厦门六中 2024届高二数学第二学期期末统考试题含解析

厦门六中2024届高二数学第二学期期末统考试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设，则“”是的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.6,0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率是()A．0.45 B．0.6 C．0.65 D．0.753．从某大学中随机选取8名女大学生，其身高（单位：）与体重（单位：）数据如下表：1651651571701751651551704857505464614359若已知与的线性回归方程为，那么选取的女大学生身高为时，相应的残差为（）A． B．0.96 C．63.04 D．4．已知函数（，）的图象如图所示，则的解析式为（）A． B．C． D．5．已知(为虚数单位)，则A． B． C． D．6．已知，是两个不同的平面，，是异面直线且，则下列条件能推出的是（）A．， B．， C．， D．，7．方程至少有一个负根的充要条件是A． B． C． D．或8．由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”，如图所示，其中，．由右椭圆的焦点和左椭圆的焦点，确定叫做“果圆”的焦点三角形，若“果圆”的焦点为直角三角形．则右椭圆的离心率为（）A． B． C． D．9．在极坐标系中，圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标系是A． B． C．(1,0) D．(1，)10．函数的导函数为，若不等式的解集为，且的极小值等于，则的值是()。A． B． C．5 D．411．将点的直角坐标化成极坐标为（）A． B． C． D．12．已知直线与曲线相切，则实数k的值为（）A． B．1 C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知集合，且，则实数的取值范围是__________．14．_______.15．若以连续两次掷骰子分别得到的点数，作为点的坐标，则点落在由和两坐标轴所围成的三角形内部（不含边界）的概率为________.16．已知函数，有以下结论：①若，则；②在区间上是增函数；③的图象与图象关于轴对称；④设函数，当时，．其中正确的结论为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）伴随着智能手机的深入普及，支付形式日渐多样化，打破了传统支付的局限性和壁垒，有研究表明手机支付的使用比例与人的年龄存在一定的关系，某调研机构随机抽取了50人，对他们一个月内使用手机支付的情况进行了统计，如表：年龄（单位：岁）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65）[65，75）人数510151055使用手机支付人数31012721（1）若以“年龄55岁为分界点”，由以上统计数据完成下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“使用手机支付”与人的年龄有关；年龄不低于55岁的人数年龄低于55岁的人数合计使用不适用合计（2）若从年龄在[55，65），[65，75）内的被调查人中各随机选取2人进行追踪调查，记选中的4人中“使用手机支付”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望；参考数据如下：0.050.0100.001k03.8416.63510.828参考格式：，其中18．（12分）已知函数.（1）判断的奇偶性；（2）若在是增函数，求实数的范围.19．（12分）已知椭圆E的方程为y2＝1，其左焦点和右焦点分别为F1，F2，P是椭圆E上位于第一象限的一点（1）若三角形PF1F2的面积为，求点P的坐标；（2）设A（1，0），记线段PA的长度为d，求d的最小值．20．（12分）在中，角所对的边分别是，已知.（1）求；（2）若，且，求的面积.21．（12分）已知抛物线的焦点为，圆：与轴的一个交点为，圆的圆心为，为等边三角形.求抛物线的方程；设圆与抛物线交于两点，点为抛物线上介于两点之间的一点，设抛物线在点处的切线与圆交于两点，在圆上是否存在点，使得直线均为抛物线的切线，若存在求出点坐标（用表示）；若不存在，请说明理由.22．（10分）已知某盒子中共有个小球，编号为号至号，其中有个红球、个黄球和个绿球，这些球除颜色和编号外完全相同．（1）若从盒中一次随机取出个球，求取出的个球中恰有个颜色相同的概率；（2）若从盒中逐一取球，每次取后立即放回，共取次，求恰有次取到黄球的概率；（3）若从盒中逐一取球，每次取后不放回，记取完黄球所需次数为，求随机变量的分布列及数学期望.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】分析：先化简两个不等式，再利用充要条件的定义来判断.详解：由得-1＜x-1＜1，所以0＜x＜2.由得x＜2，因为，所以“”是的充分不必要条件.故答案为：A.点睛：（1）本题主要考查充要条件的判断和不等式的解法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本计算能力.(2)本题利用集合法判断充要条件，首先分清条件和结论；然后化简每一个命题，建立命题和集合的对应关系.，；最后利用下面的结论判断：（1）若,则是的充分条件，若，则是的充分非必要条件；（2）若,则是的必要条件，若，则是的必要非充分条件；（3）若且，即时，则是的充要条件.2、D【解题分析】根据题意，记甲击中目标为事件，乙击中目标为事件，目标被击中为事件，则.∴目标是被甲击中的概率是故选D.3、B【解题分析】

