工程力学 课件-第11、12章-组合变形、压杆稳定

工程力学1组合变形的概念和实例2杆件承受轴向拉（压）与弯曲组合变形时的强度计算3梁斜弯曲时的强度计算4平面应力状态应力分析章节目录|CONTENT5广义胡克定律第十一章

组合变形6强度理论和相当应力7圆轴承受弯扭组合变形时的强度计算组合变形:构件在荷载作用下，同时发生两种或两种以上的基本变形工程实用:烟囱，传动轴，吊车梁的立柱烟囱：自重引起轴向压缩

+水平方向的风力而引起弯曲，传动轴：在齿轮啮合力的作用下，发生弯曲

+扭转

立柱：荷载不过轴线，为偏心压缩=轴向压缩

+纯弯曲组合变形的概念和实例组合变形强度计算的步骤:1.外力分析

将荷载简化为符合基本变形外力作用条件的静力等效力系。2.内力分析

分别做出各基本变形的内力图，确定构件危险截面位置及其相应内力分量。3.应力分析

按危险截面上的内力值，分析危险截面上的应力分布，确定危险点所在位置，按叠加原理画出危险点的应力状态图。4.强度分析

根据危险点的应力状态和杆件的材料按强度理论进行强度计算。

叠加法：将作用于杆件上的荷载简化，简化后的每一荷载只产生一种基本变形；每一种基本变形下杆件的应力和位移，结果叠加起来。屋架传来的压力吊车传来的压力自重风力组合变形的概念和实例横向力与轴向力共同作用

略去由轴向力引起的弯矩,按叠加原理分别计算由横向力和轴向力引起的杆横截面上的正应力，求其代数和，即得在拉伸(压缩)和弯曲组合变形下，杆横截面上的正应力。

图示由两根槽钢组成杆件的计算图，在其纵对称面内有横向力F和轴向拉力Ft共同作用，分析杆在拉伸与弯曲组合变形时的强度计算。FtFtF2hh2

xyz杆件承受轴向拉（压）与弯曲组合变形时的强度计算

在拉力Ft作用下，杆各个横截面上有相同的轴力FN=Ft,拉伸正应力

t在各横截面上的各点处均相等

在横向力F作用下，杆跨中截面上的弯矩为最大，Mmax=Fl/4。跨中截面是杆的危险截面。该截面上的最大弯曲正应力

t=FANFtFtF2hh2

xyz

WmaxM=b

WmaxM杆件承受轴向拉（压）与弯曲组合变形时的强度计算

按叠加原理，杆件的最大正应力是危险截面下边缘各点处的拉应力,值为当b＞t当t=bb当＜t

正应力沿截面高度的分布情况：

注意:当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时，杆内的最大拉应力和最大压应力必须分别满足杆件的拉、压强度条件。

危险点处为单轴应力状态，故可将最大拉应力与材料的许用应力相比较，以进行强度计算。

杆件承受轴向拉（压）与弯曲组合变形时的强度计算

一矩形截面折杆尺寸如图所示，已知F＝50kN，α＝30°。求B点横截面上的应力。解：B点处的内力为B点处的应力为

杆件承受轴向拉（压）与弯曲组合变形时的强度计算例题：

厂房立柱的下端与基础固定，其形状、尺寸、加载方式如图所示（图中长度单位为毫米）。试求柱横截面上的最大正应力。杆件承受轴向拉（压）与弯曲组合变形时的强度计算课堂练习：FF1F2载荷偏离纵向对称面两个纵向对称面同时作用有载荷非对称弯曲问题梁斜弯曲时的强度计算纵向对称面梁斜弯曲时的强度计算当F1和F2共同作用时，应用叠加法应根据弯距在该点造成的应力方向,再叠加危险点：m-m截面上角点B有最大拉应力，

D有最大压应力；可见，B、D点就是危险点，离中性轴最远强度条件：B、D角点处的切应力为零，按单向应力状态来建立强度条件。设材料的抗拉和抗压强度相同，则斜弯曲时的强度条件为梁斜弯曲时的强度计算

