2024届杭州市重点中学数学高二第二学期期末联考试题含解析

2024届杭州市重点中学数学高二第二学期期末联考试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若X～B(n，p)，且E(X)＝6，D(X)＝3，则P(X＝1)的值为()A．3×2－2 B．2－4 C．3×2－10 D．2－82．把一枚骰子连续掷两次，已知在第一次抛出的是奇数点的情况下，第二次抛出的也是奇数点的概率为（）A． B． C． D．3．设fx=sinxcosA．12 B．32 C．-4．用数学归纳法证明不等式：，则从到时，左边应添加的项为（）A． B．C． D．5．若函数的定义域为，则的取值范围为（）A． B． C． D．6．若,则等于()A．9 B．8 C．7 D．67．的展开式的各项系数之和为3，则该展开式中项的系数为（）A．2 B．8 C． D．-178．定义：复数与的乘积为复数的“旋转复数”．设复数对应的点在曲线上，则的“旋转复数”对应的点的轨迹方程为（）．A． B．C． D．9．同时具有性质“①最小正周期是”②图象关于对称；③在上是增函数的一个函数可以是（）A． B．C． D．10．某公共汽车上有5名乘客，沿途有4个车站，乘客下车的可能方式（）A．种 B．种 C．种 D．种11．已知函数的导函数为，且满足关系式，则的值等于（）A． B． C． D．12．已知函数存在零点,则实数的取值范围是()A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在正项等比数列中，则公比______________.14．如图①，矩形的边，直角三角形的边，，沿把三角形折起，构成四棱锥，使得在平面内的射影落在线段上，如图②，则这个四棱锥的体积的最大值为__________．15．为了宣传校园文化，让更多的学生感受到校园之美，某校学生会组织了6个小队在校园最具有代表性的3个地点进行视频拍摄，若每个地点至少有1支小队拍摄，则不同的分配方法有_____种（用数字作答）16．满足不等式组的点所围成的平面图形的面积为________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在中，角的对边分别为，已知．（1）求角的大小；（2）若，求的面积的最大值．18．（12分）已知函数．（1）当a＝3时，解不等式；（2）若不等式的解集非空，求实数a的取值范围．19．（12分）已知数列的前项和，通项公式，数列的通项公式为.（1）若，求数列的前项和及的值；（2）若，数列的前项和为，求、、的值，根据计算结果猜测关于的表达式，并用数学归纳法加以证明；（3）对任意正整数，若恒成立，求的取值范围.20．（12分）某大型工厂有台大型机器，在个月中，台机器至多出现次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需名工人进行维修．每台机器出现故障的概率为．已知名工人每月只有维修台机器的能力，每台机器不出现故障或出现故障时有工人维修，就能使该厂获得万元的利润，否则将亏损万元．该工厂每月需支付给每名维修工人万元的工资．（1）若每台机器在当月不出现故障或出现故障时有工人进行维修，则称工厂能正常运行．若该厂只有名维修工人，求工厂每月能正常运行的概率；（2）已知该厂现有名维修工人．（ⅰ）记该厂每月获利为万元，求的分布列与数学期望；（ⅱ）以工厂每月获利的数学期望为决策依据，试问该厂是否应再招聘名维修工人？21．（12分）某研究性学习小组为了调查研究学生玩手机对学习的影响，现抽取了30名学生，得到数据如表：玩手机不玩手机合计学习成绩优秀8学习成绩不优秀16合计30已知在全部的30人中随机抽取1人，抽到不玩手机的概率为.（1）请将2×2列联表补充完整；（2）能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为玩手机对学习有影响；（3）现从不玩手机，学习成绩优秀的8名学生中任意选取两人，对他们的学习情况进行全程跟踪，记甲、乙两名学生被抽到的人数为X，求X的分布列和数学期望．附：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828．22．（10分）如图，在正四棱锥中，为底面的中心，已知，点为棱上一点，以为基底，建立如图所示的空间直角坐标系．（1）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值；（2）设二面角的平面角为，且，试判断点的位置．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】E(X)＝np＝6，D(X)＝np(1－p)＝3，∴p＝，n＝12，则P(X＝1)＝·()1·()11＝3×2－10.2、C【解题分析】分析：设表示“第一次抛出的是奇数点”，表示“第二次抛出的是奇数点”，利用古典概型概率公式求出的值，由条件概率公式可得结果.详解：设表示“第一次抛出的是奇数点”，表示“第二次抛出的是奇数点”，，，在第一次抛出的是奇数点的情况下，第二次抛出的也是奇数点的概率为，故选C.点睛：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意条件概率计算公式的合理运用，同时注意区分独立事件同时发生的概率与条件概率的区别与联系.3、A【解题分析】

