天津市河东区2021年中考数学模拟试卷（解析版）

天津市河东区2021年中考数学模拟试卷（解析版）

参考答案与试题解析

一、挑选题（每小题3分，共12题，共计36分）

1.下列运算：sin3（T=骼，瓜=2④，n0=n,2-2=-4,其中运算结果正确的个

数为（）

A.4B.3C,2D.1

【考点剖析】根据特殊角三角函数值，可判断第一个；

根据算术平方根，可判断第二个；

根据非零的零次幕，可判断第三个；

根据负整数指数辕，可判断第四个.

1

【解答】解：sin30°=2,

V8=272,

n°=l,

1

2,，

故选：D.

【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键，注意负整

数指数基与正整数指数幕互为倒数.

2.在△ABC中，ZA：ZB：NC=3：4：5,则NC等于（）

A.45°B.60°C.75°D.90°

【考点剖析】首先根据NA：ZB：ZC=3：4：5,求出NC的度数占三角形的内角

和的几分之几；然后根据分数乘法的意义，用180。乘以NC的度数占三角形的内角和

的分率，求出NC等于几度即可.

5

【解答】解：180。、3+升5

=180°X得

=75°

即NC等于75°.

故选：C.

【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明

确：三角形的内角和是180°.

3.一元二次方程4x2+l=4x的根的情况是()

A.没有实数根B.只有一个实数根

C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根

【考点剖析】先求出△的值，再判断出其符号即可.

【解答】解：原方程可化为：4x2-4x+l=0,

△=42-4x4xl=0,

方程有两个相等的实数根.

故选C.

【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0(awO)的根与△

的关系是解答此题的关键.

4.顺次连接矩形ABCD各边中点，所得四边形必定是（）

A.邻边不等的平行四边形B.矩形

C.正方形D.菱形

【考点剖析】作出图形，根据三角形的中位线定理可得EF=GH=《-AC,FG=EH=4BD,

22

再根据矩形的对角线相等可得AC=BD,从而得到四边形EFGH的四条边都相等，然后

根据四条边都相等的四边形是菱形解答.

【解答】解：如图，连接AC、BD,

・•・E、F、G、H分别是矩形ABCD的AB、BC、CD、AD边上的中点，

EF=GH」~AC,FG=EH=4BD（三角形的中位线等于第三边的一半），

22

1••矩形ABCD的对角线AC=BD,

EF=GH=FG=EH,

四边形EFGH是菱形.

故选：D.

------------V-------------

【点评】本题考查了三角形的中位线定理，菱形的判定，矩形的性质，作辅助线构造

出三角形，然后利用三角形的中位线定理是解题的关键.

5.用配方法解一元二次方程x2-6x-10=0时，下列变形正确的为（）

A.2=1c.2=19

【考点剖析】方程移项变形后，利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断.

【解答】解：方程移项得：X2-6X=10,

配方得：x2-6x+9=19,即(x-3)2=1%

故选D.

【点评】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.

6.某校九年级数学兴趣小组的同学调查了若干名家长对"初中学生带手机上学"现象的看

法，统计整理并制作了如下的条形与扇形统计图.

依据图中信息，得到下列结论:

(1)接受这次调查的家长人数为200人

(2)在扇形统计图中，“不赞同"的家长部分所对应的扇形圆心角大小为162。

(3)表示"无所谓"的家长人数为40人

(4)随机抽查一名接受调查的家长，恰好抽到"很赞同"的家长的概率是工.

10

其中正确的结论个数为()

A.4B.3C.2D.1

【考点剖析】(1)根据表示赞同的人数是50,所占的百分比是25%即可求得总人数;

(2)利用360。乘以对应的百分比即可求得圆心角的度数；

(3)利用总人数乘以对应的百分比即可求解;

(4)求得表示很赞同的人数，然后利用概率公式求解.

【解答】解：(1)接受这次调查的家长人数为：50+25%=200(人)，故命题正确；

(2)"不赞同"的家长部分所对应的扇形圆心角大小是：360x-^-=162%故命题正确；

200

(3)表示"无所谓"的家长人数为200x20%=40(人),故命题正确；

(4)表示很赞同的人数是：200-50-40-90=20(人)，

则随机抽查一名接受调查的家长，恰好抽到“很赞同"的家长的概率是黑-工，故命

20010

题正确.

故选A.