一般生产车间所用的吊车大梁,两端由钢轨支撑，可以简化为简支梁，如图所示。图中l＝4m，大梁由32a热轧普通工字钢制成，许用应力[σ]＝160MPa。起吊的重物重量F＝80kN，且作用在梁的中点，作用线与y轴之间的夹角α＝5°，试校核吊车大梁的强度是否安全。梁斜弯曲时的强度计算例题：（1）将斜弯曲分解为两个平面弯曲的叠加解：梁斜弯曲时的强度计算（2）确定两个平面弯曲的最大弯矩（3）计算最大正应力并校核强度查表：（4）讨论，若

α=0，则结论：吊车起吊重物只能在吊车大梁垂直方向起吊，不允许在大梁的侧面斜方向起吊！！！不安全！！！梁斜弯曲时的强度计算

一般情况下，受力构件内一点处的应力较为复杂，强度条件的建立需解决的问题：1、了解过该点各不同方位截面上的应力变化规律，从而确定该点的最大应力;2、应力的组合形式有无限多的可能性，不可能由实验的方法来确定每一应力组合下材料的极限应力，因此需确定引起材料破坏的共同因素，从而确定许用应力。

关于材料破坏的共同因素（即破坏规律）的假说，即称为强度理论。可根据强度理论来建立强度条件。最大应力通过一点处的应力状态来确定。平面应力状态应力分析

构件内一点处各截面方向上的应力的情况，称为该点的应力状态。可由围绕该点的一个单元体面上的应力表示。一点处的应力状态目的：通过应力状态分析求出该点处的

max、

max及其作用面，从而更好地进行强度分析。特点:单元体每个面上应力均布；每对相互平行面上的性质相同的应力大小相等；可用截面法求任一截面上的应力。单元体如何取？

在研究点的周围，取一个由三对互相垂直的平面构成的六面体，该六面体的边长分别为无穷小量dx、dy和dz，如图所示。dydzdxzxy平面应力状态应力分析ssttttAF(a)

adcbAa'b'd'c'(b)

adcbAttttss

该应力状态则称为平面应力状态平面应力状态应力分析斜截面上的应力已知如下图a（或图b）所示的一平面应力状态：由截面法求与前、后两平面垂直的斜截面上应力。斜截面ef的外法线与x轴间的夹角为

，称为

截面。efanaxyzabcdtxty(a)sxsytysysxtxdabctxtytxx(b)sxsxsysytyy平面应力状态应力分析应力的正负和斜截面夹角的正负规定：α角

由x正向逆时针转到n正向者为正；反之为负。正应力拉应力为正压应力为负切应力使单元体或其局部顺时针方向转动为正；反之为负。平面应力状态应力分析公式推导：平面应力状态应力分析例题：某单元体应力如图所示，其铅垂方向和水平方向各平面上的应力已知，互相垂直的二斜面ab和bc的外法线分别与x轴成30o和－60o角，试求此二斜面ab和bc上的应力。在二向应力状态下，任意两个垂直面上，其σ的和为一常数。平面应力状态应力分析主应力和最大切应力平面应力状态应力分析求导，求极值：主应力主应力方位最大切应力按照值排序1、各向同性材料的广义胡克定律

对各向同性材料，在线弹性、小变形条件下，正应力只引起线应变，切应力只引起切应变，应力分量和应变分量的关系可由叠加原理求得.(1)、单向应力状态的广义胡克定律广义胡克定律1(2)、三向应力状态的广义胡克定律－叠加法++23广义胡克定律123123312广义胡克定律123广义胡克定律★分析：1、即2、当时，即为二向应力状态：3、当时，即为单向应力状态；即最大与最小主应变分别发生在最大与最小主应力方向。广义胡克定律4、若单元体上作用的是一般的应力时，则单元体不仅有线变形，而且有角变形。其应力-应变关系为：xzy广义胡克定律5、若平面单元体上作用的是一般的应力时，则单元体不仅有线变形，而且有角变形。其应力-应变关系为：广义胡克定律例题：某点的应力状态如图所示,当σx,σy,σz不变,τx增大时,关于εx值的说法正确的是____.A.不变B.增大C.减小D.无法判定εx仅与正应力有关，而与切应力无关。所以当切应力增大时，线应变不变。广义胡克定律ss1、概述

