新疆石河子二中2024届数学高二第二学期期末学业质量监测模拟试题含解析

新疆石河子二中2024届数学高二第二学期期末学业质量监测模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图是某手机商城2018年华为、苹果、三星三种品牌的手机各季度销量的百分比堆积图（如：第三季度华为销量约占50%，苹果销量约占20%，三星销量约占30%）．根据该图，以下结论中一定正确的是（）A．华为的全年销量最大 B．苹果第二季度的销量大于第三季度的销量C．华为销量最大的是第四季度 D．三星销量最小的是第四季度2．已知曲线与直线围成的图形的面积为，则（）A．1 B． C． D．3．已知函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是A． B．C． D．4．设，且，则的最小值为（）A． B．9 C．10 D．05．已知是虚数单位，则在复平面内对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．若变量，满足约束条件，则的取值范围是（）A． B．C． D．7．如图是某陀螺模型的三视图，则该陀螺模型的体积为（）A． B．C． D．8．将曲线按照伸缩变换后得到的曲线方程为（）A． B．C． D．9．若数列满足（，为常数），则称数列为调和数列.已知数列为调和数列，且，则（）A．10 B．20 C．30 D．4010．如图：在直棱柱中，，，分别是A1B1,BC,CC1的中点，则直线PQ与AM所成的角是（）A． B． C． D．11．已知函数的图象向左平移个单位长度，横坐标伸长为原来的2倍得函数的图象，则在下列区间上为单调递减的区间是（）A． B． C． D．12．己知命题P：单位向量的方向均相同，命题q：实数a的平方为负数。则下列说法正确的是A．是真命题 B．是真命题 C．是假命题 D．是假命题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知为抛物线的焦点，点、在抛物线上位于轴的两侧，且（其中为坐标原点），若的面积是，的面积是，则的最小值是______.14．在数列中，，且．（1）求，，的值；（2）猜想数列的通项公式的表达式，并用数学归纳法证明你的猜想.15．已知函数，，若存在两切点，，，使得直线与函数和的图象均相切，则实数的取值范围是_________.16．已知直线的一个法向量，则直线的倾斜角是_________（结果用反三角函数表示）；三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设函数，．(1)解不等式；(2)设函数，且在上恒成立，求实数的取值范围.18．（12分）已知复数，求下列各式的值：(Ⅰ)(Ⅱ)19．（12分）已知z是复数，z+2i与z2-i（1）求复数z；（2）复数z+ai2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a20．（12分）已知函数在处的切线的斜率为1．(1)求的值及的最大值；(2)用数学归纳法证明：21．（12分）某市大力推广纯电动汽车，对购买用户依照车辆出厂续驶里程的行业标准，予以地方财政补贴.其补贴标准如下表:2017年底随机调査该市1000辆纯电动汽车，统计其出厂续驶里程，得到频率分布直方图如图所示.用样本估计总体，频率估计概率，解决如下问题：（1）求该市纯电动汽车2017年地方财政补贴的均值；（2）某企业统计2017年其充电站100天中各天充电车辆数，得如下的频数分布表：（同一组数据用该区间的中点值作代表）2018年2月，国家出台政策，将纯电动汽车财政补贴逐步转移到充电基础设施建设上来.该企业拟将转移补贴资金用于添置新型充电设备.现有直流、交流两种充电桩可供购置.直流充电桩5万元/台，每台每天最多可以充电30辆车，每天维护费用500元/台；交流充电桩1万元/台，每台每天最多可以充电4辆车，每天维护费用80元/台.该企业现有两种购置方案：方案一:购买100台直流充电桩和900台交流充电桩；方案二:购买200台直流充电桩和400台交流充电桩.假设车辆充电时优先使用新设备，且充电一辆车产生25元的收入，用2017年的统计数据，分别估计该企业在两种方案下新设备产生的日利润.（日利润日收入日维护费用）22．（10分）已知，使不等式成立.（1）求满足条件的实数t的集合T；（2），使不等式成立，求的最大值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

