信号与系统课件

信號與系統第一章第1章信號與系統的基本概念

1.1信號的描述及分類

1.2

信號的運算

1.3

系統的數學模型及其分類

1.4

系統的模擬

1.5

線性時不變系統分析方法概述習題1第1章信號與系統的基本概念

1.1信號的描述及其分類1.1.1信號及其描述什麼是信號（signal）？廣義地說，信號是隨時間變化的某種物理量。在通信技術中，一般將語言、文字、圖像或數據等統稱為消息（message）。在消息中包含有一定數量的資訊（information）。但是，資訊的傳送一般都不是直接的，它必須借助於一定形式的信號（光信號、聲信號、電信號等），才能遠距離快速傳輸和進行各種處理。因而，信號是消息的表現形式，它是通信傳輸的客觀對象，而消息則是信號的具體內容，它蘊藏在信號之中。本課程將只討論應用廣泛的電信號，它通常是隨時間變化的電壓或電流，在某些情況下，也可以是電荷或磁通。由於信號是隨時間而變化的，在數學上可以用時間t的函數f(t)來表示，因此，“信號”與“函數”兩個名詞常常通用。信號的特性可以從兩個方面來描述，即時間特性和頻率特性。信號可寫成數學運算式，即是時間t的函數，它具有一定的波形，因而表現出一定波形的時間特性，如出現時間的先後、持續時間的長短、重複週期的大小及隨時間變化的快慢等。另一方面，任意信號在一定條件下總可以分解為許多不同頻率的正弦分量，即具有一定的頻率成份，因而表現為一定波形的頻率特性，如含有大小不同頻率分量、主要頻率分量佔有不同的範圍等。信號的形式所以不同，就因為它們各自有不同的時間特性和頻率特性，而信號的時間特性和頻率特性有著對應的關係，不同的時間特性將導致不同的頻率特性的出現。

1.1.2信號的分類對於各種信號，可以從不同的角度進行分類。

1．確定信號和隨機信號

按時間函數的確定性劃分，信號可分為確定信號和隨機信號兩類。確定信號（determinatesignal）是指一個可以表示為確定的時間函數的信號。對於指定的某一時刻，信號有確定的值。如我們熟知的正弦信號、週期脈衝信號等。隨機信號（randomsignal）則與之不同，它不是一個確定的時間函數，通常只知道它取某一數值的概率，如噪音信號等。實際傳輸的信號幾乎都具有不可預知的不確定性，因而都是隨機信號。如，通信系統中傳輸的信號帶有不確定性，接收者在收到所傳送的消息之前，對資訊源所發出的消息是不知道的，否則，接收者就不可能由它得知任何新的消息，也就失去通信的意義。另外，信號在傳輸過程中難免受各種干擾和雜訊的影響，將使信號產生失真。所以，一般的通信信號都是隨機信號。但是，在一定條件下，隨機信號也表現出某些確定性，通常把在較長時間內比較確定的隨機信號，近似地看成確定信號，以使分析簡化。2．連續信號和離散信號按照函數時間取值的連續性劃分，確定信號可分為連續時間信號和離散時間信號，簡稱連續信號和離散信號。連續信號（continuoussignal）是指在所討論的時間內，對任意時刻值除若干個不連續點外都有定義的信號，通常用f(t)表示。離散信號（discretesignal）是指只在某些不連續規定的時刻有定義，而在其他時刻沒有定義的信號。通常用f(tk)或f(kT)[簡寫f(k)]表示，如圖1.1-2所示。圖中信號f(tk)只在t

k

=－2,－1,0,1,2,3,…等離散時刻才給出函數值。

3.週期信號和非週期信號按信號（函數）的週期性劃分，確定信號又可以分為週期信號與非週期信號。

週期信號（periodicsignal）是指一個每隔一定時間T，周而復始且無始無終的信號，它們的運算式可寫為 f(t)=f(t+n

T) n=0,1,2,…

滿足此關係式的最小T值稱為信號的週期。只要給出此信號在任一週期內的變化過程，便可確知它在任一時刻的數值。非週期信號（aperiodicsignal）在時間上不具有周而復始的特性。非週期信號也可以看作為一個週期T趨於無窮大時的週期信號。

4．

能量信號與功率信號信號按時間函數的可積性劃分，可以分為能量信號，功率信號和非功非能信號。信號可看作是隨時間變化的電壓或電流，信號f(t)在1歐姆的電阻上的暫態功率為

|f(t)|2，在時間區間所消耗的總能量定義為：

（1.1-1）其平均功率定義為：

（1.1-2）上兩式中，被積函數都是f(t)的絕對值平方，所以信號能量E和信號功率P都是非負實數。 若信號f(t)的能量0<E<,此時P=0，則稱此信號為能量有限信號，簡稱能量信號（energysignal）。 若信號f(t)的功率0<P<,此時E=，則稱此信號為功率有限信號，簡稱功率信號（powersignal）。 信號f(t)可以是一個既非功率信號，又非能量信號，如單位斜坡信號就是一個例子。但一個信號不可能同時既是功率信號，又是能量信號。

一般說來週期信號都是功率信號，非週期信號或者是能量信號，或者是功率信號，或者既非能量信號又非功率信號。屬於能量信號的非週期信號稱為脈衝信號，它在有限時間範圍內有一定的數值。

1.1.3典型連續信號下麵給出一些典型連續信號的運算式和波形，我們今後會經常遇到它們。典型離散信號的運算式及波形將在第五章中討論。1．單位階躍信號（unitstepsignal）單位階躍信號的定義為： （1.1-3）其波形在躍變點t=0處，函數值未定。

若單位階躍信號躍變點在t=t0處，則稱其為延遲單位階躍函數。2.單位沖激信號（unitimpulsesignal）單位沖激信號(t)是一個特殊信號，它不是用普通的函數來定義。它的工程定義如式（1.1-5）描述。這個定義由狄拉克(P.A.M.Dirac)提出，故又稱狄拉克函數。它除在原點以外，處處為零，並且具有單位面積值。直觀地看，這一函數可以設想為一列窄脈衝的極限。如一個矩形脈衝。3.

