内蒙古乌兰察布集宁二中2024届高二数学第二学期期末经典试题含解析

内蒙古乌兰察布集宁二中2024届高二数学第二学期期末经典试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设奇函数的最小正周期为，则（）A．在上单调递减 B．在上单调递减C．在上单调递增 D．在上单调递增2．设定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（）A． B．C． D．3．已知、为双曲线C：的左、右焦点，点P在C上，∠P=，则A．2 B．4 C．6 D．84．若，则“复数的共轭复数在复平面内对应的点在第二象限”是“”（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝a()i，i＝1，2，3，则a的值为()A．1 B． C． D．6．已知函数，若关于的方程有两个相异实根，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．7．已知实数满足条件，且，则的取值范围是（）A． B． C． D．8．将函数y=sin2x+π6的图象向右平移π6个单位长度后,得到函数f(x)的图象,A．kπ-5π12C．kπ-π39．某煤气站对外输送煤气时，用1至5号五个阀门控制，且必须遵守以下操作规则：①若开启3号，则必须同时开启4号并且关闭2号；②若开启2号或4号，则关闭1号；③禁止同时关闭5号和1号.则阀门的不同开闭方式种数为（）A．7 B．8 C．11 D．1410．学校选派位同学参加北京大学、上海交通大学、浙江大学这所大学的自主招生考试，每所大学至少有一人参加,则不同的选派方法共有A．540种 B．240种 C．180种 D．150种11．设集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若，则（）A．{3，1} B．{3，2，1} C．{3，2} D．{3，0，1，2}12．在三棱锥中，平面，，，则三棱锥的外接球的表面积为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．点到直线：的距离等于3，则_______.14．已知复数的共轭复数是，且，则的虚部是__________．15．已知点在二面角的棱上，点在半平面内，且，若对于半平面内异于的任意一点，都有，则二面角大小的取值的集合为__________.16．已知复数z满足，则________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）高二年级数学课外小组人:（1）从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法?（2）从中选名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法?18．（12分）北京市政府为做好会议接待服务工作，对可能遭受污染的某海产品在进入餐饮区前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知该海产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响.（1）求该海产品不能销售的概率.（2）如果该海产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果该海产品不能销售，则每件产品亏损80元（即获利-80元）.已知一箱中有该海产品4件，记一箱该海产品获利元，求的分布列，并求出数学期望.19．（12分）已知函数f(x)=2ln（1）当a=2时，求f(x)的图像在x=1处的切线方程；（2）若函数g(x)=f(x)-ax+m在[1e,e]20．（12分）已知数列满足：，且.（Ⅰ）求，，的值，并猜想数列的通项公式；（Ⅱ）试用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想.21．（12分）（1）求函数的最大值；（2）若函数有两个零点，求实数a的取值范围．22．（10分）设，且.(1)求的值；(2)求在区间上的最大值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】分析：利用辅助角公式将函数进行化简，根号函数的周期和奇偶性即可得到结论．详解：，

∵函数的周期是，，

∵）是奇函数，

即∴当时，即则在单调递减，

故选：B．点睛：本题主要考查三角函数的解析式的求解以及三角函数的图象和性质，利用辅助角公式是解决本题的关键．2、A【解题分析】

构造函数，则可判断，故是上的增函数，结合即可得出答案.【题目详解】解：设，则，∵，，∴，∴是上的增函数，又，∴的解集为，即不等式的解集为.故选A.【题目点拨】本题考查导数与函数单调性的关系，构造函数是解题的关键.3、B【解题分析】本试题主要考查双曲线的定义，考查余弦定理的应用．由双曲线的定义得①,又,由余弦定理②，由①2-②得，故选B．4、C【解题分析】

先将复数化简成形式，得其共轭复数，通过对应的点在第二象限求出的取值范围，即可判断与的关系．【题目详解】，所以共轭复数，因为共轭复数在复平面内对应的点在第二象限所以，解得所以“复数的共轭复数在复平面内对应的点在第二象限”是“”充要条件，故选C【题目点拨】本题考查复数的基本运算与充要关系，解题的关键是先通过条件求出的取值范围，属于一般题．5、D【解题分析】