1)单向应力状态：强度条件：强度理论和相当应力2)纯剪应力状态：强度条件：t强度理论和相当应力3）复杂应力状态txsx

研究复杂应力状态下材料破坏的原因，根据一定的假设来确定破坏条件，从而建立强度条件，这就是强度理论的研究内容。不可以!强度理论和相当应力4）材料破坏的形式(常温、静载)

塑性屈服：

脆性断裂：铸铁：拉伸、低碳钢：拉伸、例如：例如：材料破坏的形式不仅与材料有关，还与应力状态有关。没有明显的塑性变形发生突然断裂产生显著的塑性变形构件丧失正常的工作能力扭转等；扭转等；强度理论和相当应力脆性断裂塑性断裂5）强度理论最大拉应力理论最大伸长线应变理论最大切应力理论形状改变能密度理论第一类强度理论第二类强度理论强度理论和相当应力强度条件：1）最大拉应力理论(第一强度理论)假设:

最大拉应力

t是引起材料脆性破坏的因素可见：a)与

2、3无关；

b)三轴压缩应力状态下不适用该强度理论；

c)

[

]试样发生脆性断裂的许用拉应力不局限于单轴拉伸。脆性断裂的判据:强度理论和相当应力假设:

最大伸长线应变

t是引起脆性破坏的主要因素2）最大伸长线应变理论(第二强度理论)脆性断裂的判据:复杂应力状态下:强度条件：实验验证：

a)可解释大理石单压时的纵向裂缝；

b)对铸铁一向拉、一向压的应力状态偏于安全；

c)铸铁二向、三向拉应力状态下的实验不符。强度理论和相当应力

对低碳钢等塑性材料，单向拉伸时的屈服是由45°斜截面上的切应力引起的，因而极限应力

u可由单拉时的屈服应力求得，即：3）最大切应力理论(第三强度理论)

假设:

最大切应力

max是引起材料塑性屈服的因素屈服判据:复杂应力状态下:屈服判据可改写为:＝常数强度理论和相当应力实验验证：c)二向应力状态基本符合，偏于安全。b)仅适用于拉压性能相同的材料。强度条件：a)仅适用于拉压性能相同的材料；b)低碳钢单拉(压)对45

滑移线吻合；存在问题：没考虑2对屈服的影响，偏于安全，但误差较大；强度理论和相当应力假设:形状改变能密度vd是引起材料塑性屈服的因素4）形状改变能密度理论(第四强度理论)材料单拉屈服时有：材料的屈服极限值：屈服判据:强度理论和相当应力强度条件：实验验证：a)较第三强度理论更接近实际值；b)材料拉压性能相同时成立。屈服判据:强度理论和相当应力强度理论的统一形式：

最大拉应力(第一强度)理论：

最大伸长线应变(第二强度)理论：

最大切应力(第三强度)理论：相当应力表达式:

形状改变能密度(第四强度)理论：强度理论和相当应力应用范围：a)仅适用于常温、静载条件下的均匀、连续、各向同性的材料；d)不论塑性或脆性材料，在三向拉应力状态都发生脆性断裂，宜采用第一强度理论；b)对于脆性材料，在二向拉应力状态下宜采用第一强度理论；c)对塑性材料，除三向拉应力状态外都会发生屈服，宜采用第三或第四强度理论；e)不论塑性或脆性材料，在三向压应力状态都发生屈服失效，宜采用第四强度理论。强度理论和相当应力例题：两危险点的应力状态如图，