複指數信號（complexexponentialsignal）和為複數，稱複頻率。由於複指數信號能概括多種情況，所以可利用它來描述多種基本信號，如直流信號、指數信號、等幅、增幅或減幅正弦或余弦信號，因此，它是信號與系統分析中經常遇到的重要信號。上面我們介紹了幾種最基本的信號，接著來介紹有關信號的各種運算。

1.2信號的運算1.2.1信號的相加與相乘兩個信號相加（相乘）可得到一個新的信號，它在任意時刻的值等於兩個信號在該時刻的值之和（積）。信號相加與相乘運算可以通過信號的波形(或信號的運算式)進行。

1.2.2信號的導數與積分信號f(t)的導數是指或記作f‘(t)，從波形看，它表示信號值隨時間變化的變化率。當f(t)含有不連續點時，由於引入了沖激函數的概念，f(t)在這些不連續點上仍有導數，出現沖激，其強度為原函數在該處的跳變數。信號f(t)的積分是指或記作f(-1)(t)，從波形看，它在任意時刻t的值為從－到t區間，f(t)與時間軸所包圍的面積。1.2.3信號的時移和折疊信號f（t）時移(t0>0)，就是將f（t）運算式中所有引數t用t替換,成為。信號f(t)的折疊就是將f(t)運算式以及定義域中的變數t用–t替換，成為f(-t)。

1.2.4信號的尺度變換尺度變換就是把信號f(t)以及定義域中引數t用at去置換，成為f(at)。

1.3系統的數學模型及其分類1.3.1系統的概念什麼是系統（system）？廣義地說，系統是由若干相互作用和相互依賴的事物組合而成的具有特定功能的整體。例如，通信系統、自動控制系統、電腦網絡系統、電力系統、水利灌溉系統等。通常將施加於系統的作用稱為系統的輸入激勵；而將要求系統完成的功能稱為系統的輸出回應。1.3.2系統的數學模型分析一個實際系統，首先要對實際系統建立數學模型，在數學模型的基礎上，再根據系統的初始狀態和輸入激勵，運用數學方法求其解答，最後又回到實際系統，對結果作出物理解釋，並賦予物理意義。所謂系統的模型是指系統物理特性的抽象，以數學運算式或具有理想特性的符號圖形來表徵系統特性。系統模型的建立是有一定條件的，對於同一物理系統，在不同條件下可以得到不同形式的數學模型。另一方面，對於不同的物理系統，經過抽象和近似，有可能得到形式上完全相同的數學模型。1．3．3系統的分類

系統的分類比較複雜，我們主要考慮其數學模型的差異來劃分不同的類型。

1．

連續時間系統和離散時間系統

輸入和輸出均為連續時間信號的系統稱為連續時間系統。輸入和輸出均為離散時間信號的系統稱為離散時間系統。模擬通信系統是連續時間系統，而數字電腦就是離散時間系統。連續時間系統的數學模型是微分方程，而離散時間系統則用差分方程來描述。2．

線性系統和非線性系統

線性系統是指具有線性特性的系統。所謂線性特性（linearity）系指齊次性與疊加性。若系統輸入增加k倍，輸出也增加k倍，這就是齊次性（homogeneity）。若有幾個輸入同時作用於系統，而系統總的輸出等於每一個輸入單獨作用所引起的輸出之和，這就是疊加性（superpositionProperty）。系統同時具有齊次性和疊加性便呈現線性特性。一個系統的輸出不僅與輸入有關，還與系統的初始狀態有關。設具有初始狀態的系統加入激勵時的總回應為y(t)；僅有激勵而初始狀態為零的回應為y

zs(t)，稱為零狀態回應；僅有初始狀態而激勵為零時的回應為y

zi(t)，稱為零輸入回應。若將系統的初始狀態看成系統的另一種輸入激勵，則對於線性系統，根據系統的線性特性，其輸出總回應必然是每個輸入單獨作用時相應輸出的疊加。

因此，一般線性系統必須具有：

a.

分解性（decompositionproperty）：即y(t)=y

zs(t)+y

zi(t)（1.3-6）

b．零輸入線性——當系統有多個初始狀態時，零輸入回應對每個初始狀態呈線性。

c．零狀態線性——當系統有多個輸入時，零狀態回應對每個輸入呈線性。凡不具備上述特性的系統則稱為非線性系統。3．

時不變系統和時變系統只要初始狀態不變，系統的輸出僅取決於輸入而與輸入的起始作用時刻無關，這種特性稱為時不變性。具有時不變特性的系統為時不變系統（timeinvariantsystem）。不具有時不變特性的系統為時變系統（timevaryingsystem）。對時不變系統，如果激勵是x(t)，系統產生的回應是y(t)，當激勵延遲一段時間td為x(t–td)，則系統的回應也同樣延遲td時間為y(t–td)，其波形形狀不變。公式化地表示為：若 x(t)y(t)則x(t–td)y(t–td) (1.3-7)系統的線性和時不變性是兩個不同的概念，線性系統可以是時不變的，也可以是時變的，非線性系統也是如此。本課程只討論線性時不變（LTI）系統，簡稱線性系統。線性時不變連續（離散）系統的數學模型為常係數微分（差分）方程。4．因果系統和非因果系統

因果系統（Causalsystem）是回應不會超前激勵的系統。非因果系統（noncausalsystem）是回應能領先於激勵的系統。

1.4系統的模擬如前所述，把一個實際系統抽象為數學模型，便於用數學方法進行分析。另外，還可借助簡單而易於實現的物理裝置，用實驗的方法來觀察和研究系統參數和輸入信號對於系統回應的影響。此時，需要對系統進行實驗模擬。系統模擬（systemsimulation）不需要仿製實際系統，而只需在數學意義上的等效，使模擬系統與實際系統具有相同的數學運算式。1.4.1基本運算器連續系統的模擬一般需要三種基本的運算器：加法器、標量乘法器和積分器。模擬一個系統的微分方程不用微分器而用積分器，這是因為積分器對信號起“平滑”作用，甚至對短時間內信號的劇烈變化也不敏感，而微分器將會使信號的雜訊大大增加，因而使用較少，顯然積分器的抗干擾性能比微分器好，運算精度高。1.4.2連續系統的模擬圖對於連續的線性時不變系統，可用線性常係數微分方程來描述，根據微分方程可作出相應的模擬圖。構成系統模擬圖的規則如下：(1)把微分方程輸出函數的最高導數項保留在等式左邊，把其他各項移到等式右邊；(2)將最高階導數作為第一個積分器的輸入，其輸出作為第二個積分器的輸入，以後每經過一個積分器，輸出函數的導數階數就降低一階，直到獲得輸出函數為止；(3)把各個階數降低了的導數及輸出函數分別通過各自的標量乘法器，一齊送到第一個積分器前的加法器與輸入函數相加，加法器的輸出就是最高階導數。這就構成了一個完整的模擬圖。