将175代入线性回归方程计算理论值，实际数值减去理论数值得到答案.【题目详解】已知与的线性回归方程为当时：相应的残差为：故答案选B【题目点拨】本题考查了残差的计算，意在考查学生的计算能力.4、D【解题分析】结合函数图像可得：，，结合周期公式有：，且当时，，令可得：，据此可得函数的解析式为：.本题选择D选项.点睛：已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.5、B【解题分析】

由题得，再利用复数的除法计算得解.【题目详解】由题得，故答案为：B【题目点拨】本题主要考查复数的运算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.6、D【解题分析】分析：根据线面垂直的判定定理求解即可.详解：A.，，此时，两平面可以平行，故错误；B.，，此时，两平面可以平行，故错误；C.，，此时，两平面仍可以平行，故错误，故综合的选D.点睛：考查线面垂直的判定，对答案对角度，多立体的想象摆放图形是解题关键，属于中档题.7、C【解题分析】试题分析：①时，显然方程没有等于零的根．若方程有两异号实根，则；若方程有两个负的实根，则必有．②若时，可得也适合题意．综上知，若方程至少有一个负实根，则．反之，若，则方程至少有一个负的实根，因此，关于的方程至少有一负的实根的充要条件是．故答案为C考点：充要条件，一元二次方程根的分布8、B【解题分析】

根据“果圆”关于轴对称，可得是以为底的等腰三角形，由是直角三角形，得出，.再建立关于，，之间的关系式，求出结果.【题目详解】解：连接，，根据“果圆”关于轴对称，可得是以为底的等腰三角形，是直角三角形，，.又和分别是椭圆和的半焦距，，即.，.即，.故选：B.【题目点拨】本题考查椭圆的标准方程与简单几何性质，属于中档题.9、B【解题分析】

由题圆，则可化为直角坐标系下的方程,，，，圆心坐标为（0，-1），则极坐标为，故选B.考点：直角坐标与极坐标的互化.10、D【解题分析】

求导数，利用韦达定理，结合的极小值等于，即可求出的值，得到答案．【题目详解】依题意，函数，得的解集是，于是有，解得，∵函数在处取得极小值，∴，即，解得，故选：D．【题目点拨】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，考查韦达定理的运用，着重考查了学生分析解决问题的能力，比较基础.11、B【解题分析】分析：求出，且在第三象限，由此能将点M的直角坐标化成极坐标.详解：点M的直角坐标，，在第三象限，.将点M的直角坐标化成极坐标.故选B.点睛：极坐标与直角坐标的互化，常用方法有代入法、平方法等，还经常会用到同乘(同除以)ρ等技巧．12、D【解题分析】由得，设切点为，则，，，，对比，，，故选D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】分析：求出，由，列出不等式组能求出结果．详解：根据题意可得，，由可得即答案为.点睛：本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．14、4【解题分析】分析：利用微积分基本定理直接求解即可.详解：即答案为4.点睛：本题考查微积分基本定理的应用，属基础题.15、【解题分析】

由掷骰子的情况得到基本事件总数，并且求得点落在指定区域的事件数，利用古典概型求解.【题目详解】以连续两次掷骰子分别得到的点数，作为点的坐标，共有个点，而点落在由和两坐标轴所围成的三角形内部（不含边界），有个点：，所以概率故得解．【题目点拨】本题考查古典概型，属于基础题.16、②③④【解题分析】

首先化简函数解析式，逐一分析选项，得到答案.【题目详解】①当时，函数的周期为，，或，所以①不正确；②时，，所以是增函数，②正确；③函数还可以化简为，所以与关于轴对称，正确；④，当时，，，④正确故选②③④【题目点拨】本题考查了三角函数的化简和三角函数的性质，属于中档题型.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）详见解析；（2）详见解析.【解题分析】