=

，由第三、第四强度理论分别比较其危险程度。st(a)st(b)强度理论和相当应力解：对图a所示应力状态，因为所以：st(a)强度理论和相当应力对图b所示应力状态，有：所以：ts

可见：由第三强度理论，图b所示应力状态比图a所示的安全；而由第四强度理论，两者的危险程度一样。

注意：图a所示应力状态实际上为拉扭和弯扭组合加载对应的应力状态。强度理论和相当应力以圆截面杆分析弯扭组合时的强度计算问题曲拐,AB段为等直实心圆截面杆,作受力简化,作M、T图BAFlaFABMe=Fa_图TFa_FlM图F力使AB杆发生弯曲，外力偶矩Me=Fa使它发生扭转由弯矩、扭矩图知，危险截面为固定端截面A圆轴弯扭组合变形时的强度计算危险截面上与弯矩和扭矩对应的正应力、切应力为A截面的上、下两个点C1和C2是危险点C1点的应力状态，取单元体得---平面应力状态C12CCC34A1C2C3CC4C1按应力状态分析的知识，C1点三个主应力为可用相应的强度理论对其校核FABMe=Fa圆轴弯扭组合变形时的强度计算

用第三强度理论，第四强度理论。在这种特定的平面应力状态下，这两个强度理论的相当应力的表达式可得强度条件为其中，

=M/W、=T/Wp,相当应力改写为适用于空心圆截面杆，其它弯扭组合，可采用上面相似的分析方法。圆轴弯扭组合变形时的强度计算例题：图示圆轴，已知：F=8kN，M=3kNm，[σ]=100MPa，试用第三强度理论求轴的最小直径。圆轴弯扭组合变形时的强度计算工程力学1压杆稳定的概念2两端铰支细长中心压杆的临界载荷3其他杆端约束条件下细长中心压杆的临界载荷4欧拉公式的适用范围与经验公式章节目录|CONTENT5压杆稳定计算与提高压杆稳定性的措施第十二章

压杆稳定

压杆承受压力时，若压力超过一定的数值（一般低于屈服载荷），杆件的直线平衡是不稳定的，在干扰因素的作用下，将发生平衡状态的突变，即“失稳”。压杆失稳后将丧失继续承受原设计载荷的能力，而失稳现象又是突然发生的，所以结构中受压杆件的失稳常造成严重的后果，甚至导致整个结构物的倒塌。压杆稳定的概念典型失稳案例注重工程师个人素养与职业道德！遵守国家相关法律法规！视频链接/v?pd=wisenatural&vid=5337095901936710621三丰百货曾是韩国首都首尔（汉城）的地标性建筑，原址位于首尔瑞草区瑞草1洞，于1989年下半年竣工，1990年7月7日开始营业。三丰百货日平均接待顾客约4万人次，日均营业额超50万美元。

由于盲目扩建、加层，致使大楼四五层立柱不堪重负而产生失稳破坏，当地时间1995年6月29日18:05，大楼开始倒塌。在短短20秒内，5层百货大楼层层塌陷进地下4层内，共造成502人死亡，930人受伤，113人失踪。

本次事故是世界上建筑自行倒塌的伤亡极其重大事故之一。压杆稳定的概念压杆稳定：是指受压杆件平衡状态的稳定性。

当轴向压力P<Pij时，压杆处于直线形状；去掉干扰力后，杆仍能恢复到原来的直线形状。说明压杆在直线形状的平衡是稳定的。压杆稳定的概念

当P=Pij时，压杆在直线形状下的平衡就变为不稳定。当去掉干扰力后，杆会保持微弯状态，不能恢复到原来的直线形状。若继续加大力P使其超过Pij，杆会继续弯曲下去，直至破坏。