現在考慮更一般的情況，即微分方程右邊含有輸入函數導數的情況。例如，二階微分方程

(1.4-8)則引入輔助函數，使代入原方程由此可見完整的二階系統模擬圖：根據系統模擬圖列寫微分方程的一般步驟：（1）選中間變數q(t)。設系統最右端積分器的輸出為q(t)；（2）寫出各加法器輸出信號的方程；（3）消去中間變數q(t)，可得微分方程。以上介紹了連續時間系統的時域模擬方法，關於離散時間系統的模擬將在第五章仲介紹。它們的S域(複頻域)或Z域模擬將在第六章仲介紹。

1-5線性時不變系統分析方法概述在系統分析中，線性時不變系統分析具有重要意義。這是因為：一方面，實際工作的多數系統在指定條件下可被近似為線性時不變系統；另一方面，線性時不變系統的分析方法已經比較成熟，形成了較為完善的體系。而非線性系統與時變系統的分析雖然已經發展了一些實用方法，但作為普通的理論，至今尚未達到成熟的階段。分析線性系統一般必須首先建立描述系統的數學模型，然後再進一步求得系統數學模型的解。在建立系統模型方面，系統的數學描述方法可分兩類：一類稱為輸入-輸出描述法；一類稱為狀態變數描述法。輸入-輸出描述法著眼於系統激勵與回應的關係，並不涉及系統內部變數的情況。因而，這種方法對於單輸入、單輸出系統較為方便。一般而言，描述線性時不變系統的輸入-輸出關係，對連續系統是常係數線性微分方程，對離散系統是常係數線性差分方程。狀態變數描述法不僅可以給出系統的回應，還可提供系統內部各變數的情況，特別適用於多輸入、多輸出系統。用這種方法建立的數學式為一階標準形式，便於電腦求解。狀態變數分析法還適用於時變系統和非線性系統，已成為系統理論與近代控制工程的基礎。從系統數學模型的求解方法來講，基本上可分為時域方法和變換域方法兩類。時域法是直接分析時間變數的函數，研究系統的時域特性。對於輸入-輸出描述的數學模型，可求解常係數線性微分方程或差分方程；對於狀態變數描述的數學模型，則需求解矩陣方程。線上性系統時域分析方法中，卷積方法非常重要，不管是連續系統中的卷積還是離散系統中的卷積和，都為分析線性系統提供了簡單而有效的方法，本書中將詳細討論這種方法。變換域方法是將信號與系統的時間變數函數變換成相應變換域的某個變數函數。例如，傅裏葉變換（FT）是以頻率作為變數的函數，利用FT來研究系統的頻率特性；拉普拉斯變換（LT）與Z變換（ZT）則注重研究零點與極點分佈，對系統進行S（複頻率）域和Z域分析。變換域方法可以將分析中的微分方程或差分方程轉換為代數方程，或將卷積積分與卷積和轉換為乘法運算，使信號與系統分析的求解過程變得簡單而方便。在分析線性時不變系統中，時域法和變換域法都以疊加性、線性和時不變性為分析問題的基準。首先把激勵信號分解為某種基本單元信號，然後求出在這些基本單元信號分別作用下系統的零狀態回應，最後疊加。應該指出，卷積方法求得的是零狀態回應。變換域方法不限於求零狀態回應，也可用來求零輸入回應或直接求全回應，它是求解數學模型的有力工具。狀態變數分析法適用於時域法和變換域方法。本書按照先輸入-輸出描述後介紹狀態變數描述，先連續系統後離散系統，先時域後變換域的順序，研究線性時不變系統的基本分析方法。信號與系統第二章第2章連續信號與系統的時域分析

2.1沖激函數及其性質

2.2系統的沖激回應

2.3信號的時域分解和卷積積分

2.4卷積的圖解和卷積積分限的確定

2.5卷積積分的性質

2.6卷積的數值計算

習題2

2.1

沖激函數及其性質2.1.1沖激函數沖激函數是對於集中於一個瞬間（或一點）出現的物理量的一種理想描述。

單位沖激函數的工程定義:

單位沖激函數的工程定義直觀地反映了它出現時間極短和麵積為1兩個特點。從它t=0時函數值趨於無窮大，可以看出，不是通常意義下的函數。人們將這類非常規函數稱為廣義函數（generalizedfunction），或稱分配函數（distributionfunction）。這類函數的數學定義不是象普通函數那樣，由對應於引數的變化值所取的函數值來定義，而是由它對另一個函數（常稱為測試函數）的作用效果來定義的，也就是說，不是用它“是”什麼來定義，而是用它能“做”什麼來定義的。和單位沖激函數的嚴格的數學定義。

2.1.2沖激函數的性質作為廣義函數，沖激函數除了式（2.1-4）和式（2.1-16）所描述的取樣性質（或稱篩選性質）外，還具有如下常用性質：

1.加權特性

2.單位沖激函數為偶函數

3.單位階躍函數的導數是單位沖激函數

4.尺度變換

5.沖激函數的導數及其性質單位沖激函數及其各階導數和積分是一族最常用的奇異函數。（2.1-4）2.2系統的沖激回應線性時不變時間系統的單位沖激回應，是指系統初始狀態為零，激勵為單位沖激信號作用下的回應，簡稱沖激回應，用h(t)表示。它反映了系統的特性，同時也是利用卷積積分進行系統時域分析的重要基礎。

1.對於簡單電路，直接計算該電路在單位沖激信號作用下的零狀態回應，即可求得沖激回應h(t)。

2.先計算系統的階躍回應s(t)，然後利用沖激回應和階躍回應的關係計算沖激回應h(t)。

3.從系統的微分方程求解沖激回應。2.3信號的時域分解和卷積積分上一節討論了系統對於單位沖激信號這一特殊激勵下的零狀態回應，本節將研究任意波形信號可以分解為連續的沖激信號之和，以及任意信號作用下的零狀態回應問題，進而說明卷積積分的物理意義。2.3.1信號的時域分解任意波形的信號可以分解為連續的加權沖激信號之和。

任意波形的信號也可以分解為無限多個連續的加權階躍信號之和。2.3.2

零狀態回應---卷積積分任意波形信號作用於線性系統引起的零狀態回應，為

(2.3-10）

式（2.3-10）是卷積積分的一般形式，當與受到某種限制時，其積分上、下限會有所變化。若t<t1時，x(t)=0，式（2.3-10）中的積分下限應從t1開始，式（2.3-10）應表示為

