0)∪(1,+∞).答案:(-1,0)∪(1,+∞)15.若直角坐标平面内两点P,Q满足条件:①P,Q都在函数f(x)的图象上;②P,Q关于原点对称,则称点对(P,Q)是函数f(x)的一个“友好点对”(点对(P,Q)与点对(Q,P)为同一个“友好点对”).已知函数f(x)=QUOTE则f(x)的“友好点对”有个.

解析:设x<0,则问题转化为关于x的方程(2x2+4x+1)+QUOTE=0,即ex=-x2-2x-QUOTE有几个负数解问题.记y1=ex,y2=-(x+1)2+QUOTE,当x=-1时,QUOTE<QUOTE,所以函数y1的图象与y2的图象有两个交点(如图),且横坐标均为负数,故所求“友好点对”共有2个.答案:216.(2013山东日照模拟)已知函数f(x)=QUOTE,g(x)=loQUOTEx,记函数h(x)=QUOTE则不等式h(x)≥QUOTE的解集为.

解析:记f(x)与g(x)的图象交点的横坐标为x=x0,而fQUOTE=QUOTE=QUOTE<1=loQUOTE,f(1)=QUOTE=QUOTE>0=loQUOTE1,∴x0∈QUOTE,得h(x)的图象如图所示,而hQUOTE=fQUOTE=QUOTE,∴不等式h(x)≥QUOTE的解集为QUOTE.答案:QUOTE三、解答题(共74分)17.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2+QUOTE(x≠0,常数a∈R).(1)当a=2时,解不等式f(x)-f(x-1)>2x-1;(2)讨论函数f(x)的奇偶性,并说明理由.解:(1)当a=2时,f(x)=x2+QUOTE,f(x-1)=(x-1)2+QUOTE,由x2+QUOTE-(x-1)2-QUOTE>2x-1,得QUOTE-QUOTE>0,x(x-1)<0,0<x<1,所以原不等式的解集为{x|0<x<1}.(2)f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),当a=0时,f(x)=x2,f(-x)=x2=f(x),所以f(x)是偶函数.当a≠0时,f(x)+f(-x)=2x2≠0(x≠0),f(x)-f(-x)=QUOTE≠0(x≠0),所以f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.18.(本小题满分12分)(2013浙江嘉兴模拟)已知函数f(x)=QUOTE-QUOTE-ax(a∈R).(1)当a=QUOTE时,求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在[-1,1]上为单调函数,求实数a的取值范围.解:(1)当a=QUOTE时,f(x)=QUOTE-QUOTE-QUOTEx,f'(x)=QUOTE[(ex)2-3ex+2]=QUOTE(ex-1)(ex-2),令f'(x)=0,得ex=1或ex=2,即x=0或x=ln2,令f'(x)>0,则x<0或x>ln2,令f'(x)<0,则0<x<ln2,∴f(x)在(-∞,0],[ln2,+∞)上单调递增,在(0,ln2)上单调递减.(2)f'(x)=QUOTE+QUOTE-a,令ex=t,由于x∈[-1,1],∴t∈QUOTE.令h(t)=QUOTE+QUOTE,h'(t)=QUOTE-QUOTE=QUOTE,∴当t∈QUOTE时h'(t)<0,函数h(t)为单调减函数;当t∈(QUOTE,e]时h'(t)>0,函数h(t)为单调增函数,∴QUOTE≤h(t)≤e+QUOTE.∵函数f(x)在[-1,1]上为单调函数,∴若函数在[-1,1]上单调递增,则a≤QUOTE+QUOTE对t∈[QUOTE,e]恒成立,所以a≤QUOTE;若函数f(x)在[-1,1]上单调递减,则a≥QUOTE+QUOTE对t∈QUOTE恒成立,所以a≥e+QUOTE,综上可得a≤QUOTE或a≥e+QUOTE.19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=2x,g(x)=QUOTE+2.(1)求函数g(x)的值域;(2)求满足方程f(x)-g(x)=0的x的值.解:(1)g(x)=QUOTE+2=QUOTE+2,因为|x|≥0,所以0<QUOTE≤1,即2<g(x)≤3,故g(x)的值域是(2,3].(2)由f(x)-g(x)=0得2x-QUOTE-2=0,当x≤0时,显然不满足方程,即只有x>0时满足2x-QUOTE-2=0,整理得(2x)2-2·2x-1=0,(2x-1)2=2,故2x=1±QUOTE,因为2x>0,所以2x=1+QUOTE,即x=log2(1+QUOTE).20.(本小题满分12分)(2013宁化模拟)据预测,某旅游景区游客人数在500至1300人之间,游客人数x(人)与游客的消费总额y(元)之间近似满足关系y=-x2+2400x-1000000.(1)若该景区游客消费总额不低于400000元时,求景区游客人数的范围;(2)当景区游客的人数为多少人时,游客的人均消费额最高?并求出游客的人均最高消费额.解:(1)由题意,得-x2+2400x-1000000≥400000,x2-2400x+1400000≤0,得1000≤x≤1400,又500≤x≤1300,所以景区游客人数的范围是1000至1300人.(2)设游客的人均消费额为QUOTE,则QUOTE=QUOTE=-(x+QUOTE)+2400≤400,当且仅当x=1000时等号成立.即当景区游客的人数为1000人时,游客的人均消费额最高,最高消费额为400元.21.(本小题满分12分)(2013宜宾市高三考试)设f(x)=aex+QUOTE+b(a>0).(1)求f(x)在[0,+∞)上的最小值;(2)设曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=QUOTEx,求a,b的值.解:(1)设t=ex(t≥1),则y=at+QUOTE+b⇒y'=a-QUOTE=QUOTE.①当a≥1时,y'≥0⇒y=at+QUOTE+b在t≥1上是增函数,得当t=1(x=0)时,f(x)的最小值为a+QUOTE+b.②当0<a<1时,y=at+QUOTE+b≥2+b,当且仅当at=1QUOTE时,f(x)的最小值为b+2.(2)f(x)=aex+QUOTE+b⇒f'(x)=aex-QUOTE,由题意得QUOTE⇒QUOTE⇒QUOTE22.(本小题满分14分)(2013洛阳统考)设函数f(x)=ln(x-1)+QUOTE(a∈R).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)如果当x>1,且x≠2时,QUOTE>QUOTE恒成立,求实数a的取值范围.解:(1)由题易知函数f(x)的定义域为(1,+∞).f'(x)=QUOTE-QUOTE=QUOTE.设g(x)=x2-2ax+2a,Δ=4a2-8a=4a(a-2).①当Δ≤0,即0≤a≤2时,g(x)≥0,所以f'(x)≥0,f(x)在(1,+∞)上是增函数.②当a<0时,g(x)的对称轴为x=a,当x>1时,g