2024届福建省平和一中、南靖一中等五校数学高二第二学期期末监测模拟试题含解析

2024届福建省平和一中、南靖一中等五校数学高二第二学期期末监测模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知是双曲线：上的一点，，是的两个焦点，若，则的取值范围是（）A． B． C． D．2．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个大于，反证假设正确的是()A．假设三内角都大于 B．假设三内角都不大于C．假设三内角至多有一个大于 D．假设三内角至多有两个大于3．.若直线是曲线的一条切线，则实数的值为（）A． B． C． D．4．若随机变量的数学期望，则的值是()A． B． C． D．5．已知正项等差数列满足：，等比数列满足：，则（）A．-1或2 B．0或2 C．2 D．16．设，命题“若，则方程有实根”的逆否命题是A．若方程有实根，则 B．若方程有实根，则C．若方程没有实根，则 D．若方程没有实根，则7．已知O为坐标原点,抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A,B两点,则的值是A． B． C．3 D．38．若角是第四象限角，满足，则（）A． B． C． D．9．某家具厂的原材料费支出与销售量（单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出与的线性回归方程为，则为x24568y2535605575A．5 B．10 C．12 D．2010．已知数列满足（，且是递减数列，是递增数列，则A．B．C．D．11．已知（ax）5的展开式中含x项的系数为﹣80，则（ax﹣y）5的展开式中各项系数的绝对值之和为（）A．32 B．64 C．81 D．24312．已知随机变量的分布列为（）01若，则的值为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．矩阵的逆矩阵为__________.14．已知双曲线，的焦点分别在轴，轴上，渐近线方程为，离心率分别为，．则的最小值为___________．15．已知点M抛物线上的一点，F为抛物线的焦点，点A在圆上，则的最小值________．16．若某圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则这个圆锥的侧面积是__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数，.（Ⅰ）当时，求的单调区间与极值；（Ⅱ）当时，若函数在上有唯一零点，求的值18．（12分）在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为.以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，曲线C的参数方程为（m为参数）.（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（2）已知点，直线l和曲线C相交于，两点，求.19．（12分）已知函数．（1）若曲线在点处的切线方程为，求的值；（2）已知当时恒成立，求的最大值．20．（12分）在极标坐系中，已知圆的圆心，半径（1）求圆的极坐标方程；（2）若，直线的参数方程为（t为参数），直线交圆于两点，求弦长的取值范围.21．（12分）已知函数.（1）证明：；（2）若对任意的均成立，求实数的最小值.22．（10分）已知点，经矩阵对应的变换作用下，变为点.（1）求的值；（2）直线在对应的变换作用下变为直线，求直线的方程.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】由题知，，所以==，解得，故选A.考点：双曲线的标准方程；向量数量积坐标表示；一元二次不等式解法.2、B【解题分析】

反证法的第一步是假设命题的结论不成立，根据这个原则，选出正确的答案.【题目详解】假设命题的结论不成立，即假设三角形的内角中至少有一个大于不成立，即假设三内角都不大于，故本题选B.【题目点拨】本题考查了反证法的第一步的假设过程，理解至少有一个大于的否定是都不大于是解题的关键.3、A【解题分析】

设切点，根据导数的几何意义，在切点处的导数是切点处切线的斜率，求.【题目详解】设切点，，解得.故选A.【题目点拨】本题考查了已知切线方程求参数的问题，属于简单题型，这类问题的关键是设切点，利用切点既在切线又在曲线上，以及利用导数的几何意义共同求参数.4、C【解题分析】分析：由题意结合二项分布数学期望的计算公式求解实数p的值即可.详解：随机变量则的数学期望，据此可知：，解得：.本题选择C选项.点睛：本题主要考查二项分布的数学期望公式及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5、C【解题分析】分析：根据数列的递推关系，结合等差和等比数列的定义和性质求出数列的通项公式即可得到结论．详解：由，得，

∵是正项等差数列，

∴

，∵是等比数列，则，即

故选：D．点睛：本题主要考查对数的基本运算，根据等差数列和等比数列的性质，求出数列的通项公式是解决本题的关键．6、D【解题分析】

根据已知中的原命题，结合逆否命题的定义，可得答案．【题目详解】命题“若，则方程有实根”的逆否命题是命题“若方程没有实根，则”，故选：D．【题目点拨】本题考查的知识点是四种命题，难度不大，属于基础题．7、B【解题分析】抛物线的焦点为,当直线l与x轴垂直时，,所以8、B【解题分析】

由题意利用任意角同角三角函数的基本关系，求得的值．【题目详解】解：∴角满足，平方可得1+sin2，∴sin2，故选B．【题目点拨】本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．9、B【解题分析】分析：先求样本中心，代入方程求解即可。详解：，，代入方程，解得，故选B点睛：回归直线方程必过样本中心。10、D【解题分析】试题分析：由可得：，又是递减数列，是递增数列，所以，即，由不等式的性质可得：，又因为，即，所以，即，同理可得：；当数列的项数为偶数时，令，可得：，将这个式子相加得：，所以，则，所以选D．考点：1．裂项相消法求和；2．等比数列求和；11、D【解题分析】

由题意利用二项展开式的通项公式求出的值，可得即

，本题即求的展开式中各项系数的和，令，可得的展开式中各项系数的和．【题目详解】的展开式的通项公式为令，求得，可得展开式中含项的系数为，解得，则所以其展开式中各项系数的绝对值之和，即为的展开式中各项系数的和，令，可得的展开式中各项系数的和为.故选D项.【题目点拨】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题12、A【解题分析】