曲线在点π6,fπ【题目详解】∵f∴f【题目点拨】本题考查函数求导及导数的几何意义，属于基础题.4、D【解题分析】

将和式子表示出来，相减得到答案.【题目详解】时：时：观察知：应添加的项为答案选D【题目点拨】本题考查了数学归纳法，写出式子观察对应项是解题的关键.5、C【解题分析】分析：由题得恒成立，再解这个恒成立问题即得解.详解：由题得恒成立，a=0时，不等式恒成立.a≠0时，由题得综合得故答案为C.点睛：（1）本题主要考查函数的定义域和二次不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析转化能力数形结合思想方法.（2）解答本题恒成立时，一定要讨论a=0的情况,因为不一定时一元二次不等式.6、B【解题分析】分析：根据组合数的计算公式，即可求解答案.详解：由题意且，，解得，故选B.点睛：本题主要考查了组合数的计算公式的应用，其中熟记组合数的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.7、D【解题分析】

令得各项系数和，可求得，再由二项式定理求得的系数，注意多项式乘法法则的应用．【题目详解】令，可得，，在的展开式中的系数为：．故选D．【题目点拨】本题考查二项式定理，在二项展开式中，通过对变量适当的赋值可以求出一些特定的系数，如令可得展开式中所有项的系数和，再令可得展开式中偶数次项系数和与奇数次项系数和的差，两者结合可得奇数项系数和以及偶数项系数和．8、C【解题分析】

设可得:.因为复数与的乘积为复数的“旋转复数,可得,的“旋转复数”对应的点,由坐标变换,即可得的“旋转复数”对应的点的轨迹方程.【题目详解】复数对应的点在曲线上设可得:复数与的乘积为复数的“旋转复数┄①设的“旋转复数”对应的点可得:即┄②将②代入①得:即:故选:C.【题目点拨】本题考查复数的运算,考查复平面和考查坐标变换,掌握复数与复平面内的点一一对应是解本题的关键.9、B【解题分析】

利用所给条件逐条验证，最小正周期是得出，把②③分别代入选项验证可得.【题目详解】把代入A选项可得，符合；把代入B选项可得，符合；把代入C选项可得，不符合，排除C；把代入D选项可得，不符合，排除D；当时，，此时为减函数；当时，，此时为增函数；故选B.【题目点拨】本题主要考查三角函数的图象和性质，侧重考查直观想象的核心素养.10、D【解题分析】

5名乘客选4个车站，每个乘客都有4种选法．【题目详解】每个乘客都有4种选法，共有种，选D【题目点拨】每个乘客独立，且每个乘客都有4种选法11、D【解题分析】

求得函数的导数，然后令，求得的值.【题目详解】依题意，令得，，故选D.【题目点拨】本小题在导数运算，考查运算求解能力，属于基础题.12、D【解题分析】

函数的零点就是方程的根，根据存在零点与方程根的关系，转化为两个函数交点问题，数形结合得到不等式，解得即可．【题目详解】函数存在零点，等价于方程有解，即有解，令，则，方程等价于与有交点，函数恒过定点（0,0），当时，与图象恒有交点，排除A，B，C选项；又当时，恰好满足时，，此时与图象恒有交点，符合题意；故选：D.【题目点拨】本题考查函数的零点与方程根的关系，此类问题通常将零点问题转化成函数交点问题，利用数形结合思想、分类讨论思想，求参数的范围，属于较难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

利用等比数列的通项公式，列方程组，即可求出公比.【题目详解】由正项等比数列中，，得，解得，或（舍去）.故答案为：【题目点拨】本题主要考查等比数列通项公式的应用，属于基础题.14、【解题分析】

设，可得，.，由余弦定理以及同角三角函数的关系得，则，利用配方法可得结果.【题目详解】因为在矩形内的射影落在线段上，所以平面垂直于平面，因为，所以平面，，同理，设，则，.在中，，，所以，所以四棱锥的体积.因为，所以当，即时，体积取得最大值，最大值为，故答案为.【题目点拨】本题主要考查面面垂直的性质，余弦定理的应用以及锥体的体积公式，考查了配方法求最值，属于难题.解决立体几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用空间点线面关系和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将立体几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.15、540【解题分析】