(2.3-12）相反，若x(t)不受此限，而t<t2時，h(t)=0，積分上限應取t-t2

，式（2.3-10）應表示為（2.3-13）若t<t1時，x(t)=0，而t<t2時，h(t)=0，式（2.3-10）積分上,下限為（2.3-14）更一般的確定卷積積分的積分限的方法將在下一節中進一步進行分析討論。2.4卷積的圖解和卷積積分限的確定上一節討論了一般形式的卷積積分，以及x(t)和h(t)均為有始函數時積分上下限的表示方法，但實際上卷積積分限還要根據具體情況來確定，特別是當x(t)和h(t)兩者或兩者之一是分段定義的函數時，圖解能幫助正確地確定卷積積分的上下限。

2.4.1卷積的圖解卷積的圖解能夠直觀地理解卷積積分的計算過程。卷積的圖解歸納起來有下列五個步驟：

1.換元：將和中的變數t更換為變數τ；

2.折疊：作出相對於縱軸的鏡象；

3.位移：把平移一個t值；

4.相乘：將位移後的函數乘以；

5.積分：和乘積曲線下的面積即為t時刻的卷積值。

由於卷積積分的計算步驟包括換元、折疊、位移、相乘與積分，故卷積也稱為褶積或卷乘等。

2.4.2卷積的另一種計算方法如果x(t)和h(t)兩者或兩者之一是分段連續的函數時，採用式（2.3-14）進行卷積計算也是一種較為簡便的方法。

2.5卷積積分的性質作為一種數學運算方法，卷積積分具有某些特殊的性質。利用這些性質可使卷積運算大為簡化。

2.5.1卷積代數通常，卷積積分與代數中的乘法運算性質相類似。（1）卷積運算滿足交換律（2）卷積積分滿足分配律（3）卷積積分滿足結合律2.5.2卷積的微分與積分上述卷積代數運算的規律與普通乘法類似，但卷積的微分或積分運算卻與普通兩函數的乘積的微分、積分運算不同。（1）卷積的微分性質（2）卷積的積分性質（3）卷積的微積分性質任意函數x(t)與單位沖激函數

(t)卷積的結果仍然是本身，根據式（2.3-3）和卷積的定義，有（2.5-17）由此可見任意函數x(t)與一個延遲時間為t1秒的單位沖激函數

(t-t1)的卷積，只是使x(t)在時間上延遲了t1，而波形不變。這一性質稱為重現特性（replicationproperty）。2.5.4卷積的時移若，則

(2.5-22)

2.6卷積的數值計算卷積積分除通過直接積分或查表的方法進行求解外，還可以利用電腦求解，這就是卷積積分的數值計算。信號與系統第三章第3章

連續信號與系統的頻域分析

3.1週期信號分解為傅裏葉級數

3.2信號在正交函數空間的分解

3.3週期信號的頻譜

3.4非週期信號的頻譜

3.5一些常見信號的頻域分析

3.6傅裏葉變換的性質及其應用

3.7相關函數與譜密度

3.8連續系統的頻域分析

3.9信號的無失真傳輸和理想濾波器

3.10希爾伯特變換

3.11取樣定理

3.12多路複用習題3第3章

連續信號與系統的頻域分析

上一章討論了連續時間信號與系統的時域分析。它是以沖激函數為基本信號，任意信號可以分解為一系列加權的沖激信號之和，而系統的零狀態回應是輸入信號與沖激回應的卷積。本章將以正弦函數或虛指函數為基本信號，任意信號可以表示成一系列不同頻率的正弦信號或虛指函數信號之和。連續信號與系統的頻域分析就是將時間變數變換為頻率變數的分析方法，這種方法以傅裏葉（Fourier）變換理論為工具，將時間域映射到頻率域，揭示了信號內在的頻率特性以及信號時間特性與頻率特性之間的密切關係。3.1週期信號分解為傅裏葉級數一個連續時間信號若每隔一定的時間T按相同的變換規律重複變化，此信號稱為週期信號。

3.1.1

三角型傅裏葉級數

由高等數學知識，以T為週期的週期信號f(t)，若滿足下列狄裏赫利（Dirichlet）條件：

1.在一個週期內滿足絕對可積，即

2.在一個週期內只有有限個極大值和極小值；

3.在一個週期內只有有限個不連續點。則可展開為如下三角型傅裏葉級數

(3.1-2)式中，也稱基本角頻率,係數a0,an,bn稱為三角型傅裏葉級數的係數，它們分別為(3.1-3a)(3.1-3b)(3.1-3c)

利用信號波形的對稱性，可以方便地求取傅裏葉級數的係數。

1.f(t)為偶函數

2.f(t)為奇函數

3.f(t)為偶諧函數4.f(t)為奇諧函數

，則只含有常數項和余弦項；而。,則只含正弦項；而。

，偶半波對稱,則只含有偶次諧波。

，奇半波對稱,則只含有奇次諧波。若將式(3.1-2)中同頻率項合併，即

三角型傅裏葉級數可寫成工程上更為實用的形式：3.1.2

指數型傅裏葉級數三角函數與虛指數函數有著密切的關係，根據歐拉（Eular）公式，有故三角型傅裏葉級數和指數型傅裏葉級數實質上是同一級數的兩種不同的表現形式。於是，可將原傅裏葉級數寫成緊湊的形式

(3.1-10)這就是指數型傅裏葉級數。將式(3.1-3)中的an和bn代入式(3.1-9a)即可求得指數型傅裏葉級數的係數

(3.1-11)一般情況下，Fn是關於變數n

0的復函數，故又稱為指數型傅裏葉級數的複係數.當f(t)是實週期信號時，其傅裏葉複係數Fn的模和實部是n

0偶函數；Fn的相角和虛部是n

0的奇函數。

指數型傅裏葉級數中出現負頻率分量，這只是一種數學表達形式，沒有太多的物理意義。實際上，正負頻率分量總是共軛成對地出現。一對共軛的正負頻率分量之和構成一個實際的諧波分量.3.2

信號在正交函數空間的分解傅裏葉級數表明，滿足狄裏赫利條件的任意週期信號可以用一系列正、余弦函數或虛指數函數的線性組合來表示。本節試圖探討是否還可以用其他函數的線性組合來表示一個任意函數。把信號分解為某種基本信號的疊加是分析信號和系統的基本思想。信號分解為正交函數的原理與向量分解為正交向量的概念相似。本節首先回顧向量的正交分解，然後引入函數正交的概念，最後討論任意信號分解為正交信號之和。

