湖北省钢城第四中学2024届数学高二第二学期期末学业水平测试模拟试题含解析

湖北省钢城第四中学2024届数学高二第二学期期末学业水平测试模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数，下面结论错误的是()A．函数的最小正周期为 B．函数在区间上是增函数C．函数的图像关于直线对称 D．函数是奇函数2．以下说法中正确个数是（）①用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”的反设是“三角形的三个内角中至少有一个钝角”；②欲证不等式成立，只需证；③用数学归纳法证明（，，在验证成立时，左边所得项为；④命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是使用了“三段论”，但小前提使用错误.A． B． C． D．3．6本相同的数学书和3本相同的语文书分给9个人，每人1本，共有不同分法（）A． B．C． D．4．给出下列说法：（1）命题“，”的否定形式是“，”；（2）已知，则；（3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为，则回归直线方程为；（4）对分类变量与的随机变量的观测值来说，越小，判断“与有关系”的把握越大；（5）若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，则样本的方差不变.其中正确说法的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．55．曲线在点处的切线与直线垂直，则点的坐标为（）A． B．或 C． D．或6．从不同品牌的4台“快译通”和不同品牌的5台录音机中任意抽取3台,其中至少有“快译通”和录音机各1台,则不同的取法共有()A．140种 B．84种 C．70种 D．35种7．从混有4张假钞的10张一百元纸币中任意抽取3张，若其中一张是假币的条件下，另外两张都是真币的概率为（）A． B． C． D．8．的展开式中，的系数为（）A．2 B．4 C．6 D．89．奇函数在区间上单调递减，且，则不等式的解集是（）A． B．C． D．10．已知，，的实部与虚部相等，则（）A．2 B． C．2 D．11．函数的图象大致为（）A． B． C． D．12．若圆关于直线：对称，则直线在轴上的截距为（）A．-l B．l C．3 D．-3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知直线l过点（1,0）且垂直于𝑥轴，若l被抛物线截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.14．已知集合，若，则实数的值是__________．15．已知函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是______.16．如图，在梯形中，，，，，，如果，则________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设函数，．（1）若函数f（x）在处有极值，求函数f（x）的最大值；（2）是否存在实数b，使得关于x的不等式在上恒成立？若存在，求出b的取值范围；若不存在，说明理由；18．（12分）已知函数，当时，函数有极小值.（1）求的解析式；（2）求在上的值域.19．（12分）某保险公司针对企业职工推出一款意外险产品，每年每人只要交少量保费，发生意外后可一次性获赔50万元.保险公司把职工从事的所有岗位共分为、、三类工种，根据历史数据统计出三类工种的每赔付频率如下表（并以此估计赔付概率）.（Ⅰ）根据规定，该产品各工种保单的期望利润都不得超过保费的20%，试分别确定各类工种每张保单保费的上限；（Ⅱ）某企业共有职工20000人，从事三类工种的人数分布比例如图，老板准备为全体职工每人购买一份此种保险，并以（Ⅰ）中计算的各类保险上限购买，试估计保险公司在这宗交易中的期望利润.20．（12分）如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，M是的中点，是的中点，点在上，且满足.（1）证明：.（2）当取何值时，直线与平面所成的角最大？并求该角最大值的正切值.（3）若平面与平面所成的二面角为，试确定P点的位置.21．（12分）近年来，网络电商已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的消费方式为了更好地服务民众，某电商在其官方APP中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对商品状况和优惠活动的评价现从评价系统中随机抽出200条较为详细的评价信息进行统计，商品状况和优惠活动评价的2×2列联表如下：对优惠活动好评对优惠活动不满意合计对商品状况好评10020120对商品状况不满意503080合计15050200（I）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为优惠活动好评与商品状况好评之间有关系？（Ⅱ）为了回馈用户，公司通过APP向用户随机派送每张面额为0元，1元，2元的三种优惠券用户每次使用APP购物后，都可获得一张优惠券，且购物一次获得1元优惠券，2元优惠券的概率分别是，，各次获取优惠券的结果相互独立若某用户一天使用了APP购物两次，记该用户当天获得的优惠券面额之和为X，求随机变量X的分布列和数学期望．参考数据P（K2≥k）0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：K2，其中n＝a+b+c+d22．（10分）如图所示，在以为直径的半圆周上，有异于的六个点，直径上有异于的四个点.则：（1）以这12个点（包括）中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？（2）以这10个点（不包括）中的3个点为顶点，可作出多少个三角形？

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】试题分析：,所以函数的最小正周期为,函数在区间上是增函数,函数的图像关于直线对称,函数是偶函数.考点：1.三角函数的周期性；2.三角函数的奇偶性；3.图像得对称轴；4.函数的单调性.2、B【解题分析】