首先将6个小队分成三组，有三种组合，然后再分配，即可求出结果．【题目详解】（1）若按照进行分配有种方案；（2）若按照进行分配有种方案；（3）若按照进行分配有种方案；由分类加法原理，所以共有种分配方案．【题目点拨】本题主要考查分类加法计数原理，以及排列组合的相关知识应用．易错点是平均分配有重复，注意消除重复．16、.【解题分析】分析：画出约束条件表示的可行域，利用微积分基本定理求出可行域的面积．详解：画出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分，由题意不等式组，表示的平面图形的面积为：．故答案为．点睛：用定积分求平面图形的面积的步骤：（1）根据已知条件，作出平面图形的草图；根据图形特点，恰当选取计算公式；（2）解方程组求出每两条曲线的交点，以确定积分的上、下限；（3）具体计算定积分，求出图形的面积．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解题分析】

（1）利用正弦定理将边化角和诱导公式可化简边角关系式，求得，根据可求得结果；（2）利用余弦定理得到，利用基本不等式可求得，代入三角形面积公式即可求得面积的最大值.【题目详解】（1）由正弦定理可得：即：，即（2）由余弦定理可知：又（当且仅当时取等号）即的最大值为：【题目点拨】本题考查解三角形的相关知识，涉及到利用正弦定理化简边角关系式、余弦定理的应用、三角形面积最值的求解等知识；化简边角关系式的关键是能够根据边齐次的特点，利用正弦定理将边角关系式转化为三角恒等变换的化简问题.18、（1）；（2）．【解题分析】

（1）由a＝3可得，去绝对值，分类讨论解不等式，求并集，可得所求解集；（2）由题意可得有解，运用绝对值不等式的性质可得此不等式左边的最小值，解a的不等式可得所求范围．【题目详解】（1）当a＝3时，即为，等价于或或，解得或或，则原不等式的解集为；（2）不等式的解集非空等价于有解．由，（当且仅当时取得等号），所以，解得，故a的取值范围是．【题目点拨】本题考查分类讨论解绝对值不等式以及不等式能成立求参数的问题，考查学生分类讨论的思想，是一道容易题.19、（1），；（2），，，；证明见解析（3）.【解题分析】

（1）根据等比数列的求和公式和极限的定义即可求解。（2）求出，可求，，的值，猜想的表达式，再根据数学归纳法的证题步骤进行证明。（3）问题转化为，对于任意正整数恒成立，设，利用导数求出函数的最值即可求出的范围。【题目详解】，，，=（2），，，，猜想，理由如下，：当时，成立；：假设时成立，则，那么当时，即时，猜想也成立，故由和，可知猜想成立；（3），若恒成立，则，即，对于任意正整数恒成立，设，，令，解得，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，，，，，，，【题目点拨】本题考查了等比数列的求和公式、取极限、数学归纳法、导数求函数的最值，综合性比较强；在求参数的取值范围时可采用“分离参数法”，构造新函数，研究函数的最值。20、（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）不应该.【解题分析】

（1）根据相互独立事件的概率公式计算出事故机器不超过台的概率即可；（2）（i）求出的可能取值及其对应的概率，得出的分布列和数学期望；（ⅱ）求出有名维修工人时的工厂利润，得出结论．【题目详解】解：（1）因为该工厂只有名维修工人，故要使工厂正常运行，最多只有台大型机器出现故障．∴该工厂正常运行的概率为：．（2）（i）的可能取值有，，，．∴的分布列为：X3144P∴．（ⅱ）若工厂再招聘一名维修工人，则工厂一定能正常运行，工厂所获利润为万元，因为，∴该厂不应该再招聘名维修工人．【题目点拨】本题考查了相互独立事件的概率计算，离散型随机变量的分布列与数学期望计算，属于中档题．21、（1）填表见解析（2）能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为玩手机对学习有影响（3）见解析【解题分析】

（1）由题意30人中，不玩手机的人数为10，由题意能将2×2列联表补充完整．（2）求出K210＞7.879，从而能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为玩手机对学习有影响．（3）由题意得X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．【题目详解】（1）由题意30人中，不玩手机