福建省南安市国光中学2024届数学高二第二学期期末监测试题含解析

福建省南安市国光中学2024届数学高二第二学期期末监测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本．已知3号、29号、42号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号是()A．10 B．11 C．12 D．162．若的展开式中各项的二项式系数之和为512，且第6项的系数最大，则a的取值范围为（）A． B．C． D．3．是第四象限角，,，则（）A． B． C． D．4．已知集合，，若，则等于（）A．1 B．2 C．3 D．45．设a,b,c为三角形ABC三边长，a≠1,b<c，若logc+ba+logc-bA．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定6．等比数列的各项均为正数，且，则（）A．12 B．10C．9 D．7．若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围是(

)A． B． C． D．8．设随机变量ξ~B(2,p), η~B(4,p)，若P(ξ≥1)=5A．1127 B．3281 C．659．若数列满足（，为常数），则称数列为调和数列.已知数列为调和数列，且，则（）A．10 B．20 C．30 D．4010．为自然对数的底数，已知函数，则函数有唯一零点的充要条件是（）A．或或 B．或C．或 D．或11．阅读下面的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为24，则输出的值为（）A．0 B．1 C．2 D．312．已知等差数列的等差，且成等比数列，若，为数列的前项和，则的最小值为（）A．3 B．4 C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图所示的流程图中，输出的结果S为________.14．已知函数是上奇函数，且当时，则__________．15．已知四边形为矩形,,为的中点,将沿折起,得到四棱锥,设的中点为,在翻折过程中,得到如下有三个命题:①平面，且的长度为定值；②三棱锥的最大体积为；③在翻折过程中，存在某个位置，使得.其中正确命题的序号为__________．（写出所有正确结论的序号）16．已知函数，则____________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在三棱锥中，底面，且，，，、分别是、的中点.(1)求证：平面平面；(2)求二面角的平面角的大小.18．（12分）已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）求证:.19．（12分）已知函数.(1)判断的奇偶性并证明你的结论;(2)解不等式20．（12分）已知二次函数满足，且.（1）求的解析式；（2）设函数，当时，求的最小值；（3）设函数，若对任意，总存在，使得成立，求m的取值范围.21．（12分）已知，，分别为三个内角,,的对边，.(Ⅰ)求；(Ⅱ)若=2，的面积为，求，.22．（10分）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且.（1）求角的大小；（2）若，，求的面积.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

由题计算出抽样的间距为13，由此得解．【题目详解】由题可得，系统抽样的间距为13，则在样本中．故选D【题目点拨】本题主要考查了系统抽样知识，属于基础题．2、C【解题分析】

计算，计算，，，根据系数的大小关系得到，解得答案.【题目详解】，，，，，第6项的系数最大，，则.故选：.【题目点拨】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.3、D【解题分析】

根据同角三角函数基本关系，得到，求解，再根据题意，即可得出结果.【题目详解】因为，由同角三角函数基本关系可得：，解得：，又是第四象限角，所以.故选：D.【题目点拨】本题主要考查已知正切求正弦，熟记同角三角函数基本关系即可，属于常考题型.4、D【解题分析】

由已知可得，则.【题目详解】由，得或又由，得，则，即故选：D【题目点拨】本题考查了集合的并集运算，属于基础题.5、B【解题分析】试题分析：两边除以logc+balogc-ba考点：1.解三角形；2.对数运算.6、C【解题分析】

先利用等比中项的性质计算出的值，再利用对数的运算性质以及等比中项的性质得出结果．【题目详解】由等比中项的性质可得，等比数列的各项均为正数，则，由对数的运算性质得，故选C.【题目点拨】本题考查等比中项和对数运算性质的应用，解题时充分利用这些运算性质，可简化计算，考查计算能力，属于中等题．7、B【解题分析】

求出函数的导数，问题转化为a＞-，而g（x）=﹣在（，2）递增，求出g（x）的最小值，从而求出a的范围即可．【题目详解】f′（x）=+2ax，若f（x）在区间（，2）内存在单调递增区间，则f′（x）＞0在x∈（，2）有解，故a＞-，而g（x）=﹣在（，2）递增，g（x）＞g（）=﹣2，故a＞﹣2，故选：B．【题目点拨】本题考查函数的导数的应用，函数有解以及函数的最值的求法，可以用变量分离的方法求参数的范围，也考查转化思想以及计算能力．8、A【解题分析】

利用二项分布概率计算公式结合条件Pξ≥1=59计算出【题目详解】由于ξ~B2,p，则Pξ≥1=1-P所以，η~B4,1=1127【题目点拨】本题考查二项分布概率的计算，解题的关键在于找出基本事件以及灵活利用二项分布概率公式，考查计算能力，属于中等题。9、B【解题分析】分析：由题意可知数列是等差数列，由等差数列的性质得，得详解：数列为调和数列为等差数列，由等差数列的求和公式得，由等差数列的性质故选B点睛：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，通过合理的转化建立起已知条件和考点之间的联系是解题关键.10、A【解题分析】

作出函数的图像如图所示，其中，则，设直线与曲线相切，则，即，设，则，当时，，分析可知，当时，函数有极大值也是最大值，，所以当时，有唯一解，此时直线与曲线相切．分析图形可知，当或或时，函数的图像与函数的图像只有一个交点，即函数有唯一零点．故选.【题目点拨】本小题主要考查分段函数的图象与性质，考查函数零点问题的处理方法，考查利用导数求相切时斜率的方法，考查数形结合的数学思想方法.首先画出函数的图象，分段函数的图象注意分界点的位置是实心的函数空心的.然后将函数的零点问题转化为两个函数图象的交点来解决.11、C【解题分析】