3.2.1向量的正交與分解

3.2.2

正交函數向量正交的概念可以推廣到函數或信號。3.2.3

用正交函數表示信號由n個正交向量構成一個n維向量空間，該向量空間中的任意向量均可按式(3.2-4)進行分解。這同樣可以推廣到函數空間。對於某給定信號，可以選擇各種可能的完備正交函數集來表示。但三角函數集和虛指數函數集是最重要、最方便的，這是因為它們具有一些顯著的優點。（1）三角函數和指數函數是自然界中最常見、最基本的函數。（2）三角函數和虛指數函數是簡諧函數，用它們表示信號，就自然建立了時間和頻率這兩個基本物理量之間的聯繫。很多系統（例如濾波器、資訊傳輸通道等）的特性主要是由頻域特性來描述的。（3）簡諧信號容易產生、傳輸和處理。（4）三角函數（或指數函數）信號通過線性時不變系統後，仍為三角函數（或指數函數）信號，其重複頻率不變，只是幅度和相位發生變化，給計算帶來方便。（5）三角函數和指數函數的加、減、乘、微分和積分運算後仍然是三角函數和指數函數。（6）以後我們會看到，時域中的卷積運算在頻域中會轉變為乘積運算，從而找到了計算積分的一種新的簡便方法。

3.3週期信號的頻譜式（3.1-4）和式（3.1-10）說明，週期信號可分解為各次諧波頻率分量的疊加，而傅裏葉係數或反映了不同諧波分量的幅度，或反映了不同諧波分量的相位。將它們沿頻率（或）軸分佈的圖形畫出來，就稱為週期信號的頻譜（Spectrum）圖。這種圖形清晰地表征了週期信號的頻域特性，從頻域角度反映了該信號攜帶的全部資訊。3.3.1週期信號的單邊頻譜和雙邊頻譜週期信號的三角型傅裏葉級數中，分量的形式

,為整數，故把隨變化的圖形稱為單邊幅度頻譜，把隨變化的圖形稱為單邊相位頻譜，兩圖合在一起稱為的單邊頻譜。類此，週期信號的指數型傅裏葉級數中，把隨變化的圖形稱為雙邊幅度頻譜，把隨變化的圖形稱為雙邊相位頻譜。兩圖合在一起稱為的雙邊頻譜。畫頻譜圖時必須注意下麵幾點：（1）,但當時，;（2）三角型傅裏葉級數必須統一用余弦函數來表示；（3）由於表示振幅，故；（4）當f(t)是實信號時，雙邊幅度頻譜是的偶函數，雙邊相位頻譜的奇函數；（5）為了使圖形清晰，採用豎線代替點的辦法來表示相應幅度或相位的數值，稱為譜線，譜線只在基波的整倍數處出現。一般情況下，是關於的復函數。但當f(t)是實偶函數,

也為實偶函數；而f(t)為實奇函數時為虛奇函數。故若將一般的實信號分解為偶分量和奇分量之和，由式(2.3-6)和式(3.1-12),有

若的頻譜是，則的偶分量的頻譜是的實部，即；而的奇分量的頻譜是的虛部乘以j，即。信號的頻譜圖和信號的波形圖同樣都形象地描述了信號的全部特性，前者是信號的頻域描述法，而後者是信號的時域描述法。週期信號的頻譜有如下特點：

(1)離散性：譜線沿頻率呈離散分佈，這種頻譜稱為離散頻譜；

(2)諧波性：各譜線間呈等距分佈，相鄰譜線間的距離正好等於基波頻率，不可能包含不是基波整數倍的其他頻率分量；

(3)

收斂性：（或）一般隨總是趨於零。

3.3.2週期信號的功率譜週期信號屬於功率信號。為了方便，研究週期信號在1

電阻上消耗的平均功率，稱為歸一化平均功率，如果是實信號，無論它表示電壓還是電流，其平均功率為

(3.3-2)式中，T為週期信號的週期。

(3.3-6)式(3.3-6)稱為帕什瓦爾（Parseval）定理。也稱功率等式。該式表明週期信號的平均功率不僅可以在時域中求取，還可以在頻域中確定。

從式(3.3-6b)右邊兩項分別就是週期信號的直流分量和各次諧波分量在1

電阻上消耗的平均功率，因此，它表明了週期信號在時域中的平均功率等於頻域中的直流分量和各次諧波分量的平均功率之和。把各平均功率分量即隨變化的圖形稱為週期信號的功率頻譜，簡稱功率譜（Powerspectrum）。顯然，週期信號的功率譜也是離散頻譜。可見，功率譜是相應的雙邊幅度頻譜的平方，而與相應的相位譜無關。從週期信號的功率譜中可以看出各平均功率分量的分佈情況，另外還可以確定在週期信號的有效頻帶寬度內諧波分量所具有的平均功率占整個週期信號的平均功率之比。

3.4非週期信號的頻譜前面幾節討論了週期信號的頻譜，在自然界裏除了週期信號外，還廣泛存在著非週期信號。這些非週期信號能否分解為指數型級數，應該如何分解。這些就是本節要討論的問題。

3.4.1

從傅裏葉級數到傅裏葉變換對於週期信號可以表示成指數型傅裏葉級數,即寫成

(3.4-2)和(3.4-3)由上節對週期矩形脈衝信號的討論已經知道，當T變大時，基本角頻率變小，相應的離散譜線變密，此時各頻率分量的幅度也變小，頻譜包絡線的形狀不變。當T趨於無限大時，儘管頻譜包絡線的形狀不變，但譜線都趨於無窮小。如果此時仍然討論展開為傅裏葉級數問題已經沒有實際意義。為了描述非週期信號的頻譜特性，考慮到T非常大時，就變得非常小，可用來表示。式(3.4-3)可改寫成(3.4-4)當時，，用來表示；用來表示；離散變數變成連續變數；同時將求和改為積分；則非週期信號可表示為

這樣，可以把非週期信號表示為無窮期指數信號的積分，稱為傅裏葉積分，簡稱為傅氏積分。同時根據式(3.4-4)、(3.4-5)有(3.4-7)今後為了書寫的簡便，常將寫成。式(3.4-7)和式(3.4-8)稱為傅裏葉變換對，其中式(3.4-8)稱為傅裏葉正變換，簡稱傅氏變換。而式(3.4-7)稱為傅裏葉反變換，簡稱傅氏反變換。並採用下列記號：