①根据“至多有一个”的反设为“至少有两个”判断即可。②不等式两边平方，要看正负号，同为正不等式不变号，同为负不等式变号。③令代入左式即可判断。④整数并不属于大前提中的“有些有理数”【题目详解】命题“三角形的内角中至多有一个钝角”的反设是“三角形的三个内角中至少有两个钝角”；①错欲证不等式成立，因为，故只需证，②错（，，当时，左边所得项为；③正确命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是使用了“三段论”，小前提使用错误.④正确综上所述：①②错③④正确故选B【题目点拨】本题考查推理论证，属于基础题。3、A【解题分析】先分语文书有种，再分数学书有，故共有=，故选A.4、B【解题分析】

根据含有一个量词的命题的否定，直接判断（1）错；根据正态分布的特征，直接判断（2）对；根据线性回归方程的特点，判断（3）正确；根据独立性检验的基本思想，可判断（4）错；根据方差的特征，可判断(5)正确.【题目详解】（1）命题“，”的否定形式是“，”，故（1）错；（2）因为，即服从正态分布，均值为，所以；故（2）正确；（3）因为回归直线必过样本中心，又已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为，所以，即所求回归直线方程为：；故（3）正确；（4）对分类变量与的随机变量的观测值来说，越小，判断“与有关系”的把握越大；故（4）错；（5）若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差不变.故（5）错.故选：B.【题目点拨】本题主要考查命题真假的判定，熟记相关知识点即可，属于基础题型.5、B【解题分析】试题分析：设，或，点的坐标为或考点：导数的几何意义6、C【解题分析】分析：从中任意取出三台，其中至少要有“快译通”和录音机各1台，有两种方法，一是2台和1台；二是1台和2台，分别求出取出的方法，即可求出所有的方法数.详解：由题意知本题是一个计数原理的应用，从中任意取出三台，其中至少要有“快译通”和录音机各1台，快译通2台和录音机1台，取法有种；快译通1台和录音机2台，取法有种，根据分类计数原理知共有种.故选：C.点睛：本题考查计数原理的应用，考查分类和分步的综合应用，本题解题的关键是看出符合条件的事件包含两种情况，是一个中档题目.7、A【解题分析】分析:直接利用条件概率公式求解.详解：由条件概率公式得.故答案为A点睛：（1）本题主要考查条件概率，意在考查学生对条件概率的掌握水平.(2)条件概率一般有“在已发生的条件下”这样的关键词，表明这个条件已经发生，发生了才能称为条件概率.但是有时也没有，要靠自己利用条件概率的定义识别.8、D【解题分析】

由题意得到二项展开式的通项，进而可得出结果.【题目详解】因为的展开式的第项为，令，则，所以的系数为8.故选D【题目点拨】本题主要考查求指定项的系数问题，熟记二项式定理即可，属于常考题型.9、A【解题分析】

根据函数为奇函数，以及上的单调性，判断出上的单调性，求得的值，对分为四种情况讨论，由此求得不等式的解集，进而求得的解集.【题目详解】由于函数为奇函数，且在上递减，故在上递减，由于，所以当或时，；当或时，.所以当或时.故当或即或时，.所以不等式的解集为.故本小题选A.【题目点拨】本小题主要考查函数的奇偶性、单调性，考查函数变换，考查含有函数符号的不等式的解法，属于中档题.10、C【解题分析】

利用待定系数法设复数z，再运用复数的相等求得b.【题目详解】设（），则即.故选C.【题目点拨】本题考查用待定系数法，借助复数相等建立等量关系，是基础题.11、C【解题分析】

根据奇偶性以及特殊值即可排除。【题目详解】因为=，所以为奇函数图像关于原点对称，排除BD,因为，所以排除A答案，选择D【题目点拨】本题主要考查了函数图像的判断方法，常利用函数的奇偶性质，特殊值法进行排除，属于中等题。12、A【解题分析】

圆关于直线：对称,等价于圆心在直线：上,由此可解出.然后令,得,即为所求.【题目详解】因为圆关于直线：对称,所以圆心在直线：上,即,解得.所以直线,令,得.故直线在轴上的截距为.故选A.【题目点拨】本题考查了圆关于直线对称,属基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】分析：根据题干描述画出相应图形，分析可得抛物线经过点，将点坐标代入可求参数的值，进而可求焦点坐标.详细：由题意可得，点在抛物线上，将代入中，解得：，，由抛物线方程可得：，焦点坐标为.点睛：此题考查抛物线的相关知识，属于易得分题，关键在于能够结合抛物线的对称性质，得到抛物线上点的坐标，再者熟练准确记忆抛物线的焦点坐标公式也是保证本题能够得分的关键.14、【解题分析】分析：根据集合包含关系得元素与集合属于关系，再结合元素互异性得结果.详解：因为，所以点睛：注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.15、【解题分析】