根据分布列中所有概率和为1求a的值.【题目详解】因为P(X＝i)＝a()i，i＝1，2，3，所以，选D.【题目点拨】本题考查分布列的性质，考查基本求解能力.6、B【解题分析】分析：将方程恰有两个不同的实根，转化为方程恰有两个不同的实根，在转化为一个函数的图象与一条折线的位置关系，即可得到答案.详解：方程恰有两个不同的实根，转化为方程恰有两个不同的实根，令，，其中表示过斜率为1或的平行折线，结合图象，可知其中折线与曲线恰有一个公共点时，，若关于的方程恰有两个不同的实根，则实数的取值范围是，故选B.点睛：本题主要考查了方程根的存在性及根的个数的判断问题，其中把方程的实根的个数转化为两个函数的图象的交点的个数，作出函数的图象是解答的关键，着重考查了转化思想方法，以及分析问题和解答问题的能力.7、D【解题分析】

如图所示，画出可行域和目标函数，根据平移得到答案.【题目详解】如图所示，画出可行域和目标函数，，则，表示直线轴截距的相反数，根据图像知：当直线过，即，时有最小值为；当直线过，即时有最大值为，故.故选：.【题目点拨】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.8、D【解题分析】

求出图象变换的函数解析式，再结合正弦函数的单调性可得出结论．【题目详解】由题意f(x)=sin2kπ-π∴kπ-π故选D．【题目点拨】本题考查三角函数的平移变换，考查三角函数的单调性．解题时可结合正弦函数的单调性求单调区间．9、A【解题分析】

分两类解决，第一类：若开启3号，然后对2号和4号开启其中一个即可判断出1号和5号情况，第二类：若关闭3号，关闭2号关闭4号，对1号进行讨论，即可判断5号,由此可计算出结果.【题目详解】解：依题意，第一类：若开启3号，则开启4号并且关闭2号，此时关闭1号，开启5号，此时有1种方法；第二类：若关闭3号，①开启2号关闭4号或关闭2号开启4号或开启2号开启4号时，则关闭1号，开启5号，此时有种3方法；②关闭2号关闭4号，则开启1号关闭5号或开启1号开启5号或关闭1号，开启5号，此时有种3方法；综上所述，共有种方式.故选：A.【题目点拨】本题考查分类加法计数原理，属于中档题.10、D【解题分析】分析：按题意5人去三所学校，人数分配可能是1，1，3或1，2，2，因此可用分类加法原理求解．详解：由题意不同方法数有．故选D．点睛：本题考查排列组合的综合应用，此类问题可以先分组再分配，分组时在1，2，2一组中要注意2,2分组属于均匀分组，因此组数为，不是，否则就出错．11、B【解题分析】分析：由求出a的值，再根据题意求出b的值，然后由并集运算直接得答案.详解：由，，即，，则.故选：B.点睛：本题考查了并集及其运算，考查了对数的运算，是基础题.12、C【解题分析】

先求出的外接圆的半径，然后取的外接圆的圆心，过作，且，由于平面，故点为三棱锥的外接球的球心，为外接球半径，求解即可.【题目详解】在中，，，可得，则的外接圆的半径，取的外接圆的圆心，过作，且，因为平面，所以点为三棱锥的外接球的球心，则，即外接球半径，则三棱锥的外接球的表面积为.故选C.【题目点拨】本题考查了三棱锥的外接球表面积的求法，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、或【解题分析】

直接利用点到直线的距离公式列方程，即可得到答案．【题目详解】由题意可得：，解得或．故答案为：或．【题目点拨】本题考查点到直线的距离公式，考查基本运算求解能力，属于基础题．14、【解题分析】