根据图象即可看出，华为在每个季度的销量都最大，从而得出华为的全年销量最大，从而得出正确；由于不知每个季度的销量多少，从而苹果、华为和三星在哪个季度的销量大或小是没法判断的，从而得出选项，，都错误．【题目详解】根据图象可看出，华为在每个季度的销量都最大，所以华为的全年销量最大；每个季度的销量不知道，根据每个季度的百分比是不能比较苹果在第二季度和第三季度销量多少的，同样不能判断华为在哪个季度销量最大，三星在哪个季度销量最小；，，都错误，故选．【题目点拨】本题主要考查对销量百分比堆积图的理解．2、D【解题分析】分析：首先求得交点坐标，然后结合微积分基本定理整理计算即可求得最终结果.详解：联立方程：可得：，，即交点坐标为，，当时，由定积分的几何意义可知围成的图形的面积为：，整理可得：，则，同理，当时计算可得：.本题选择D选项.点睛：(1)一定要注意重视定积分性质在求值中的应用；(2)区别定积分与曲边梯形面积间的关系，定积分可正、可负、也可以为0，是曲边梯形面积的代数和，但曲边梯形面积非负.3、D【解题分析】

根据题目条件，构造函数，求出的导数，利用“任意的满足”得出的单调性，即可得出答案。【题目详解】由题意知，构造函数，则。当时，当时，恒成立在单调递增，则，化简得，无法判断A选项是否成立；，化简得，故B选项不成立；，化简得，故C选项不成立；，化简得，故D选项成立；综上所述，故选D。【题目点拨】本题主要考查了构造函数法证明不等式，常利用导数研究函数的单调性，再由单调性证明不等式，是函数、导数、不等式综合中的一个难点。4、B【解题分析】

利用柯西不等式得出最小值．【题目详解】（x2）（y2）≥（x）2＝1．当且仅当xy即xy=时取等号．故选：B．【题目点拨】本题考查了柯西不等式的应用，熟记不等式准确计算是关键，属于基础题．5、A【解题分析】

分子分母同时乘以，化简整理，得出，再判断象限．【题目详解】，在复平面内对应的点为（），所以位于第一象限．故选A．【题目点拨】本题考查复数的基本运算及复数的几何意义，属于基础题.6、B【解题分析】分析：根据题意，将化简成斜率的表达形式；所以就是求可行域内与连线斜率的取值范围加1,。详解：，原式表示可行域内的点与连线的斜率加1。由不等式组成的可行域可表示为：由图可知，斜率最小值为斜率最大值为所以斜率的取值范围为所以所以选B点睛：本题考查了斜率的定义，线性规划的简单应用。关键是掌握非线性目标函数为分式型时的求法，属于中档题。7、C【解题分析】

几何体上部分为圆柱，下部分为圆锥，代入体积公式计算即可.【题目详解】解：几何体上部分为圆柱，下部分为圆锥，

其中圆柱的底面半径为1，高为2，圆锥的底面半径为1，高为1，所以几何体的体积.

故选：C.【题目点拨】本题考查了常见几何体的三视图与体积的计算，属于基础题.8、B【解题分析】

根据伸缩变换的关系表示已知函数的坐标，代入已知函数的表示式得解.【题目详解】由伸缩变换，得，代入，得，即．选B【题目点拨】本题考查函数图像的伸缩变换，属于基础题.9、B【解题分析】分析：由题意可知数列是等差数列，由等差数列的性质得，得详解：数列为调和数列为等差数列，由等差数列的求和公式得，由等差数列的性质故选B点睛：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，通过合理的转化建立起已知条件和考点之间的联系是解题关键.10、D【解题分析】

建立空间直角坐标系，结合直线的方向向量确定异面直线所成的角即可.【题目详解】以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，据此可得：，，故，即直线PQ与AM所成的角是.本题选择D选项.【题目点拨】本题主要考查空间向量的应用，异面直线所成的角的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11、A【解题分析】

先利用辅助角公式将函数化为的形式，再写出变换后的函数,最后写出其单调递减区间即可．【题目详解】的图象向左平移个单位长度，横坐标伸长为原来的2倍变换后，在区间上单调递减故选A【题目点拨】本题考查三角函数变换，及其单调区间．属于中档题．12、D【解题分析】

先判断命题P，命题q均为假.再逐项判断每个选项的正误.【题目详解】命题P：单位向量的方向可以是任意的，假命题命题q：实数a的平方为非负数，假命题为假命题，A错误为假命题，B错误是真命题，C错误是假命题，D正确故答案选D【题目点拨】本题考查了命题的判断，正确判断命题的正误是解决此类题型的关键.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