【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，从不同的统计图中得到

必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计

图直接反映部分占总体的百分比大小.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数

之比.总体数目=部分数目+相应百分比.

7.若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2,则其内切圆半径的长为()

A.近B.2圾-2C.2-&D.V2-2

【考点剖析】由于直角三角形的外接圆半径是斜边的一半，由此可求得等腰直角三角形

的斜边长，进而可求得两条直角边的长；然后根据直角三角形内切圆半径公式求出内切

圆半径的长.

【解答】解：V等腰直角三角形外接圆半径为2,

此直角三角形的斜边长为4,两条直角边分别为2近,

，它的内切圆半径为：R=3(2扬2M-4)=272-2.

故选B.

【点评】本题考查了三角形的外接圆和三角形的内切圆，等腰直角三角形的性质，要

注意直角三角形内切圆半径与外接圆半径的区别：直角三角形的内切圆半径：r=*（a+b

-c）；（a、b为直角边，c为斜边）直角三角形的外接圆半径：R=与:.

2

8.函数y=-x+l与函数y=-2在同一坐标系中的大致图象是（）

【考点剖析】根据一次函数的图象性质得到y=-x+l经过第一、二、四象限；根据反比

例函数的图象性质得到y=-Z分布在第二、四象限，然后对各选项进行判断.

X

【解答】解：函数y=-x+l经过第一、二、四象限，函数y=-2分布在第二、四象限.

X

故选A.

【点评】本题考查了反比例函数的图象：反比例函数y=K（kwO）的图象为双曲线，当

x

k>0,图象分布在第一、三象限；当k<0,图象分布在第二、四象限.也考查了一次

函数的图象.

9.如图，直线1与半径为5cm的0O相交于A、B两点，且与半径0C垂直，垂足为

H.若AB=8cm,1要与00相切，则1应沿0C所在直线向下平移（)

A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm

【考点剖析】连接OB,根据已知条件可以推出HB=4cm,所以OH=3cm,HC=2cm,所

以I应沿OC所在直线向下平移2cm.

【解答】解：连接OB,

OB=5cm,

•・•直线10O相交于A、B两点，且与ABJ_OC,AB=8cm,

/.HB=4cm,

二.OH=3cm,

HC=2cm.

【点评】本题主要考查了垂径定理、勾股定理、切线性质，解题的关键在于求HC和

0H的长度.

10.如图，在直角NO的内部有一滑动杆AB,当端点A沿直线AO向下滑动时，端点

B会随之自动地沿直线OB向左滑动，加入滑动杆从图中AB处滑动到A，B，处，那么滑动

杆的中点C所经过的路径是（）

A.直线的一部分B.圆的一部分

C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分

【考点剖析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得至IJOC==AB=1A，B，=OC,

22

从而得到滑动杆的中点c所经过的路径是一一段圆弧.

【解答】解：连接oc、OC,如图，

NAOB=90。，C为AB中点，

0C=—AB=—A,B,=OC,,

22

.­•当端点A沿直线AO向下滑动时，AB的中点C到O的距离始终为定长，

,滑动杆的中点C所经过的路径是一段圆弧.

故选B.

【点评】本题考查了轨迹，圆的定义与性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的

一半是解题的关键.

11.如图，在x轴的上方，直角NBOA绕原点0按顺时针方向旋转，若NBOA的两

边分别与函数y=-L、y=2的图象交于B、A两点，则nOAB的大小的变化趋势为

xx

()

A.逐渐变小B.逐渐变大C.时大时小D.保持不变

【考点剖析】如图，作辅助线；首先证明4BOM，AOAN,得到镖■茶；设B(-m,

ONAN

—)，A(n,—)，得到BM=LAN=—,OM=m,ON=n,进而得到mn=-^-,

mnmninn

mn二此为解决问题的关键性结论；运用三角函数的定义证明知tan/OAB=«为定

值，即可解决问题.

【解答】解：如图，分别过点A、B作AN_Lx轴、BMJ_x轴；

•・,ZAOB=90°,

・•.ZBOM+zAON=NAON+zOAN=90°,

・•・ZBOM=ZOAN,

ZBMO=ZANO=90°,

△BOM-△OAN,

.BM_0M

,,ON^AN；

…19

设B(-m,—),A(n,—),

mn

i9

则BM=—,AN=—,OM=m,ON=n,

mn

mn=-^-,mn=*&；

inn

•••ZAOB=90",

tanNOAB=-0；；

△BOM-△OAN,

.1_我②,

0AONinn2'

由①②知tanZ0八8=唱为定值,

ZOAB的大小不变，

【点评】该题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定等知识点

及其应用问题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用

相似三角形的判定等知识点来分析、判断、推理或解答.