压杆在直线形状下的平衡由稳定转为不稳定的现象称为杆在直线形状下的平衡丧失了稳定性，简称“失稳”。压杆稳定的概念稳定平衡不稳定平衡临界状态临界压力:Fcr过

渡

压杆状态是否稳定，决定于压力F的大小，衡量杆件是否失稳的定值称为临界力，用Fcr表示。临界力越大，压杆越不容易失稳。

为了保证压杆安全可靠的工作，必须使压杆处于直线稳定平衡形式，因而压杆是以临界力Fcr作为其极限承载能力。压杆稳定的概念xyxyF(a)BAcrll2d

x(b)BywFcrM(x)=-Fcry（+）

边界条件：当x=0时，w=0。得：B=0，

令又通解形式则有两端铰支细长中心压杆的临界载荷则有又当时，

边界条件：两端铰支细长中心压杆的临界载荷xyxyF(a)BAcrll2d

x(b)BywFcrM(x)=-Fcry（+）理想中心压杆的欧拉临界力挠曲线为半波正弦曲线

必须使Fcr取最小值，则两端铰支细长中心压杆的临界载荷在确定的约束条件下，欧拉临界力Fcr：3）临界力与外部轴向压力的大小无关。1）临界力仅与材料（E）、长度(l)和截面尺寸(A)有关，材料的E越大，截面越粗，杆件越短，临界力Fcr越高；2）临界力是压杆自身的一种力学性质指标，反映承载能力的强弱，临界力Fcr越高，稳定性越好，承载能力越强；理想中心压杆的欧拉临界力公式两端铰支细长中心压杆的临界载荷两端铰支细长中心压杆的临界载荷例题：一细长木柱两端用球形铰链与其他物体连接，已知木柱的横截面为120mm160mm的矩形，杆长4m，木材的弹性模量E=10GPa。试计算木柱的临界力。解：因为细长木柱为矩形，所以I必须取最小截面惯性矩则木柱的临界力为μ称为压杆的长度因数，与约束性质有关。μl称为原压杆的相当长度约束越强，约束越弱，μ系数越小，临界力Fcr越高，稳定性越好；μ系数越大，临界力Fcr越低，稳定性越差。注意：式中的I

是截面的最小形心惯性矩。两端铰支细长中心压杆的临界载荷其他杆端约束条件下细长中心压杆的临界载荷例题：一细长活塞杆工作时可视为一端固定另一端自由，已知杆的直径为25mm，杆长0.9m，材料的弹性模量E=206GPa。试计算活塞杆的临界力。解：细长活塞杆工作时可视为一端固定另一端自由，则μ=2活塞杆的临界力为课堂练习：如果其他条件不变，杆两端的约束是一端固定另一端用铰链连接，那么活塞杆的临界力又是多少？其他杆端约束条件下细长中心压杆的临界载荷欧拉临界应力λ称为柔度，是一种量纲为“一”的量。欧拉公式的应用范围欧拉公式的适用范围与经验公式1)柔度λ中包含了除材料之外压杆的所有信息，是压杆本身的一个力学性能指标；2)柔度越大，压杆越细柔，临界应力scr越低，稳定性越差。λP仅与材料有关。可以使用欧拉公式计算压杆的临界力的条件是：对于Q235钢，λP＝100。欧拉公式的适用范围与经验公式压杆的临界应力总图1）当λ≥λP时，需考虑压杆的稳定性，可用欧拉公式计算σcr，此时压杆可称为大柔度杆或细长杆；2）当λS<λ<λP时，仍需考虑压杆的稳定性，但不可使用欧拉公式，而应采用经验公式计算σcr，此时压杆可称为中柔度杆或中长杆；3）当λ≤λS时，杆件应按照强度条件进行计算，此时压杆可称为小柔度杆或短粗杆。欧拉公式的适用范围与经验公式解：1）求BC杆的轴力以AB梁为分离体，对A点取矩，有：

托架AB的撑杆BC为钢管，外径D=50mm，内径d=40mm，撑杆两端用球形铰支连接，材料为Q235钢，