相似三角形动点问题（巩固篇）（专项练习）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（北师大版）

专题4.33相似三角形动点问题（巩固篇）（专项练习）

一、单选题

1.如图1,在矩形ABCD中，点E在C£>上，4EB=90°,点尸从点A出发，沿AfEfB

的路径匀速运动到点B停止，作于点。，设点尸运动的路程为x,PQ长为>,若y

与x之间的函数关系图象如图2所示，当x=6时，尸。的值是（）

96

A.2B.—C.—D.1

55

2.如图，R3ABC中，ZACB=90°,CD平分NACB交AB于点D,按下列步骤作图：

步骤1：分别以点C和点D为圆心，大于;8的长为半径作弧，两弧相交于M,N两点;

步骤2：作直线MN,分别交AC,BC于点E,F；

步骤3：连接DE,DF；

若AC=4,BC=2,则线段DE的长为（）

534

A.—B.—C.-y/2D.一

3273

3.如图，在矩形ABCD中，AB=9,BO12,点E是边BC上的一点，2EOBE,点P是对

角线AC上的一个动点，连接PE,过点E作EQ_LEP交线段AC于点Q,则PQ的最小值

是（）

A.1B.-C.—D.3

55

4.如图，在aABC中，BC=6,E,尸分别是A3,AC的中点，动点P在射线所上，BP

交CE于点、D,/CBP的平分线交CE于点Q,当CQ=：CE时，EP+BP的值为（）

A.6B.9C.12D.18

5.如图，正方形ABCD的边长为1,E、F分别是边BC和CD上的动点（不与正方形的顶

点重合），不管E、F怎样动，始终保持AELEF,设BE=x,DF=y,则y是x的函数，函数

关系式是（）

A.y=x+lB.y=x-lC.y=x2-x+1D.y=x2-x-I

6.如图，在钝角三角形ABC中，AB=6cm,ACD2cm,动点D从A点出发到B点止，

动点E从C点出发到A点止.点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm秒.如果两

点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是

)

A.3或2.8B.3或4.8C.1或4D.1或6

7.如图，已知点P是边长为5的正方形ABCD内一点，且PB=3,BKLBP于B,若在射

线BF上找一点M,使以点B,M,C为顶点的三角形与△ABP相似，BM的值为（）

A.3B.yC.3或1D.3或5

8.如图，在菱形A3CD中，AC=12,BD=16,动点P从点A出发，以每秒3个单位长度

的速度向点B运动，直到点8时停止；动点。同时从点C出发，以每秒2个单位长度的速

度向点。运动，当点P停止运动时，点Q随之停止运动，连接PQ交AC于点那么在

点P的运动过程中，线段QH的最小值是（）

48c96〃144-48

A.—B.—C.D・—

5252525

9.如图，在AABC中，ZC=90°,A8=10,8C=8.E是4c边上一动点，过点后作所〃AB

交8c于点尸，。为线段E尸的中点，当8。平分NABC时，AE的长度是（）

16-30八40r48

A.—B.—C.—D.—

13131313

10.如图，已知C是线段A8上的任意一点（端点除外），分别以AC,BC为斜边并且在A8

的同一侧作等腰直角AACD和BCE,连接AE交CO于点M,连接交CE于点N,给出

以下三个结论：①MN//AB；②上=工+」；③MN4；AB,其中正确结论的个数是

MNACBC4

（）

A.0B.1C.2D.3

11.在RSABC中,/C=90o,AC=3,BC=4,D是AB上一动点（不与A、B重合），DELAC于

点E,DF1BC于点F,点D由A向B移动时，矩形DECF的周长变化情况是（）

A.逐渐减小B,逐渐增大C.先增大后减小D.先减小后增大

12.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABC。的面积为定值，它的对称中心恰与原点重合，

且AB〃y轴，CO交x轴于点过原点的直线EF分别交A。、BC边于点E、F,以EF为

一边作矩形EFG”，并使EF的对边G”所在直线过点“，若点A的横坐标逐渐增大，图中

矩形EFG/7的面积的大小变化情况是（）

A.一直减小B.一直不变

C.先减小后增大D.先增大后减小

二、填空题

13.如图，在RSABC中，NBAC=90。，AB=AC=16cm,AD为BC边上的高.动点P从

点A出发，沿ATD方向以0cm/s的速度向点D运动.设^ABP的面积为Si,矩形PDFE

的面积为S2,运动时间为t秒（0<t<8）,则1=秒时，SI=2S2.