设复数，代入等式得到答案.【题目详解】设复数故答案为【题目点拨】本题考查了复数的化简，共轭复数，复数的模，意在考查学生的计算能力和对复数知识的灵活运用.15、【解题分析】

画出图形，利用斜线与平面内直线所成的角中，斜线与它的射影所成的角是最小的，判断二面角的大小即可.【题目详解】如下图所示，过点在平面内作，垂直为点，点在二面角的棱上，点在平面内，且，若对于平面内异于点的任意一点，都有.因为斜线与平面内直线所成角中，斜线与它的射影所成的角是最小的，即是直线与平面所成的角，平面，平面，所以，平面平面，所以，二面角的大小是.故答案为：.【题目点拨】本题考查二面角平面角的求解，以及直线与平面所成角的定义，考查转化与化归思想和空间想象能力，属于中等题.16、3-i【解题分析】

利用复数的运算法则、共轭复数的性质即可得出．【题目详解】解：（z﹣2）i＝1+i，则（z﹣2）i•（﹣i）＝﹣i（1+i），可得z＝2﹣i+1＝3﹣i．故答案为：3﹣i．【题目点拨】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）90（2）45【解题分析】

（1）应用排列进行计算；（2）应该用组合来进行计算。【题目详解】（1）选一名正组长和一名副组长，因为正组长与副组长属于不同的职位，所以应该用排列，.（2）选名参加省数学竞赛，都是同样参加数学竞赛，所以应该用组合，.【题目点拨】本题考查了排列和组合的基本概念和应用，属于基础题。18、（1）；（2）分布列见解析，期望为1.【解题分析】

（1）利用对立事件的概率计算该产品不能销售的概率值；（2）由题意知的可能取值为，，，1，160；计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望．【题目详解】（1）记“该产品不能销售”为事件，则（A），所以，该产品不能销售的概率为；（2）由已知，的可能取值为，，，1，160计算，，，，；所以的分布列为1160；所以均值为1．【题目点拨】本题主要考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的应用问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．19、（1）；（2）.【解题分析】试题分析：（1）求函数的导数，利用导数的几何意义即可求的图象在处的切线方程；（2）利用导数求出函数的在上的极值和最值，即可得到结论．试题解析：（1）当时，，，切点坐标为，切线的斜率，则切线方程为，即.（2），则.∵，∴当时，.当时，；当时，.故在处取得极大值.又，，，则，∴在上的最小值是．在上有两个零点的条件是，解得，∴实数的取值范围是．考点：利用导数求闭区间上函数的最值.20、（Ⅰ），，，猜想.（Ⅱ）证明见解析【解题分析】

（Ⅰ）令，可得，，的值，根据，可猜想数列的通项公式；（Ⅱ）①当时，猜想显然成立；②假设当时猜想成立，通过证明当时，猜想也成立，从而得到证明.【题目详解】解：（Ⅰ）由递推公式可得，，，猜想.（Ⅱ）下面用数学归纳法证明猜想成立.①当时，猜想显然成立；②假设当时猜想成立，即，则时，由，得，即当时，猜想也成立，由①②可知，对任意均成立.【题目点拨】本题主要考查归纳推理及用数学归纳法证明猜想成立.21、(1)(2)【解题分析】

（1）求出．利用导函数的符号判断函数的单调性然后求解最大值；（2）分情况：①在时，②在时，③在时，判断函数的单调性，求解函数的极值与0的关系，然后求解零点个数．【题目详解】（1）对求导数，．在时，为增函数，在时为减函数，∴，从而的最大值为．（2）①在时，在R上为增函数，且，故无零点．②在时，在R上单增，又，，故在R上只有一个零点．③在时，由可知在时有唯一极小值，．若，，无零点，若，，只有一个零点，若，，而．由（1）可知，在时为减函数，∴在时，，从而．∴在与上各有一个零点．综上讨论可知：时，有两个零点．【题目点拨】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，函数的零点个数的判断，是难题．对于函