2024年度大学物理力学第八章机械振动

大学物理力学第八章机械振动12024/2/2目录contents简谐振动阻尼振动与受迫振动振动的合成与分解振动在介质中的传播多自由度系统的振动非线性振动与混沌22024/2/201简谐振动32024/2/2简谐振动是最基本、最简单的振动形式，指物体在跟偏离平衡位置的位移成正比，并且总是指向平衡位置的回复力的作用下的振动。简谐振动的物体所受的回复力F与物体偏离平衡位置的位移x成正比，且方向始终指向平衡位置；振动过程中，系统的机械能守恒。简谐振动的定义与特点特点定义42024/2/2动力学方程根据牛顿第二定律，简谐振动的动力学方程可以表示为F=-kx，其中F为回复力，k为比例系数，x为物体偏离平衡位置的位移。运动学方程简谐振动的运动学方程可以表示为x=Acos(ωt+φ)，其中A为振幅，ω为角频率，t为时间，φ为初相。简谐振动的方程52024/2/2势能与动能在简谐振动过程中，系统的势能Ep和动能Ek都在不断变化，但它们的总和保持不变，即机械能守恒。能量转换在振动过程中，势能和动能之间不断相互转换。当物体向平衡位置运动时，势能减小、动能增加；当物体远离平衡位置时，势能增加、动能减小。简谐振动的能量62024/2/2同方向同频率简谐振动的合成当两个同方向、同频率的简谐振动同时作用于同一物体时，它们的合振动仍然是一个简谐振动，其振幅等于两个分振动振幅的矢量和，其初相等于两个分振动初相的差。同方向不同频率简谐振动的合成当两个同方向、不同频率的简谐振动同时作用于同一物体时，它们的合振动一般不再是简谐振动，而是比较复杂的周期性振动。在某些特定条件下（如两个分振动的频率成简单整数比），合振动可能会呈现出一定的规律性。相互垂直的简谐振动的合成当两个相互垂直的简谐振动同时作用于同一物体时，它们的合振动轨迹一般是一条复杂的曲线。在某些特定条件下（如两个分振动的频率相同、相位差为90度），合振动轨迹可能会呈现出一定的规律性，如圆形、椭圆形等。简谐振动的合成72024/2/202阻尼振动与受迫振动82024/2/2阻尼振动的定义与分类阻尼振动是指振动系统在振动过程中，由于系统内部摩擦或外部介质阻力的存在，使振动幅度逐渐减小，能量逐渐耗散的振动。定义根据阻尼系数的大小，阻尼振动可分为过阻尼、临界阻尼和欠阻尼三种情况。其中，过阻尼表示阻尼系数较大，振动系统无法形成完整的振动周期；临界阻尼表示阻尼系数恰好使系统在不形成完整振动周期的情况下，以最快速度回到平衡位置；欠阻尼表示阻尼系数较小，振动系统可以形成完整的振动周期，但振幅逐渐减小。分类92024/2/2阻尼振动的微分方程一般形式为$mddot{x}+cdot{x}+kx=0$，其中$m$为质量，$c$为阻尼系数，$k$为弹性系数，$x$为位移。方程阻尼振动的解根据阻尼系数和初始条件的不同而有所差异。一般情况下，阻尼振动的解可以表示为$x(t)=e^{-betat}(Acos(omegat)+Bsin(omegat))$，其中$beta$为阻尼比，$omega$为固有频率，$A$和$B$为由初始条件确定的常数。解阻尼振动的方程与解102024/2/2定义受迫振动是指振动系统在周期性外力的作用下，产生的与外力频率相同的振动。分类根据外力频率与系统固有频率的关系，受迫振动可分为共振、近共振和非共振三种情况。其中，共振表示外力频率与系统固有频率相等或接近，此时振动幅度最大；近共振表示外力频率与系统固有频率相差不大，振动幅度也较大；非共振表示外力频率与系统固有频率相差较大，振动幅度较小。受迫振动的定义与分类112024/2/2受迫振动的微分方程一般形式为$mddot{x}+cdot{x}+kx=Fcos(Omegat)$，其中$F$为外力振幅，$Omega$为外力频率。方程受迫振动的解可以表示为$x(t)=Acos(Omegat-varphi)$，其中$A$为受迫振动振幅，$varphi$为相位差。受迫振动的振幅和相位差可以通过将特解代入微分方程求解得到。解受迫振动的方程与解122024/2/203振动的合成与分解132024/2/2当两个或多个振动在同一直线上且频率相同时，它们的合成振动仍在这一直线上，且合成振动的振幅等于各分振动振幅的矢量和。振动合成的原理相位差决定了合成振动的振幅大小，当两个分振动的相位差为0或π时，合成振动的振幅最大或最小。相位差的影响当两个同方向同频率的分振动存在微小的频率差时，会产生拍现象，即合成振动的振幅随时间周期性变化。拍现象同方向同频率振动的合成142024/2/2