先由题计算出期望，进而由计算得答案。【题目详解】由题可知随机变量的期望，所以方差，解得，故选A【题目点拨】本题考查随机变量的期望与方差，属于一般题。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

通过逆矩阵的定义构建方程组即可得到答案.【题目详解】由逆矩阵的定义知：,设，由题意可得：，即解得，因此.【题目点拨】本题主要考查逆矩阵的相关计算，难度不大.14、【解题分析】

根据双曲线的渐近线方程和离心率的关系可得，，再利用基本不等式求解即可.【题目详解】解：由渐近线方程为可知，，,，，.第一次取等号的条件为，即，第二次取等号的条件为，即.的最小值为.故答案为：.【题目点拨】本题考查双曲线的方程和基本性质，离心率的求法，基本不等式的应用，属于中档题.15、3【解题分析】

由题得抛物线的准线方程为，过点作于，根据抛物线的定义将问题转化为的最小值，根据点在圆上，判断出当三点共线时，有最小值，进而求得答案.【题目详解】由题得抛物线的准线方程为，过点作于，又，所以，因为点在圆上，且，半径为，故当三点共线时，，所以的最小值为3.故答案为：3【题目点拨】本题主要考查了抛物线的标准方程与定义，与圆有关的最值问题，考查了学生的转化与化归的思想.16、【解题分析】

由轴截面面积求得轴截面边长，从而得圆锥的底面半径和母线长．【题目详解】设轴截面等边三角形边长为，则，，∴．故答案为．【题目点拨】本题考查圆锥的侧面积，掌握侧面积计算公式是解题基础．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）的单调递增区间是，单调递减区间是.极大值是，无极小值.（Ⅱ）1【解题分析】

（Ⅰ）把代入，令，求出极值点，再求出的单调区间，确定函数的极值；（Ⅱ）函数在上有唯一零点，等价于的极小值等于0，列出等式，可求得t.【题目详解】解：（Ⅰ）当时，，则，令，得，∴的单调递增区间是，单调递减区间是.∴的极大值是，无极小值.（Ⅱ）当时，，由，得，∴在上单调递减，在上单调递增，∴的极小值是，∴只要，即，令，则，∴在上单调递增.∵，∴的值是1.【题目点拨】本题主要考查利用导函数求增减区间和极值；以及根据函数零点的个数，确定参数的取值，数形结合方法的应用是解决本题的关键.18、（1），；（2）44【解题分析】分析：（1）首先将直线的极坐标方程展开后，利用极坐标和直角坐标的转化公式，可求得直线的直角坐标方程.利用代入消元法消去可求得曲线的普通方程.（2）利用直线参数的几何意义，借助根与系数关系，可求得的值.详解：（1）由得，即，∴的直角坐标方程，由，得，代入得，即，所以的普通方程：；（2）在上，的参数方程为（为参数），将的参数方程代入得：，即，∴，∴.点睛：本小题主要考查极坐标和直角坐标相互转化，考查参数方程和普通方程互划，考查利用直线参数的几何意义解题.属于基础题.19、（1）；（2）．【解题分析】

求得的导数，可得切线的斜率，由已知切线方程可得a，b的值；

由求导数可得单调性、最值，可知，由题意可得恒成立，即可得到ab的最大值．【题目详解】（1）因为，所以解得．（2）当时，函数的定义域为．当时，；当时，．所以在上为增函数，在上为减函数．所以．由题意，知恒成立，即恒成立．于是在时恒成立．记，则．当时，；当时，．所以在上为增函数，在上为减函数．所以的最大值为．所以当时，取得最大值．【题目点拨】本题考查了导数的几何意义，利用导数求函数单调性、最值，利用导数研究恒成立问题，考查方程思想和转化思想，以及运算能力，属于难题．20、（3）ρ2﹣2ρ（cosθ+sinθ）﹣3=2（2）[2，2）【解题分析】

（3）极坐标化为直角坐标可得C（3，3），则圆C的直角坐标方程为（x﹣3）2+（y﹣3）2=3．化为极坐标方程是ρ2﹣2ρ（cosθ+sinθ）﹣3=2.（2）联立直线的参数方程与圆的直角坐标方程可得t2+2t（cosα+sinα）﹣3=2．结合题意和直线参数的几何意义讨论可得弦长|AB|的取值范围是[2，2）.【题目详解】（3）∵C（，）的直角坐标为（3，3），∴圆C的直角坐标方程为（x﹣3）2+（y﹣3）2=3．化为极坐标方程是ρ2﹣2ρ（cosθ+sinθ）﹣3=2.（2）将代入圆C的直角坐标方程（x﹣3）2+（y﹣3）2=3，得（3+tcosα）2+（3+tsinα）2=3，即t2+2t（cosα+sinα）﹣3=2．∴t3+t2=﹣2（cosα+sinα），t3•t2=﹣3．∴|AB|=|t3﹣t2|==2．∵α∈[2，），∴2α∈[2，），∴2≤|AB|＜2．即弦长|AB|的取值范围是[2，2）.【题目点拨】本题主要考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，直线参数方程的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.21、（1）证明见解析（2）【解题分析】

(1)由可得,再构造函数,分析函数单调性求最值证明即可.(2)根据题意构造函数,再根据的正负分析函数的单调性可知为最大值,进而求得实数的最小值即可.【题目详解】（1）证明：由,得,.设,所以,函数在上单调递增,在单调递减,所以,.又因为（其中）,所以,,所以,成立.（2）解：设,.,,所以,.下面证明当时,成立.,因为,所以,所以.又因为当时,,所以,所以,所以,当时,.故,.所以,的最大值为,所以,的最小值为.【题目点拨】本题主要考查了利用导数证明函数不等式的问题,