12.二次函数y=ax2+bx+c（awO）的部分图象如图，图象过点（-1,0）,对称轴为

直线x=2,下列结论：

①4a+b=0；②9a+c>3b；③8a+7b+2c>0；④当x>-l时，y的值随x值的增大而增

大.

其中正确的结论有（）

y,

Z1\02-x

A.1个B.2个C.3个D.4个

【考点剖析】根据抛物线的对称轴为直线x=-?=2,则有4a+b=0；观察函数图象得到

2a

当x=-3时，函数值小于0,贝ij9a-3b+cV0,即9a+cV3b；由于x=-l时，y=0,则

a-b+c=0,易得c=-5a,所以8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a,再根据抛物线开口向下

得aVO,于是有8a+7b+2c>0；由于对称轴为直线x=2,根据二次函数的性质得到当x

>2时，y随x的增大而减小.

【解答】解：•••抛物线的对称轴为直线x=-旦=2,

2a

b=-4a,即4a+b=0,（故①正确）；

当x=-3时，y<0,

9a-3b+cVO,

即9a+c<3b,（故②错误）；

抛物线与x轴的一个交点为（-1,0）,

a-b+c=O,

而b=-4a,

a+4a+c=0,E|Jc=-5a,

8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a,

V抛物线开口向下，

/.a<0,

,8a+7b+2c>0,（故③正确）

对称轴为直线x=2,

.,.当-l<x<2时，y的值随x值的增大而增大，

当x>2时，y随x的增大而减小，（故④错误）.

故选：B.

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（awO）,二次

项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛

物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即

ab>0）,对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0）,对称轴在y轴右；常数项

c决定抛物线与y轴交点.抛物线与y轴交于（0,c）;抛物线与x轴交点个数由△决

定，△=b2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1

个交点：△=b2-4acV0时，抛物线与x轴没有交点.

二、填空题（每小题3分，共6题，共计18分）

13.计算（扬«）（V2-V3）的结果为-1.

【考点剖析】根据平方差公式：（a+b）（a-b）-a2-b2,求出算式（扬«）（亚

-V3）的结果为几即可.

【解答】解：（0+«）（&-6）

=（V2）2-（V3）2

=2-3

=-1

（我+«）（y-«）的结果为-1.

故答案为：-1.

【点评】(1)此题主要考查了二次根式的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是

要明确：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的

先算括号里面的.②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式"，多个不同类的二次

根式的和可以看"多项式".

(2)此题还考查了平方差公式的应用：(a+b)(a-b)=a2-b2,要熟练掌握.

14.因式分解：4m2-16=4(m+2)(m-2).

【考点剖析】此题应先提公因式4,再利用平方差公式继续分解.平方差公式：a2-b2-

(a+b)(a-b).

【解答】解：4m2-16,

=4(m2-4),

=4(m+2)(m-2).

【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取

公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止.

15.用2,3,4三个数字排成一个三位数，则排出的数是偶数的概率为4.

【考点剖析】首先利用列举法可得：用2,3,4三个数字排成一个三位数，等可能的结

果有：234,243,324,342,423,432；且排出的数是偶数的有：234,324,342,

432；然后直接利用概率公式求解即可求得答案.

【解答】解：...用2,3,4三个数字排成一个三位数，等可能的结果有：234,243,

324,342,423,432；且排出的数是偶数的有：234,324,342,432；

，排出的数是偶数的概率为：4=4.

63

故答案为：

【点评】此题考查了列举法求概率.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

16.如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），

折叠后端点D恰好落在边0C上的点F处.若点D的坐标为（10,8）,则点E的坐

标为（10,3）.

【考点剖析】根据折叠的性质得到AF=AD,所以在直角AAOF中，利用勾股定理来求

OF=6,然后设EC=x,则EF=DE=8-x,CF=10-6=4,根据勾股定理列方程求出EC可

得点E的坐标.