设点、，并设，则，利用，可得出，并设直线的方程为，将此直线与抛物线的方程联立，利用韦达定理可求出的值，可得出直线过定点，再利用三角形的面积公式以及基本不等式可求出的最小值.【题目详解】设点、，并设，则，，则，易知，得，.设直线的方程为，代入抛物线的方程得，则，得，所以直线的方程为，直线过轴上的定点，，当且仅当时，等式成立，因此，的最小值为，故答案为.【题目点拨】本题考查直线与抛物线的综合问题，常规思路就是设出直线方程，将其与抛物线的方程联立，利用韦达定理求解，另外在求最值时，充分利用基本不等式进行求解，难点在于计算量较大，属于难题.14、（1），，（2）（）．证明见解析【解题分析】

（1）利用递推式直接求：（2）猜想数列{an}的通项公式为（）用数学归纳法证明即可．【题目详解】解：（1）∵，且，∴，，．（2）猜想数列的通项公式为（）．用数学归纳法证明如下：①当时，左边，右边，因此，左边=右边．所以，当时，猜想成立．②假设（，）时，猜想成立，即，那么时，.所以，当时，猜想成立．根据①和②，可知猜想成立．【题目点拨】本题考查了数列中的归纳法思想及证明基本步骤，属于基础题．15、【解题分析】

利用导数求得点处的切线方程，联立方程组，根据判别式，令，得，构造新函数，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解．【题目详解】由题意，点在函数的图象上，令，则点，又由，则，所以切线方程为，即，联立方程组，整理得，则，令，整理得，且，构造函数，则，，可得当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以，即在上恒成立，所以函数在单调递减，又由，所以，解得．【题目点拨】本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性与，以及函数单调性，求解参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用．16、【解题分析】

由法向量与方向向量垂直，求出方向向量，得直线的斜率，从而得倾斜角。【题目详解】直线的一个法向量，则直线的一个方向向量为，其斜率为，∴倾斜角为。故答案为：。【题目点拨】本题考查求直线的倾斜角，由方向向量与法向量的垂直关系可求得直线斜率，从而求得倾斜角，注意倾斜角范围是，而反正切函数值域是。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解题分析】试题分析：本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式及不等式证明以及解法等内容.(1)利用数轴分段法求解；（2）借助数形结合思想，画出两个函数的图像，通过图像的上下位置的比较，探求在上恒成立时实数的取值范围.试题解析：(1)由条件知，由，解得.(5分)(2)由得，由函数的图像可知的取值范围是.(10分)考点：（1）绝对值不等式；（2）不等式证明以及解法；（3）函数的图像.18、(1);(2).【解题分析】

由复数的平方，复数的除法，复数的乘法运算求得下面各式值．【题目详解】(Ⅰ)因为=所以；(Ⅱ)=.【题目点拨】复数代数形式的四则运算设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.z1±z2＝(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.19、（Ⅰ）z=4-2i．（Ⅱ）2＜a＜6【解题分析】第一问设z=x+yi所以，z+2i=x+(y+2)i；由条件得，y+2=0且x+2y=0第二问(z+ai)由条件得：12+4a-解：（1）设z=x+yi所以，z+2i=x+(y+2)i；---------------1分z2-i由条件得，y+2=0且x+2y=0，---------------6分所以x=4, (2)(z+ai)2由条件得：12+4a-a解得2<a<6所以，所求实数a的取值范围是(2,6)-------------------14分20、（1）；（2）见证明【解题分析】

（1）求出函数的导函数，利用即可求出的值，再利用导函数判断函数的增减性，于是求得最大值；（2）①当，不等式成立；②假设当时，不等式成立；验证时，不等式成立即可.【题目详解】解：（1）函数的定义域为．求导数，得．由已知，得，即，∴．此时，，当时，；当时，．∴当时，取得极大值，该极大值即为最大值，∴；（2）用数学归纳法证明：①当时，左边，右边，∴左边＞右边，不等式成立．②假设当时，不等式成立，即．那么，由（1），知（，且）．令，则，∴，∴．即当时，不等式也成立．根据①②，可知不等式对任意都成立．【题目点拨】本题主要考查导数的几何意义，利用导函数求函数的最值，数学归纳法证明不等式，意在考查学生的计算能力，分析能力，逻辑推理能力，难度较大.21、（1）3