14.在△ABC中，AB=6,AC=8,BC=10,P为边BC上一动点，PELAB于E,PF±AC

于F,M为EF中点，则AM的最小值为.

15.在。ABCD中，E是AD上一点，且点E将AD分为2：3的两部分，连接BE、AC相

交于F,则SMEF：S^CBF是•

16.如图，在直角三角形A8C中，ZA=90°,AB=8,AC=15,8c=17.D,P分别是线

段AC,BC上的动点，则BQ+QP的最小值是.

17.如图，有一正方形ABC。，边长为4,点E是边CO上的中点，对角线BO上有一动点F,

当顶点为A、B、F的三角形与顶点为D、E、F的三角形相似时，8尸的值为.

18.如图，在△ABC中,AB=AC=10,点D是边BC上一动点（不与B,C重合），ZADE=ZB=a,

4

DE交AC于点E,且cosa=-.下列结论：©AADE^AACD：②当BD=6时，△ABD

25

与ADCE全等；③4DCE为直角三角形时，BD为8或：■；®CD2=CE<A.其中正确的

结论是（把你认为正确结论的序号都填上）

19.如图，矩形硬纸片ABCD的顶点A在V轴的正半轴及原点上滑动，顶点B在x轴的正

半轴及原点上滑动，点E为AB的中点，AB=24,BC=5,给出下歹lj结论：①点A从点0出发，

到点B运动至点O为止，点E经过的路径长为1271；0AOAB的面积的最大值为144；③

当0D最大时，点D的坐标为（生叵，竺返），其中正确的结论是（填写序号）.

2626

20.如图，在矩形48co中，A8=4,8C=3,点P、。分别为直线AB、8C上的动点，且

PDA.PQ,当△PDQ为等腰三角形时，则AP的长为.

21.如图，在△ABC中，BCn2,BC上的高AH=8,矩形DEFG的边EF在边BC上，顶

点D、G分别在边AB、AC±.设DE=x,矩形DEFG的面积为那么y关于x的函数

关系式是.（不需写出x的取值范围）.

22.如图，在直角坐标系中，点A（2,0）,点伏0,1）,过点4的直线/垂直于线段AB,点尸是

直线/上在第一象限内的一动点，过点户作PC，x轴，垂足为C,把△ACP沿AP翻折180。，

使点C落在点。处，若以A,D,尸为顶点的三角形与AABP相似，则满足此条件的点尸的

坐标为•

23.如图，矩形A8CD中，45=4,8c=8,E为CO的中点，点尸、。为8c上两个动点，

且PQ=3,当CQ=时，四边形APQE的周长最小.

24.如图，在矩形Q4HC中，0c=8,。4=12,8为C”中点，连接A8.动点M从点。出

发沿。4边向点A运动，动点N从点A出发沿A8边向点5运动，两个动点同时出发，速度

都是每秒1个单位长度，连接CM,CN,MN,设运动时间为f(秒)(0<f<10).贝"=

时，ACMN为直角三角形

三、解答题

25.已知：如图，四边形ABCD,AB〃DC,CB1AB,AB=16cm,BC=6cm,CD=8cm,动

点P从点D开始沿DA边匀速运动，动点Q从点A开始沿AB边匀速运动，它们的运动速

度均为2cm/s.点P和点Q同时出发，以QA、QP为边作平行四边形AQPE,设运动的时间

为t(s),0<t<5.

根据题意解答下列问题：

(1)用含t的代数式表示AP；

(2)设四边形CPQB的面积为S(cm2),求$与t的函数关系式；

(3)当QPLBD时，求t的值；

(4)在运动过程中，是否存在某一时刻t,使点E在NABD的平分线上？若存在，求出t

的值；若不存在，请说明理由.

26.如图，中，ZACB=90°,AC=6cm,8c=8cm,点。从点8出发，沿边BAfAC

以2cm/s的速度向终点C运动，过点。作。E〃8C,交边AC(或A8)于点区设点。的

运动时间为代)，△口)£的面积为S(cn?).