【解答】解：..・四边形A0CD为矩形，D的坐标为（10,8）,

AD=BC=10,DC=AB=8,

•.・矩形沿AE折叠，使D落在BC上的点F处，

AD=AF=10,DE=EF,

在RtAAOF中，T^g2=6,

FC=10-6=4,

设EC=x,则DE=EF=8-x,

在RtACEF中，EF2-EC2+FC2,即（8-x）2-x2+42,解得x=3,

即EC的长为3.

二点E的坐标为(10,3)

故答案为：(10,3).

【点评】本题考查折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等;

对应点的连线段被折痕垂直平分.也考查了矩形的性质以及勾股定理.

17.如图，点A,B,C,D在OO上，点O在ND的内部，四边形OABC为平行

四边形，则NOAD+ZOCD=60°.

【考点剖析】利用四边形OABC为平行四边形，可得NAOC=NB,ZOAB=ZOCB,

ZOAB+ZB=180°.利用四边形ABCD是圆的内接四边形，可得ND+NB=180。.利用同

弧所正确的圆周角和圆心角可得ND=,NAOC,求出ND=60。，进而即可得到.

【解答】解：V四边形OABC为平行四边形，

ZAOC=ZB,ZOAB=ZOCB,ZOAB+ZB=180".

••・四边形ABCD是圆的内接四边形，

ZD+ZB=180°.

又ND=—ZAOC,

2

3zD=180。，

解得ND=60°.

ZOAB=ZOCB=1800-ZB=60°.

ZOAD+ZOCD=360°-(ZD+ZB+ZOAB+ZOCB)=360°-(60°+120o+60o+60°)=60°.

故答案为：60.

【点评】本题考查了平行四边形的性质、圆的内接四边形的性质、同弧所正确的圆周

角和圆心角的关系，属于基础题.

18.如图，已知平行四边形ABCD四个顶点在格点上，每个方格单位为1.

(1)平行四边形ABCD的面积为/；

(2)在网格上请画出一个正方形，使正方形的面积等于平行四边形ABCD的面积.(尺

可得到结果；

(2)由正方形的面积和相交弦定理得到正方形的边长，画出图形即可.

【解答】解(1)平行四边形ABCD的面积=4x2-2x=x1x2=6；

故答案为：6

(2)①作AE_LBC于E,DF_LBC于F；

②延长AD至G,使DG=DF；

③以AG为直径作半圆；

④延长FD交半圆于H,则DH即为所求的正方形边长;

⑤以DH为边长作正方形DHMN；如图所示

【点评】本题考查了平行四边形的性质、正方形的性质、作图-复杂作图、相交弦定

理；作出正方形的边长是解决问题的关键.

三、综合题（共7题，共计66分）

’5x-l>3x-4

19.解不等式组［2、1，并把不等式组的解集在数轴上表示出来.

lilllilll

a△.7.io12a4

【考点剖析】先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即

可.

’5x-l>3x-4①

【解答】解：［2\1

.oo

,由①得：X>--|,

由②得：X<1,

二不等式组的解集为：一

在数轴上表示不等式组的解集为:

_1A-101934

【点评】本题考查了解一元一次不等式组，解一元一次不等式，在数轴上表示不等式组的

解集的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集求出不等式组的解集，难度适中.

20.商场为了促销某件商品，设置了如图的一个转盘，它被分成了3个相同的扇形.各

扇形分别标有数字2,3,4,指针的位置固定，该商品的价格由顾客自由转动此转盘

两次来获取，每次转动后让其自由停止，记下指针所指的数字（指针指向两个扇形的交

线时，当作右边的扇形），先记的数字作为价格的十位数字，后记的数字作为价格

的个位数字，则顾客购买商品的价格不超过30元的概率是几？

【考点剖析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出顾客购买商品的价格不超

过30元的结果数，然后根据概率公式求解.

【解答】解：画树状图为：

234

/T\/T\/N

234234234

共有9种等可能的结果数，其中顾客购买商品的价格不超过30元的结果数为3,

所以顾客购买商品的价格不超过30元的概率

【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求

出n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后根据概率公式求出事件A或B

的概率.

21.一种进价为每件40元的T恤，若销售单价为60元，则每周可卖出300件.为提高

利润，欲对该T恤进行涨价销售.经过调查发现：每涨价1元，每周要少卖出5件.

(1)请确定该T恤涨价后每周的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关

系式，并求销售单价定为几元时，每周的销售利润最大？

(2)若要使每周的销售利润不低于7680元，请确定销售单价x的取值范围.