(3.4-9)與的對應關係還可簡化為

(3.4-10)(3.4-8)

3.4.2頻譜函數的物理意義及其自身特性週期信號的指數型傅裏葉級數表明:週期信號可以分解為無限多個頻率為、複振幅為的指數分量的離散和；而非週期信號的傅裏葉積分則表明非週期信號可以分解為無限多個頻率為、振幅為的指數分量的連續和（積分）。這樣，週期信號的分解就推廣到非週期信號。

從上式可以看出，是單位頻帶的複振幅。具有密度的概念，因此稱為頻譜密度函數（Spectrumdensityfunction）,簡稱為頻譜函數或頻譜密度，在與週期信號頻譜不發生混淆的情況下也簡稱為頻譜。由3.3節可知，信號在時域中是連續、週期的，其頻譜在頻域中是離散、非週期的；從本節傅裏葉變換定義可知，信號在時域中是連續、非週期的，其頻譜在頻域中也是連續、非週期的。以後我們將會知道，信號在時域中是離散、非週期的，其頻譜在頻域中是連續、週期的；信號在時域中是離散、週期的，其頻譜在頻域中也是離散、週期的。一般是的復函數，可以寫作

(3.4-13)式中是的模，它代表信號中各頻率分量幅度的相對大小；是的幅角，它表示信號中各頻率分量之間的相位關係。習慣上把和的曲線也分別稱為幅度頻譜和相位頻譜。非週期信號的頻譜密度與相對應的週期信號的傅裏葉複係數之間的關係是應用上述關係可以較方便地從週期信號的求取相應的非週期信號的，或者相反。在形狀上與相應的週期信號的頻譜包絡線相同。

3.4.3

傅裏葉變換的存在性非週期信號是否存在傅裏葉變換，仍應滿足類似於傅裏葉級數的狄裏赫利條件，不同之處僅僅在於一個週期的範圍，即要求信號在無限區間內絕對可積。利用式(3.4-8)，有

(3.4-21)上式表明，若滿足無限區間內絕對可積，則必然有界。但這僅是充分條件而不是必要條件。這意味著滿足絕對可積條件的能量信號其必然存在。但是，如果在頻域內引入廣義函數後，對於並不滿足絕對可積條件的功率信號，甚至某些非功率非能量信號，其也存在，且有確定的運算式。這給信號的頻域分析與系統的頻域分析帶來很大的方便。

3.5

一些常見信號的頻域分析常見信號是組成複雜信號的基礎，如果再與下一節討論的傅裏葉變換性質結合起來，幾乎可以分析工程中遇到的所有信號的頻譜。本節討論的信號中，有的不滿足絕對可積的條件，引入廣義函數的概念以後，使許多不滿足絕對可積條件的功率信號和某些非功率、非能量信號也存在傅裏葉變換，而且具有非常清楚的物理意義，這樣就可以把週期信號和非週期信號的分析方法統一起來，使傅裏葉變換應用更為廣泛。

1.矩形脈衝A2.三角形脈衝03.單邊實指數脈衝

4.雙邊實指數脈衝5.符號函數符號函數(或稱正負號函數)如圖3.5-5(a)所示。顯然這種信號不滿足絕對可積的條件，直接用定義式也無法得到它的傅裏葉變換。如果將看成是下列函數的極限6.單位沖激函數單位沖激函數是實偶函數，其傅裏葉變換也應是實偶函數,有

(3.5-14)即單位沖激函數頻譜是常數1，其時域、頻域圖形如圖所示。也就是說，在時域中變化異常劇烈的沖激信號包含幅度相等的所有頻率分量，即其頻譜密度在整個頻率範圍內是均勻分佈的。這樣的頻譜常稱為“均勻譜”或“白色頻譜”。017.直流信號1根據傅裏葉反變換定義，有得直流信號1的傅氏變換8.虛指數信號考慮到沖激函數是偶函數，可得如下重要公式9.單位階躍信號兩邊取傅裏葉變換，得週期信號的頻譜為由此，可以得到週期信號的傅裏葉變換公式：週期信號的傅裏葉級數

3.6傅裏葉變換的性質及其應用傅裏葉變換建立了信號時域和頻域的一一對應關係。也就是說任一信號可以有時域和頻域兩種描述方法。信號在一個域中所具有的特性，必然在另一個域中有其相對應的特性出現。為了進一步瞭解時域和頻域之間的內在聯繫，當在某一個域中分析發生困難時，利用傅裏葉變換的性質可以轉換到另一個域中進行分析計算；另外，根據定義來求取傅裏葉正、反變換時，不可避免地會遇到繁雜的積分或不滿足絕對可積而可能出現廣義函數的麻煩。下麵將系統地討論傅裏葉變換的性質及其應用，從而用簡捷的方法求取傅裏葉正、反變換。

1.線性

2.

對稱性：

3.

尺度變換尺度變換特性也稱比例性。4.

時移性

5.

頻移性由頻移特性，由公式可得6.

卷積定理有兩個卷積定理，一個為時域卷積定理，另一個為頻域卷積定理。時域卷積定理

頻域卷積定理卷積定理在信號和系統分析中佔有重要的地位，它說明了兩函數在時域（或頻域）中的卷積積分，對應於頻域（或時域）中兩者的傅裏葉變換（或反變換）應具有的關係。7.

時域微分和積分則

8.頻域微分和積分(1)頻域微分(2)頻域積分3.7相關函數與譜密度信號的頻譜是頻域中描述信號特徵的方法之一，此外，還可以用能量譜密度或功率譜密度來描述信號。而相關是在時域中描述信號特徵的重要方法。這一節中，將通過相關函數的傅裏葉變換，從而找到從頻域計算能量信號的能量譜密度和功率信號的功率譜密度的另一種方法。為了簡便起見，我們只討論實信號。

3.7.1能量譜密度（Energyspectraldensity）第一章中已經定義了實能量信號的能量為式(3.7-1)表示電壓或電流信號在1

電阻上所消耗的能量。（3.7-3）上式也稱為帕什瓦爾定理或非週期能量信號的能量等式。為了瞭解能量在頻域中的分佈情況，定義能量譜密度為

(3.7-4)

