2024届上海市浦东新区四校高二数学第二学期期末经典试题含解析

2024届上海市浦东新区四校高二数学第二学期期末经典试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列关于回归分析的说法中，正确结论的个数为（）（1）回归直线必过样本点中；（2）残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精度越高；（3）残差平方和越小的模型，拟合效果越好；（4）用相关指数来刻画回归效果，越大，说明模型的拟合效果越好．A．4 B．3 C．2 D．12．甲、乙、丙三人每人准备在3个旅游景点中各选一处去游玩，则在“至少有1个景点未被选择”的条件下，恰有2个景点未被选择的概率是（）A．17 B．18 C．13．若直线l：过点，当取最小值时直线l的斜率为（）A．2 B． C． D．24．已知向量，，若与垂直，则（）A．-1 B．1 C．土1 D．05．如表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程=0.7x+0.35，那么表中m的值为（）A．4 B．3.15 C．4.5 D．36．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个公共点，且，若椭圆离心率，则双曲线的离心率（）A． B． C．3 D．47．等差数列{an}中，a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为A．1 B．2 C．3 D．48．设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则A． B． C． D．9．已知直线的倾斜角为，直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，且都垂直于轴（其中分别为双曲线的左、右焦点），则该双曲线的离心率为A． B． C． D．10．已知集合，，若，则等于（）A．1 B．2 C．3 D．411．从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为()A．85 B．56C．49 D．2812．已知函数，当时，取得最小值，则等于（）A．-3 B．2 C．3 D．8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若复数满足，则的取值范围是________14．已知函数f(x)=(x+2013)(x+2015)(x+2017)(x+2019)x∈R，则函数f(x)15．观察下列不等式，……照此规律，第五个不等式为16．已双曲线过点，其渐近线方程为，则双曲线的焦距是_________；三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在矩形中，为CD的中点，将沿AE折起到的位置，使得平面平面．（1）证明：平面平面；（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.18．（12分）某种设备随着使用年限的增加，每年的维护费相应增加.现对一批该设备进行调查，得到这批设备自购入使用之日起，前五年平均每台设备每年的维护费用大致如下表：年份(年)12345维护费(万元)1.11.51.82.22.4（Ⅰ）求关于的线性回归方程；（Ⅱ）若该设备的价格是每台5万元，甲认为应该使用满五年换一次设备，而乙则认为应该使用满十年换一次设备，你认为甲和乙谁更有道理？并说明理由.(参考公式：.)19．（12分）已知函数.（Ⅰ）当时，恒成立，试求实数的取值范围；（Ⅱ）若的解集包含，求实数的取值范围.20．（12分）选修4-5：不等式选讲（1）已知，且，证明；（2）已知，且，证明.21．（12分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，证明.22．（10分）约定乒乓球比赛无平局且实行局胜制，甲、乙二人进行乒乓球比赛，甲每局取胜的概率为．（1）试求甲赢得比赛的概率；（2）当时，胜者获得奖金元，在第一局比赛甲获胜后，因特殊原因要终止比赛．试问应当如何分配奖金最恰当？

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

利用回归分析的相关知识逐一判断即可【题目详解】回归直线必过样本点中，故（1）正确残差图中残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精度越高，故（2）错误残差平方和越小的模型，拟合效果越好，故（3）正确用相关指数来刻画回归效果，越大，说明模型的拟合效果越好，故（4）正确所以正确结论的个数为3故选：B【题目点拨】本题考查的是回归分析的相关知识，较简单.2、A【解题分析】

设事件A为：至少有1个景点未被选择，事件B为：恰有2个景点未被选择,计算P(AB)和P(A),再利用条件概率公式得到答案.【题目详解】设事件A为：至少有1个景点未被选择，事件B为：恰有2个景点未被选择P(AB)=P(B故答案选A【题目点拨】本题考查了条件概率，意在考查学生对于条件概率的理解和计算.3、A【解题分析】