（1）根据题中的数据补充列联表，计算出的值，根据临界值表找出犯错误的概率，于此可对题中的问题下结论；（2）先确定年龄在和的人数，可得知的取值有、、、，然后利用超几何分布列的概率公式计算概率，列出随机变量的分布列，并计算出的数学期望。【题目详解】（1）根据题意填写列联表，如下；年龄不低于55岁的人数年龄低于55岁的人数合计使用33235不适用7815合计104050根据表中数据，计算K2的观测值，所以有99%的把握认为“使用手机支付”与人的年龄有关；（2）由题意可知ξ所有可能取值有0，1，2，3；，，，.所以ξ的分布列是：0123pξ的数学期望是．【题目点拨】本题第（1）问考查独立性检验，关键在于列出列联表并计算出的观测值，第（2）问考查离散型随机分布列与数学期望，这类问题首先要弄清楚随机变量所服从的分布列，并利用相关公式进行计算，属于常考题型，考查计算能力，属于中等题。18、（1）当时，为偶函数，当时，既不是奇函数，也不是偶函数,；（2）.【解题分析】

（1）当时，，对任意，，为偶函数．当时，，取，得，，函数既不是奇函数，也不是偶函数．（2）设，，要使函数在上为增函数，必须恒成立．，即恒成立．又，．的取值范围是．19、（1）P（1，）（2）【解题分析】

（1）设P（x，y）；，根据三角形PF1F2的面积为列等式解得，再代入椭圆方程可得，即可得到答案；（2）根据两点间的距离公式得到的函数关系式，再根据二次函数求最值可得结果.【题目详解】椭圆E的方程为y2＝1，其左焦点和右焦点分别为F1，F2，所以：椭圆的顶点坐标（±2，0）；（0，±1），焦点：F1（，0），F2（，0），|F1F2|＝2；P是椭圆E上位于第一象限的一点，设P（x，y）；；（1）若三角形PF1F2的面积为，即：|F1F2|×y；解得：y，因为P是椭圆E上位于第一象限的一点，满足椭圆的方程，代入椭圆方程得：x＝1，所以：点P的坐标P（1，）；（2）设A（1，0），记线段PA的长度为d，P是椭圆E上位于第一象限的一点，所以：d．因为，所以时，d有最小值，所以d的最小值d．【题目点拨】本题考查了椭圆的几何性质，考查了三角形的面积公式，考查了两点间的距离公式，考查了二次函数求最值，属于中档题.20、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解题分析】试题分析：利用正弦定理和余弦定理及三角形面积公式解斜三角形是高考高频考点，利用正弦定理和余弦定理进行边转角或角转边是常用的方法，本题利用正弦定理“边转角”后，得出角C，第二步利用余弦定理求出边a，c，再利用面积公式求出三角形的面积.试题解析：（1）由正弦定理，得，因为，解得，．（2）因为．由余弦定理，得，解得．的面积．【题目点拨】利用正弦定理和余弦定理及三角形面积公式解斜三角形是高考高频考点，利用正弦定理和余弦定理进行边转角或角转边是常用的方法，已知两边及其夹角求第三边或已知三边求任意角使用于心定理，已知两角及任意边或已知两边及一边所对的角借三角形用正弦定理，另外含经常利用三角形面积公式以及与三角形的内切圆半径与三角形外接圆半径发生联系，要灵活使用公式.21、；存在,.【解题分析】

(1)由题意，从而求得抛物线方程；（2）设，可设出切线方程及，并设出过点的直线与抛物线相切，从而联立抛物线知，同理，可表示过点N的切线，从而计算两直线相交的交点，于是可得答案.【题目详解】是等边三角形，原点为中点，半径圆，半径，抛物线设，过点作抛物线的两条切线（异于直线）交于点，并设切线，由替换法则，抛物线在点处的切线方程为即记①设过点的直线与抛物线相切，代入抛物线方程得，即根据韦达定理，由①可得，②同理可得，切线③