由题意可得有两个不等实根，作出，，，的图象，结合导数求得极值，考虑极小值与的关系，计算可得所求范围．【题目详解】函数恰有2个零点，

可得有两个不等实根，

由的导数为，

当时，，当或时，，当时，，

可得处取得极大值，取得极小值，

且过，，作出，，，的图象，

以及直线，如图，此时与有两个交点,只需满足，即，又，所以，当时，在处取得极小值，取得极大值a，如图，

只需满足，解得，又，所以时，与有两个交点，当时，显然与有两个交点，满足题意，综上可得a的范围是，故答案为：.

【题目点拨】本题考查分段函数的图象和性质，考查导数的运用：求单调性和极值，考查图象变换，属于难题．16、【解题分析】试题分析：因为，所以考点：向量数量积三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）函数f（x）的最大值为（2）存在，详见解析【解题分析】

（1）函数f（x）在处有极值说明（2）对求导，并判断其单调性。【题目详解】解：（1）由已知得：，且函数f（x）在处有极值∴，∴∴，∴当时，，f（x）单调递增；当时，，f（x）单调递减；∴函数f（x）的最大值为．（2）由已知得：①若，则时，∴在上为减函数，∴在上恒成立；②若，则时，∴在[0，+∞）上为增函数，∴，不能使在上恒成立；③若，则时，，当时，，∴在上为增函数，此时，∴不能使在上恒成立；综上所述，b的取值范围是．【题目点拨】本题主要考查了函数的极值，以及函数单调性的讨论，在解决此类问题时关键求导，根据导数判断单调性以及极值。属于难题。18、（1）；（2）.【解题分析】

(1)由题意得，解方程即得a，b的值即得解；（2）先求出在上单调递减，在上单调递增，即得函数的值域.【题目详解】（1），由题意得，解得，，经检验为的极小值点，符合题意.（2）由（1）得当时，；当时，.所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为.因为，，所以的最大值为.所以在上的值域为.【题目点拨】本题主要考查利用导数研究函数的极值和最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于基础题.19、（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）元.【解题分析】试题分析：（I）设工种每份保单的保费，则需赔付时，收入为，根据概率分布可计算出保费的期望值为，令解得.同理可求得工种保费的期望值；（II）按照每个工种的人数计算出份数然后乘以（1）得到的期望值，即为总的利润.试题解析：（Ⅰ）设工种的每份保单保费为元，设保险公司每单的收益为随机变量，则的分布列为保险公司期望收益为根据规则解得元，设工种的每份保单保费为元，赔付金期望值为元，则保险公司期望利润为元，根据规则，解得元，设工种的每份保单保费为元，赔付金期望值为元，则保险公司期望利润为元，根据规则，解得元.（Ⅱ）购买类产品的份数为份，购买类产品的份数为份，购买类产品的份数为份，企业支付的总保费为元，保险公司在这宗交易中的期望利润为元.20、（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解题分析】

（1）以AB，AC，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，求出各点的坐标及对应向量的坐标，易判断，即；（2）设出平面ABC的一个法向量，我们易表达出，然后利用正弦函数的单调性及正切函数的单调性的关系，求出满足条件的值，进而求出此时的正线值；（3）平面PMN与平面ABC所成的二面角为，则平面PMN与平面ABC法向量的夹角余弦值的绝对值为，代入向量夹角公式，可以构造一个关于的方程，解方程即可求出对应值，进而确定出满足条件的点P的位置．【题目详解】（1）证明：如图，以AB，AC，分别为，，轴，建立空间直角坐标系．则，，，从而，，，所以．（2）平面ABC的一个法向量为，则（※）．而，当最大时，最大，无意义，除外，由（※）式，当时，，．（3）平面ABC的一个法向量为．设平面PMN的一个法向量为，由（1）得．由得，解得，令，得，∵平面PMN与平面ABC所成的二面角为，∴，解得．故点P在的延长线上，且．【题目点拨】本题考查的知识点是向量评议表述线线的垂直、平等关系，用空间向量求直线与平面的夹角，用空间向量求平面间的夹角，其中熟练掌握向量夹角公式是解答此类问题的关键．21、（Ⅰ）在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为优惠活动好评与商品状况好评之间有关系．（Ⅱ）见解析【解题分析】

（Ⅰ）根据独立性检验的公式，求得K3的值，利用附表即可得到结论；（Ⅱ）求得X的取值分别为，利用相互对立事件的计算公式，求得相应的概