将点带入直线可得，利用均值不等式“1”的活用即可求解．【题目详解】因为直线过点，所以，即，所以当且仅当，即时取等号所以斜率，故选A【题目点拨】本题考查均值不等式的应用，考查计算化简的能力，属基础题．4、C【解题分析】分析：首先根据题中所给的向量垂直的条件，得到向量数量积等于零，从而得到，之后利用相应的公式得到所满足的条件，从而求得结果.详解：根据与垂直，可得，即，所以有，解得，故选C.点睛：该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有用向量的数量积等于零来体现向量垂直，再者就是向量的平方和向量模的平方是相等的，最后列出相应的等量关系式求得结果.5、D【解题分析】

因为线性回归方程=0.7x+0.35，过样本点的中心，，故选D.6、B【解题分析】

设，，由椭圆和双曲线的定义，解方程可得，，再由余弦定理，可得，与的关系，结合离心率公式，可得，的关系，计算可得所求值．【题目详解】设，，为第一象限的交点，由椭圆和双曲线的定义可得，，解得，，在三角形中，，可得，即有，可得，即为，由，可得，故选．【题目点拨】本题考查椭圆和双曲线的定义和性质，主要是离心率，考查解三角形的余弦定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．7、B【解题分析】∵a1＋a5＝10，a4＝7，∴2a1＋8、C【解题分析】

本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x，y）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C．【题目详解】则．故选C．【题目点拨】本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题．9、D【解题分析】

根据题意设点，，则，又由直线的倾斜角为，得，结合点在双曲线上，即可求出离心率.【题目详解】直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，且、都垂直于轴，根据双曲线的对称性，设点，，则，即，且，又直线的倾斜角为，直线过坐标原点，，，整理得，即，解方程得，（舍）故选D.【题目点拨】本题考查双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系及双曲线离心率的求法，考查化简整理的运算能力和转化思想，属于中档题.圆锥曲线离心率的计算，常采用两种方法：1、通过已知条件构建关于的齐次方程，解出.根据题设条件（主要用到：方程思想，余弦定理，平面几何相似，直角三角形性质等）借助之间的关系，得到关于的一元方程，从而解得离心率.2、通过已知条件确定圆锥曲线上某点坐标，代入方程中，解出.根据题设条件，借助表示曲线某点坐标，代入曲线方程转化成关于的一元方程，从而解得离心率.10、D【解题分析】

由已知可得，则.【题目详解】由，得或又由，得，则，即故选：D【题目点拨】本题考查了集合的并集运算，属于基础题.11、C【解题分析】试题分析：根据题意：，故选C.考点：排列组合.12、C【解题分析】

配凑成可用基本不等式的形式。计算出最值与取最值时的x值。【题目详解】当且仅当即时取等号，即【题目点拨】在使用均值不等式时需注意“一正二定三相等”缺一不可。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】分析：由复数的几何意义解得点的轨迹为以为端点的线段，表示线段上的点到的距离，根据数形结合思想，结合点到直线距离公式可得结果.详解：因为复数满足，在复平面内设复数对应的点为，则到的距离之和为，所以点的轨迹为以为端点的线段，表示线段上的点到的距离，可得最小距离是与的距离，等于；最大距离是与的距离，等于；即的取值范围是，故答案为.点睛：本题考查复数的模，复数的几何意义，是基础题.复数的模的几何意义是复平面内两点间的距离，所以若，则表示点与点的距离，表示以为圆心，以为半径的圆.14、-16.【解题分析】

根据fx解析式的对称性进行换元，令x=t-2016，得到ft-2016的最小值，由fx【题目详解】令x=t-2016，则f当t2=5故fx的最小值是-16【题目点拨】本题考查利用换元法求函数的最小值，二次函数求最值，属于中档题.15、：【解题分析】

试题分析：照此规律，第个式子为，第五个为．考点：归纳推理．【名师点睛】归纳推理的定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．是由部分到整体、由个别到一般的推理．16、【解题分析】