根据给定的程序框图，逐次循环计算，即可求解，得到答案．【题目详解】由题意，第一循环：，能被3整除，不成立，第二循环：，不能被3整除，不成立，第三循环：，不能被3整除，成立，终止循环，输出，故选C．【题目点拨】本题主要考查了程序框图的识别与应用，其中解答中根据条件进行模拟循环计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．12、B【解题分析】

由题意得（1+2d）2＝1+12d，求出公差d的值，得到数列{an}的通项公式，前n项和，从而可得，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值．【题目详解】∵a1＝1，a1、a3、a13成等比数列，∴（1+2d）2＝1+12d．得d＝2或d＝0（舍去），∴an＝2n﹣1，∴Snn2，∴．令t＝n+1，则t2≥6﹣2＝1当且仅当t＝3，即n＝2时，∴的最小值为1．故选：B．【题目点拨】本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、25【解题分析】

按照程序框图的流程，写出每次循环后得到的结果，并判断每个结果是否满足判断框的条件，直到不满足条件，输出即可.【题目详解】经过第一次循环，；经过第二次循环，；经过第三次循环，；经过第四次循环，；经过第五次循环，；此时已不满足条件，输出.于是答案为25.【题目点拨】本题主要考查循环结构程序框图的输出结果，难度不大.14、【解题分析】分析：先求，再根据奇函数得.详解：因为，因为函数是上奇函数，所以点睛：已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的值或解析式.15、①②【解题分析】

取的中点，连接、，证明四边形为平行四边形，得出，可判断出命题①的正误；由为的中点，可知三棱锥的体积为三棱锥的一半，并由平面平面，得出三棱锥体积的最大值，可判断出命题②的正误；取的中点，连接，由，结合得出平面，推出得出矛盾，可判断出命题③的正误.【题目详解】如下图所示：对于命题①，取的中点，连接、，则，，，由勾股定理得，易知，且，、分别为、的中点，所以，，四边形为平行四边形，，，平面，平面，平面，命题①正确；对于命题②，由为的中点，可知三棱锥的体积为三棱锥的一半，当平面平面时，三棱锥体积取最大值，取的中点，则，且，平面平面，平面平面，，平面，平面，的面积为，所以，三棱锥的体积的最大值为，则三棱锥的体积的最大值为，命题②正确；对于命题③，，为的中点，所以，，若，且，平面，由于平面，，事实上，易得，，，由勾股定理可得，这与矛盾，命题③错误.故答案为①②.【题目点拨】本题考查直线与平面平行、锥体体积的计算以及异面直线垂直的判定，判断这些命题时根据相关的判定定理以及性质定理，在计算三棱锥体积时，需要找到合适的底面与高来计算，考查空间想象能力，考查逻辑推理能力，属于难题.16、【解题分析】

求导，代入数据得到答案.【题目详解】故答案为：【题目点拨】本题考查了导数的计算，意在考查学生的计算能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）证明过程详见解析；（Ⅱ）．【解题分析】

（Ⅰ）已知SB、AB、BC两两互相垂直，故可建立空间直角坐标系如下图．根据线段长度可求出相应点的坐标，从而可推出，则，所以平面平面BCD．（Ⅱ）求出两个平面的法向量，利用法向量夹角与二面角平面角的关系求出平面角的大小．【题目详解】（Ⅰ）．又因，所以建立如上图所示的坐标系．所以A（2，0，0），，，D（1，0，1），，S（0，0，2）易得，，，又，又又因，所以平面平面BCD．（Ⅱ）又设平面BDE的法向量为，则,即所以又因平面SBD的法向量为所以由图可得二面角为锐角，所以二面角的平面角的大小为．考点：平面与平面的垂直的证明‚二面角大小的求法．18、（1）在，上单调递增，在上单调递减；（2）证明见解析.【解题分析】

(1)先对求导，通过导函数与0的大小比较即可得到单调区间.(2),从而利用（1）中相关结论求出的极值点证明不等式.【题目详解】（1），．，函数在，上单调递增，在上单调递减．（2）证明：．由（1）知在，上单调递增，在上单调递减，且时，，且时，，在时取得最小值，即，故.【题目点拨】本题主要考查利用导函数求解函数增减区间，利用导函数证明不等式，意在考查学生的分析能力，转化能力及逻辑推理能力，难度中等.19、(1)为奇函数；证明见解析；(2)【解题分析】

（1）求出函数定义域关于原点对称，再求得，从而得到原函数为奇函数；（2）利用对数式与指数式的互化，得到分式不等式，求得.【题目详解】（1）根据题意为奇函数；证明：，所以定义域为，关于原点对称．任取，则．则有，为奇函数．（2）由（1）知，，即，，即，∴或．又由，则有，综上不等式解集为．【题目点拨】本题以对数函数、分式函数复合的复合函数为背景，考查奇偶性和解不等式，求解时注意对数式与指数式互化.20、（1）；（2）；（3）【解题分析】

(1)根据二次函数,则可设,再根据题中所给的条件列出对应的等式对比得出所求的系数即可.(2)根据(1)中所求的求得,再分析对称轴与区间的位置关系进行分类讨论求解的最小值即可.(3)根据题意可知需求与在区间上的最小值.再根据对数函数与二次函数的单调性求解最小值即可.【题目详解】(1)设.①∵,∴,又∵,∴,可得,∴解得即.(2)由题意知,,,对称轴为.①当,即时,函数h(x)在上单调递增,即；②当,即时,函数h(x)在上单调递减,在上单调递增,即.综上,(3)由题意可知,∵函数在上单调递增,故最小值为,函数在上单调递减,故最小值为,∴,解得.【题