【考点剖析】⑴用每件的利润乘以销售量即可得到每周销售利润，即y=(x-40)[300

-5(x-60)],再把解析式整理为一般式，然后根据二次函数的性质确定销售单价定

为几元时，每周的销售利润最大.

(2)由函数值求出自变量的两个值，再根据二次不等式的解集即可求得x的取值范围.

【解答】解：(1)根据题意得y=(x-40)[300-5(x-60)]

=-5(x2-160x+4800)

--5(x-80)2+8000,

a<0,

，当x=80时，y的值最大=8000,即销售单价定为80元时，每周的销售利润最大；

(2)当y=7680时，-5(x-80)2+8000=7680,

整理得：(x-80)2=64,

x-80=±8,

X]=88,X2=72,

724x488.

【点评】本题考查了二次函数的应用：利用二次函数解决利润问题，在商品经营活动中，

经常会遇到求最大利润，最大销量等问题.解此类题的关键是通过题意，确定出二次函

数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量X的取值要使实际问题有意义，因

此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量X的取值范围.

22.已知如图，以RSABC的AC边为直径作OO交斜边AB于点E,连接E0并延长

交BC的延长线于点D,点F为BC的中点，连接EF.

(1)求证：EF是OO的切线；

(2)若00的半径为3,ZEAC=60°,求AD的长.

【考点剖析】(1)连接F0,由F为BC的中点，A0=C0,得到OFIIAB,由于AC

是00的直径，得到CE_LAE,根据0FIIAB,得到0FLCE,于是得到0F所在直

线垂直平分CE,推出FC=FE,OE=OC,再由NACB=90。，即可得到结论.

(2)证出△AOE是等边三角形，得到NEOA=60。，再由直角三角形的性质即可得到

结果.

【解答】证明：⑴如图1,连接F0,

••,F为BC的中点，AO=CO,

OFIIAB,

••1AC是的直径，

CE±AE,

OFIIAB,

OF±CE,

/.OF所在直线垂直平分CE,

・•.FC=FE,OE=OC,

・•.ZFEC=ZFCE,Z0EC=ZOCE,

ZACB=90°,

即：ZOCE+ZFCE=90°,

ZOEC+ZFEC=90°,

即：ZFEO=90°,

.•.FE为。O的切线；

(2)如图2,丁。。的半径为3,

/.AO=CO=EO=3,

,/ZEAC=60°,OA=OE,

・•.ZEOA=60°,

ZCOD=ZEOA=60°,

,/在RsOCD中，ZCOD=60°,OC=3,

..CD=3<\/3,

,/在RtAACD中，ZACD=90°,

CD=373*AC=6,

AD=W7

图2

【点评】本题考查了切线的判定和性质，三角形的中位线的性质，勾股定理，线段垂

直平分线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握定理是解题的关键.

23.如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵

树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30。，朝着这棵树的方向

走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60。.已知A点的高度AB为2m,台

阶AC的坡度为1：扇且B,C,E三点在同一条直线上.请根据以上条件求出树

【考点剖析】由于AFJ_AB,则四边形ABEF为矩形，设DE=x,在RsCDE中，

CE=——峥——=—些寸=退*,在RtAABC中，得到期=3，求出BC,在RtAAFD

tanZDCEtan603BCV3

中，求出AF,由AF=BC+CE即可求出x的长.

【解答】解：VAF±AB,AB±BE,DE±BE,

四边形ABEF为矩形，

AF=BE,EF=AB=2

CE=——学——=—更k=^x

设DE=x,在RtaCDE中,

tan/DCEtan603

在RsABC中,

微力AB=2,

在RtAAFD中，DF=DE-EF=x-2,

•AFO"=x2Q(x-2)

一「tanZDAFtan30°'

・,AF=BE=BC+CE.

:,遂(x-2)=2折争

3

解得x=6.

答：树DE的高度为6米.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用--仰角、坡度问题、矩形的判定与性质、三

角函数；借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解决问题的关键.

24.(1)操作发现：

如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到AGBE,且点G

在矩形ABCD内部.小明将BG延长交DC于点F,认为GF=DF,你同意吗？说明理由.