由渐近线方程设出双曲线方程为，代入已知点的坐标求出，化双曲线方程为标准方程后可得，从而求得。【题目详解】由题意设双曲线方程为，又双曲线过点，∴，∴双曲线方程为，即，，，∴焦距为。故答案为：。【题目点拨】本题考查双曲线的焦距，求双曲线的标准方程。已知双曲线的渐近线方程为，则可设双曲线方程为，代入已知条件求得，即得双曲线方程。而不需考虑焦点所在的轴。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）.【解题分析】

（1）由题可得，即，由平面平面，根据面面垂直的性质可得平面，从而证明平面平面；（2）结合（1），如图建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，由二面角的余弦公式求出余弦值，从而可得到平面与平面所成二面角的正弦值．【题目详解】（1）证明：设，在矩形中，由为的中点，易求得：，所以．所以．又因为平面平面，平面平面，所以平面．又平面，所以平面平面.（2）设，取中点，连接﹐由，得，所以．又平面平面，平面平面，故平面．如图，以为坐标原点，分别以，的方向为轴，轴正方向建立空间直角坐标系，依题意得：.，由（1）知平面，故可取平面的法向量为，设平面的法向量为，则，即不妨取，得，设平面与平面所成二面角为θ，，则，所以平面与平面所成二面角的正弦值为.【题目点拨】本题考查立体几何中面面垂直的证明以及二面角的正弦值的求法，考查利用空间向量解决问题的能力，属于中档题．18、（Ⅰ）;（Ⅱ）见解析.【解题分析】

（Ⅰ）先算出，再由公式分别算，和线性回归方程。（Ⅱ）分别算出五年与十年的每台设备的平均费用，费用越小越好。【题目详解】(1)，所以回归方程为.（Ⅱ）若满五年换一次设备，则由（Ⅰ）知每年每台设备的平均费用为：（万元），若满十年换一次设备，则由（Ⅰ）知每年每台设备的平均费用大概为：（万元），因为，所以甲更有道理．【题目点拨】求线性回归直线方程的步骤（1）用散点图或进行相关性检验判断两个变量是否具有线性相关关系；（2）求系数：公式有两种形式，即。当数据较复杂时，题目一般会给出部分中间结果，观察这些中间结果来确定选用公式的哪种形式求；（3）求：.；（4）写出回归直线方程．19、（Ⅰ）（Ⅱ）【解题分析】

（Ⅰ）转化条件得，根据恒成立问题的解决方法即可得解；（Ⅱ）转化条件得对恒成立，根据的取值范围分类讨论去绝对值即可得解.【题目详解】（Ⅰ）当时，，当且仅当时等号成立，.（Ⅱ）时，恒成立，对恒成立.当时，，解得：，当时，，解得：，综上：.【题目点拨】本题考查了绝对值不等式的解法和绝对值三角不等式的应用，考查了恒成立问题的解决方法和分类讨论思想，属于中档题.20、（1）见解析（2）见解析【解题分析】

（1）由展开利用基本不等式证明即可；（2）由，结合条件即可得解.【题目详解】证明：（1）因为，当时等号成立.（2）因为，又因为，所以，，，∴.当时等号成立，即原不等式成立.【题目点拨】本题主要考查了基本不等式的应用，需要进行配凑，具有一定的技巧性，属于中档题.21、（1）见解析；（2）见解析.【解题分析】

试题分析：（1）先求函数导数，再根据导函数符号的变化情况讨论单调性：当时，，则在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减.（2）证明，即证，而，所以需证，设g（x）=lnx-x+1，利用导数易得，即得证.试题解析：（1）f（x）的定义域为（0，+），.若a≥0，则当x∈（0，+）时，，故f（x）在（0，+）单调递增.若a＜0，则当x∈时，；当x∈时，.故f（x）在单调递增，在单调递减.（2）由（1）知，当a＜0时，f（x）在取得最大值，最大值为.所以等价于，即.设g（x）=lnx-x+1，则.当x∈（0,1）时，；当x∈（1，+）时，.所以g（x）在（0,1）单调递增，在（1，+）单调递减.故当x=1时，g（x）取得最大值，最大值为g（1）=0.所以当x＞0时，g（x