3.7.2功率譜密度（Powerspectraldensity）若是實功率信號，則其平均功率定義為

(3.7-7)將式(3.7-8)和式(3.7-9)代入式(3.7-7),可得到功率信號的平均功率為

(3.7-10)式中

(3.7-11)稱為功率信號的功率譜密度。

3.7.3相關函數在很多情況下，需要比較兩個信號的相似程度。相關函數是研究隨機信號而引入的概念，但對確定信號同樣適用。互相關函數定義：自相關函數定義：相關運算和卷積運算之間的關係。

3.7.4相關函數的譜密度儘管相關函數的概念是建立在信號時域波形之間，但它卻與能量譜密度函數或功率譜密度函數之間存在著確定的關係。根據時域卷積定理可以證明

(3.7-21)或(3.7-22)可見，互相關函數與是一對傅裏葉變換，具有能量譜的性質，通常稱為能量信號和的互能量譜密度，簡稱互能量譜。如A同樣，可得能量信號：功率信號：

3.8連續系統的頻域分析方法系統的頻域分析就是尋求不同信號激勵下其回應隨頻率變化的規律。本節將以信號的頻譜分析為基礎，討論信號作用於線性系統時在頻域中求解零狀態回應的方法，這種系統的頻域分析法又稱為傅裏葉變換分析法。

3.8.1

傅裏葉變換分析法線性時不變系統的數學模型可以用一個n階常係數線性微分方程來描述，即對上式兩邊取傅裏葉變換，由時域微分性質，可得可見，通過傅裏葉變換，可以把常係數線性微分方程變成關於激勵和回應的傅裏葉變換的代數方程。從而使問題得以簡化。於是得輸出回應的傅裏葉變換為

是兩個關於的多項式之比，其中分母與分子多項式的係數分別是微分方程左邊與右邊相應項的係數。定義為系統在零狀態條件下回應與激勵的頻譜之比，稱為系統的（頻域形式的）系統函數(Systemfunction)，也稱為頻率回應特性（簡稱頻率回應）。顯然是的復函數，它表徵了系統的頻率特性，是系統特性的頻域描述。對於一個系統來說，如果已知、和中的兩個，便可方便地確定第三個。1．求取激勵的傅裏葉變換，即

2.確定系統的系統函數；

3．求取回應的傅裏葉變換；

4．再將從頻域反變換到時域，從而求得零狀態回應的時間函數。由於傅裏葉變換的積分區間為，因此，頻域分析法求取的回應是零狀態回應。或者說，由於無法表示系統的初始儲能，頻域分析法無法求得其零輸入回應。在傅裏葉變換分析法中，系統函數起著重要的作用，有必要進行進一步地討論，以便更好地理解傅裏葉變換分析法的實質。

3.8.2系統特性的頻域表徵系統函數描述了系統在零狀態條件下回應的傅裏葉變換與激勵的傅裏葉變換之間的關係，可以按照式(3.8-3)由系統的微分方程求得。可見，系統函數只與系統本身的特性有關，而與激勵無關。系統函數是系統的沖激回應的傅裏葉變換，這是一個十分重要的變換對。系統的沖激回應和系統函數這一變換對分別從時域和頻域兩個方面表徵了同一系統的特性。當系統的激勵為無時限虛指數信號時，系統的零狀態回應由時域卷積積分可求得，為

(3.8-5)上式表明，當一個無時限虛指數信號作用於線性系統時，其輸出的零狀態回應仍為同頻率的虛指數信號，不同的是回應比激勵多乘一個與時間t無關的系統函數。根據式(3.8-5)，可以更深刻地理解傅裏葉變換分析法的物理意義。它實質上就是把信號分解為無窮多個虛指數分量之和，即

其中在範圍內的分量為，由式(3.8-5),對應於這個分量的回應為，當把無窮多個回應分量疊加起來，便得到了總回應，即

(3.8-6)

這裏可以看出，系統的頻域分析法與時域分析法存在相似之處。在時域分析法中是把信號分解為無窮多個沖激信號之和，即把沖激信號作為單元信號，然後求取各單元信號作用於系統的回應，再進行疊加；而在頻域分析法中則是把信號分解為無窮多個無時限虛指數信號之和。即把虛指數信號作為單元信號，然後求取各個單元信號作用於系統的回應，再進行疊加。因此，這兩種分析法只不過是採用單元信號不同。另外，卷積分析法是直接在時域中求解系統的零狀態回應,而傅裏葉變換分析法則是在頻域中求解系統的零狀態回應的傅裏葉變換後，再反變換到時域中去。這兩種分析方法可以通過傅裏葉變換的時域卷積定理聯繫起來。系統函數表徵了系統的頻域特性，是頻域分析的關鍵，如上所述，系統函數有下列幾種求解的方法：

1．當已知系統微分方程時，可以對微分方程兩邊取其傅裏葉變換，按照式(3.8-3)直接求取；

2．當已知系統的沖激回應時，可以對其求傅裏葉變換來求取；

3．可假設時的零狀態回應與的比來求取；

4．當已知具體電路的情況下，系統函數可以由電路的零狀態回應頻域等效電路模型來求取。而無需列寫電路的微分方程。

3.8.3傅裏葉變換分析法舉例這裏我們先討論系統的非週期信號的回應，然後討論系統的正弦信號穩態回應，最後討論系統的一般週期信號的回應。系統的正弦信號穩態回應：為

3.9信號的無失真傳輸和理想濾波器由於表示信號的時間函數與其在頻域中頻域函數相互存在著一一對應關係。系統對於給定激勵的回應問題，從信號分析的角度來看，就是對激勵信號的頻譜進行加工和改造，結果使回應信號的波形有別於激勵信號。

3.9.1無失真傳輸條件信號通過系統後，有時不希望產生失真，例如通信系統中對信號的放大或衰減；有時希望產生預定的失真，例如脈衝技術中的整形電路。下麵討論系統對信號無失真傳輸時，應該具有怎樣的時域和頻域特性。從時域來看，無失真傳輸的條件是指回應與激勵的相比只有幅度大小和出現時間先後的不同，而波形沒有變化。如果激勵信號為x(t)，無失真傳輸的回應為y(t)，應滿足(3.9-1)式中，k

是一個與時間t

無關的常數，是信號通過系統後的延遲時間。如果不滿足式(3.9-1)就稱為有失真傳輸。下麵從頻域來看，若對式(3.9-1)兩邊取傅裏葉變換，根據時移性質，可得

(3.9-2)由上式可知，信號傳輸無失真，系統的頻率回應函數應為

(3.9-3a)系統幅度頻譜和相位頻譜分別為

(3.9-3b)式(3.9-3)就是為使信號無失真傳輸對系統頻率回應函數提出的要求：（1）在全部頻率範圍內，系統的幅頻特性應為一常數，即系統的通頻帶應為無窮大；（2）系統相頻特性應為通過原點的直線，即應與成正比。系統無失真傳輸的頻域特性如圖3.9-2所示。k信號的無失真傳輸條件