同方向不同频率振动的合成振动合成的原理当两个振动在同一直线上但频率不同时，它们的合成振动通常不再是简谐振动，而是复杂的周期性振动。拍频现象当两个分振动的频率相近时，会产生拍频现象，即合成振动的振幅随时间缓慢变化，而拍频等于两个分振动频率之差。波形分析通过波形图可以直观地分析同方向不同频率振动的合成效果，以及拍频现象的产生原因。152024/2/203直线轨迹当两个分振动的振幅相等且相位差为π/2或3π/2时，合成振动的轨迹是一条直线，即振动方向不变。01振动合成的原理当两个振动相互垂直时，它们的合成振动轨迹通常是一个椭圆或直线，取决于两个分振动的振幅和相位差。02椭圆轨迹当两个分振动的振幅不相等且相位差不为0或π时，合成振动的轨迹是一个椭圆。相互垂直振动的合成162024/2/2任何一个复杂的周期性振动都可以分解为若干个简谐振动的合成。通过振动分解，可以更方便地研究复杂振动的性质和规律。振动分解的原理将一个复杂的振动分解为同方向上的简谐振动分量，便于分析振动在不同方向上的影响。按振动方向分解将一个复杂的振动分解为不同频率的简谐振动分量，便于分析振动中不同频率成分的作用和贡献。按频率分解振动的分解172024/2/204振动在介质中的传播182024/2/2波动方程描述波在介质中传播的微分方程，一般为y=Acos[ω(t-x/u)+φ]，其中y为振动位移，A为振幅，ω为角频率，t为时间，x为传播距离，u为波速，φ为初相。波速波在介质中传播的速度，与介质的性质有关，一般表示为u=fλ，其中f为频率，λ为波长。波动方程与波速192024/2/2波的能量与传播波的能量波在传播过程中携带的能量，与振幅的平方成正比，表示为E=1/2ρA^2ω^2，其中ρ为介质密度，A为振幅，ω为角频率。波的传播波在介质中的传播过程，遵循能量守恒定律，能量从波源向四周传播，遇到障碍物会发生反射、折射等现象。202024/2/2VS介质中任一波面上的各点，都可以看做发射子波的波源，在任意时刻，这些子波在波前进方向的包络面就是新的波面。原理应用惠更斯原理可以解释波的反射、折射等现象，是波动理论的重要基础。惠更斯原理惠更斯原理212024/2/2当两列或多列波在同一介质中传播时，它们在相遇区域的振动是各自振动的叠加。当两列波的频率相同、振动方向相同、相位差恒定时，它们在相遇区域会形成稳定的干涉现象，干涉加强或减弱取决于相位差。波的叠加波的干涉波的叠加与干涉222024/2/205多自由度系统的振动232024/2/2振动方程振动模式固有频率和阻尼比响应分析两自由度系统的振动01020304描述两自由度系统振动的微分方程，通常是一组二阶常微分方程。两自由度系统具有两种基本的振动模式，即同相振动和反相振动。两自由度系统的固有频率和阻尼比是描述系统振动特性的重要参数。在给定初始条件下，求解振动方程以得到系统的响应。242024/2/2振动方程振动模式模态分析响应分析多自由度系统的振动描述多自由度系统振动的微分方程，通常是一组高阶常微分方程。通过模态分析可以将多自由度系统的振动问题转化为单自由度系统的振动问题来求解。多自由度系统具有多种振动模式，每种模式对应不同的固有频率和振型。在给定初始条件下，求解振动方程以得到系统的响应，需要考虑各阶模态的叠加效应。252024/2/2123多自由度系统中各自由度之间存在的相互作用和影响。振动耦合通过坐标变换或模态叠加等方法，将多自由度系统的振动问题转化为多个单自由度系统的振动问题来求解。解耦方法解耦后可以降低问题的复杂度，便于分析和求解，同时有助于理解系统的振动特性。解耦效果振动的耦合与解耦262024/2/2通过采取隔振措施，减少外部振动对系统的影响，提高系统的稳定性和可靠性。振动隔离减振方法减振效果通过阻尼器、减振器等装置，消耗系统的振动能量，降低系统的振动幅度。减振措施可以有效地改善系统的动态性能，提高乘坐舒适性和设备使用寿命。030201振动的隔离与减振272024/2/206非线性振动与混沌282024/2/2非线性振动定义系统振动过程中，其振动参数（如振幅、频率、相位等）随时间发生变化，且这种变化不能用线性微分方程描述的振动。要点一要点二非线性振动分类根据非线性项的性质，可分为参数振动、强迫振动和自激振动等。非线性振动的定义与分类292024/2/2近似解析法通过略去高阶小量或采用平均法等方法，将非线性微分方程简化为易于求解的形式，从而得到近似解。数值解法利用计算机进行数值计算，通过迭代、差分等方法求解非线性微分方程，得到振动过程的数值解。图解法通过绘制相图、波形图等图形，直观地展示非线性振动的特点和规律。非线性振动的分析方法302024/2/2混沌振动定义在确定性的非线性系统中，出现的一种貌似无规则的、类似随机的振动现象。混沌振动特点具有初值敏感性、长期不可预测性、频谱连续且含有噪声成分等特点。混沌振动的定义与特点312024/2/2通过测量系统的一个或多个变量的时间序