(2)问题解决：

保持(1)中的条件不变，若DC=2DF,求铛的值;

AB

(3)类比探求：

【考点剖析】(1)求简单的线段相等，可证线段所在的三角形全等，即连接EF,证

△EGF空△EDF即可;

(2)可设DF=x,BC=y；进而可用x表示出DC、AB的长，根据折叠的性质知AB=BG,

即可得到BG的表达式，由(1)证得GF=DF,那么GF=x,由此可求出BF的表达

式，进而可在R3BFC中，根据勾股定理求出x、y的比例关系，即可得到果的值;

(3)方法同(2).

【解答】解：(1)同意，连接EF,

则根据翻折不变性得，

ZEGF=ZD=90°,EG=AE=ED,EF=EF,

在RtAEGF和RtAEDF中，

fEG=ED

lEF=EF

RtAEGF^RtAEDF(HL),

GF=DF；

(2)由(1)知，GF=DF,设DF=x,BC=y,则有GF=x,AD=y

DC=2DF,

CF=x,DC=AB=BG=2x,

BF=BG+GF=3x；

在RSBCF中，BC2+CF2=BF2,即y2+x2=(3x)2

y=2&x,

(3)由(1)知，GF=DF,设DF=x,BC=y,则有GF=x,AD=y

DC=nDF,

BF=BG+GF=(n+1)x

在RSBCF中，BC2+CF2=BF2,B|Jy2+[(n-1)x]M(n+Ox]2

y=2x4，

【点评】此题考查了矩形的性质、图形的折叠变换、全等三角形的判定和性质、勾股

定理的应用等重要知识，难度适中.

25.如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B

点的抛物线交x轴于点A、D,交y轴于点E,连接AB、AE、BE.已知tanNCBE=/,

A(3,0),D(-1,0),E(0,3).

(1)求抛物线的解析式及顶点B的坐标；

(2)求证：CB是△ABE外接圆的切线；

(3)试探究坐标轴上是否存在一点P,使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似,

若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(4)设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度(0＜怅3)时，AAOE与AABE重叠部

分的面积为S,求S与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围.

图甲图乙(备用图)

【考点剖析】(1)已知A、D、E三点的坐标，利用待定系数法可确定抛物线的解

析式，进而能得到顶点B的坐标.

(2)过B作BM_Ly轴于M,由A、B、E三点坐标，可判断出△BME、△AOE都

为等腰直角三角形，易证得NBEA=90。，即△ABE是直角三角形，而AB是△ABE外

接圆的直径，因此只需证明AB与CB垂直即可.BE、AE长易得，能求出tanNBAE

的值，结合tanNCBE的值，可得至1上CBE=NBAE,由此证得

ZCBA=ZCBE+ZABE=NBAE+ZABE=90°,此题得证.

(3)△ABE中，zAEB=90",tanzBAE=-,即AE=3BE,若以D、E、P为顶点

3

的三角形与△ABE相似，那么该三角形必须满足两个条件：①有一个角是直角、②

两直角边满足1：3的比例关系；然后分情况进行求解即可.

(4)过E作EFIIx轴交AB于F,当E点运动在EF之间时，△AOE与△ABE重叠部

分是个四边形；当E点运动到F点右侧时，△AOE与△ABE重叠部分是个三角形.按

上述两种情况按图形之间的和差关系进行求解.

【解答】(1)解：由题意，设抛物线解析式为y=a(x-3)(x+1).

将E(0,3)代入上式，解得：a=-l.

y=-X2+2X+3.

则点B(l,4).

(2)证明：如图1,过点B作BM_Ly于点M,则M(0,4).

在RtAAOE中，OA=OE=3,

N1=Z2=45°,AE=^QA2+OE2=372-

在RtAEMB中，EM=OM-OE=1=BM,

，NMEB=ZMBE=45°,BE^^2^2=^.

：.ZBEA=180o-Z1-ZMEB=90°.

，AB是△ABE外接圆的直径.

在RtAABE中，tanzBAE=—=^=tanZCBE,

AE3

・•.ZBAE=ZCBE.

在RtAABE中，ZBAE+Z3=90°,「.ZCBE+Z3=90°.

/.ZCBA=90°,即CBJ_AB.

・•.CB是△ABE外接圆的切线.

(3)解：RSABE中，ZAEB=90°,tanZBAE=—,sinZBAE=^S^,cosZBAE=-^S2；

31010

若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则△DEP必为直角三角形；

①DE为斜边时，