式(3.9-3)是系統無失真傳輸的條件，根據信號與傳輸系統的具體情況或要求，以上條件可以適當放寬，如在傳輸有限帶寬信號時，只要在信號所佔有的頻帶範圍內，系統的幅度、相位特性滿足式(3.9-3b)條件就可以了。對於線性系統來說，工程上其幅頻特性和相位特性都可能不滿足式(3.9-3)的條件，或者說，幅度和相位都可能產生失真或崎變。而且幅度失真和相位失真起著相互不可替代的作用。在不同的應用場合，對幅度失真和相位失真的要求不盡相同。由於人耳對相位失真敏感度較差，因而在語言傳輸的場合，人們主要關注的是幅度失真。它會明顯影響語音傳輸的音質、音調和保真度，而相位失真在很大程度上不會影響語音的可懂性。當然，如果相位失真過大也是不允許的。例如將一句話表示為x(t)，則x(-t)為一句話倒過來講，兩者的差別僅在於相位相差，但此時人們無法聽懂這句話了。而對於圖象傳輸的情況，由於人眼的視覺特性對相位失真十分敏感，它會嚴重影響圖象的輪廓和對比度，因此人們主要關注的是相位失真。最後指出，對於一個系統，如果輸出信號中出現了輸入信號所沒有的新的頻率分量，通常將系統這樣的失真稱為非線性失真。當然，線上性系統中不會出現非線性失真，上述幅度失真和相位失真統稱為線性失真。3.9.2理想濾波器前面已經指出，為使信號在傳輸過程中儘量不產生失真，要求系統的頻率特性在信號的帶寬範圍內滿足不失真傳輸的條件，而理想濾波器是能滿足這種要求的系統，因此它在系統分析中得到廣泛應用。理想低通濾波器1

理想低通濾波器的頻率特性

由於理想低通濾波器的通頻帶不為無窮大，而是有限值，故這一系統又稱為帶限系統，顯然信號通過這種帶限系統時，還會產生失真，失真的大小一方面取決於帶限系統的頻帶寬度，另一方面取決於信號的頻帶寬度。下麵以理想低通濾波器為例，討論該系統的單位沖激回應。設，則其頻譜,理想低通濾波器的回應的頻譜，得單位沖激回應為

定義：上升時間，為可見，系統失真了。再討論其階躍回應：

3.9.3物理可實現系統對系統函數的要求從時域來討論：從頻域來討論：必須滿足佩利－維納準則：

3.10

希爾伯特變換希爾伯特（Hilbert）變換揭示了由傅裏葉變換聯繫的時域和頻域之間的一種等價互換關係，它與傅裏葉變換的對稱性有緊密的聯繫。希爾伯特變換所得到的概念和方法在信號與系統以及信號處理的理論和實踐中有著重要的意義和實用價值。

3.10.1希爾伯特變換的定義為了引出希爾伯特變換，首先考察因果系統的特性。由3.9節討論可知，佩利－維納準則只對系統的幅度頻譜提出了約束條件，它只是系統物理可實現的必要條件，為此，還必須尋求對系統相位特性的約束條件。系統可實現性的實質是系統必須具有因果性。由於因果性的制約，系統函數的實部與虛部或模與相位之間會有某種相互制約的特性，這種特性以希爾伯特變換的形式表現出來。式(3.10-3a)和(3.10-3b)稱為希爾伯特變換對。由於這一對變換都是頻率的函數，所以又稱為頻域希爾伯特變換。它表明一個具有因果性的系統函數所具有的特性。換言之，因果系統的實部和虛部相互是不獨立的，即實部可以由虛部唯一地確定，反之亦然。因此，因果系統的系統函數可以僅由其實部或虛部唯一地表示，即或3.10.2

解析信號的希爾伯特變換表示法由傅裏葉變換可知，即時間信號可以分解為偶分量和奇分量，其傅裏葉變換在頻域中表現為複值函數，但其實部和虛部，或者模和相位分別是頻域的實偶函數和實奇函數，這種特性稱之為實信號在時域中表現為奇偶對稱性，對應地其頻譜在頻域中表現為（複）共軛對稱性。由上一小節的討論，當即時間信號是因果函數時，不僅滿足上述時域奇偶對稱性及其頻域共軛對稱性，而且其頻譜的實部和虛部，還可以用希爾伯特變換來聯繫，或者說，頻譜的實部和虛部只有一個是獨立的。根據傅裏葉變換時域和頻域之間的對稱特性可以想像，上述時域和頻域的這些特性可以有對等互換的關係，即若頻譜是實因果函數，那麼，其時域表達一定是複值函數，其時域複值函數的實部和虛部必然是共軛對稱的，而且還必然滿足希爾伯特變換。

3.10.3

希爾伯特變換的基本性質常見性質都可以用希爾伯特變換的定義和變數代換的方法加以證明。

3.11

取樣定理

前面主要討論的是連續時間信號，除此之外，還有離散時間信號，離散時間信號可以從每隔一定時間對連續時間信號進行取樣（也稱抽樣）來獲得。取樣定理（也稱抽樣定理）論述在一定條件下連續時間信號完全可以用該信號在等時間間隔上的暫態值（樣本值）來表示。這些樣本值包含了該連續信號的全部資訊，利用這些樣本值可以沒有失真地恢復原信號。取樣定理為連續時間信號與離散時間信號相互轉換提供了理論依據。

3.11.1

時域取樣所謂“取樣”就是利用取樣脈衝序列s(t),從連續信號f(t)中“抽取”一系列離散樣本值的過程，這時所得到的離散信號稱為取樣信號。

不難看出，在數學上斬波實質上是連續信號

f(t)與取樣脈衝序列s(t)作相乘運算。取樣信號fS(t)可寫成其頻譜分別為和3.11.2

自然取樣取樣脈衝序列s(t)的頻譜取樣信號fS(t)的頻譜

3.11.3

理想取樣取樣信號

fS(t)的頻譜

3.11.4

時域取樣定理時域抽樣定理可見，抽樣定理必須滿足兩個條件：一個在頻譜區間()以外為零的頻帶有限信號(帶限信號)，可以唯一地由其均勻時間間隔