(1)当点。与点A重合时，求/的值；

(2)求S关于r的函数解析式，并直接写出自变量f的取值范围.

27.如图，在AABC中，BA=BC=20cm,AC=30cm,点尸从点A出发，沿A8以4aw/s的

速度向点B运动，同时点。从点C出发，沿C4以3c机/s的速度向点A运动，当其中一点到

达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为xs.

(1)当x为何值时，PQ//BC2

(2)AAP。与能否相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由.

28.如图，在矩形ABC。中，AB=8cm,BC=16cm,点P从点A沿边AB向点8以lcm/s的

速度移动，同时点Q从点8沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，有一点到终点运动即停

止，设运动时间为f秒.

(l)r为何值时，△P8Q的面积为12cm2；

(2)若PQ_LOQ,求f的值.

参考答案

1.B

【分析】

由图象可知：AE=3,BE=4,根据勾股定理可得AB=5,当x=6时，点P在BE上，设此时

的PQ为PQ，先求出P'E的长，再根据△P'Q'E~AAEB,求出P'Q'的长，即PQ的长.

【详解】

解：由图象可知：

AE=3,BE=4,ZA£B=90°,

-,.AB=732+42=5

当x=6时，点P在BE上，设此时的PQ为P'Q'如图

图1

止匕时P'E=4-(7-x)=x-3=6-3=3

VABCD是矩形，

/.AB//CD

/.^QEP=ZABE

•：NAEB=NPQ'E=90。

：./XPQE~AAEB

.PQEP

.PQ=3

，u~3~~5

9

・••也飞

即PQ=^9

故选：B.

【点拨】本题考查的是动点问题函数图象，涉及到三角形相似，勾股定理和矩形的性质，解

题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整

运动过程.

2.D

【分析】

先根据角平分线的性质得到/ECD=/DCF=45。，再根据垂直平分线的性质得到CE=DE,

ZECD=ZEDC=45°,进而得到NCED=90。，证得DE〃CB,所以△AEDs/\ACB,设

ED=x,根据相似三角形对应线段成比例列式求出x即可.

【详解】

：CD平分NACB,；.NECD=NDCF=45。，：MN垂直平分CD,；.CE=DE,/.ZECD

=/EDC=45°,.,.NCED=90°,又：/ACB=90°,；.DE〃CB,.,.△AED^AACB,

荒=器，设ED=x，则EC=x,AE=4—x,...三=],解得x=],故选D.

【点拨】本题主要考查了角平分线，垂直平分线，相似三角形的性质，解题的关键是证明

DE〃CB.

3.C

【详解】

解析:在RSABC中,

AC=y/AB2+BC2=A/92+122=15，

取PQ中点M,在RSPEQ中,

PQ=2EM,

当EM_LAC时，EM最小，

,/ZEMC=ZABC=90°,

ZECM=ZACB,

.,.△EMC^AABC

.EMEC

-AC

EM4

E[J—=—

915

.\EM=y,

・T

故选：C

4.C

【分析】

根据平行线和角平分线的性质得到相等的角，然后利用等角对等边，得出BP=PM,从而用

其它的线段长表示出EP+BP,再根据线段CQ和CE的关系，得出EQ和CQ的关系，再综合

根据平行线得出三角形相似得出EM和BC的关系，从而解决EP+BP的值.

【详解】

如图，延长8Q交射线EF于

F分另IJ是AB、AC的中点，

：.EF//BC,

：.ZM=ZCBM,

••,8。是NC8尸的平分线，

:.NPBM=NCBM,

；.NM=NPBM,

：.BP=PM,

：.EP+BP=EP+PM=EM,

•；CQ=；CE,

：・EQ=2CQ,

由EF//BC得，△MEQs^BCQ,

.EM_EQ

"^BC~"CQ

=2,

:.EM=2BC=2x6=12,

g|JEP+BP=12.

故选：C.

【点拨】本题考查了了平行线和角平分线的性质,相似三角形的判定和性质，解决本题的关

键是利用平行线和角平分线的性质得出相等的角，根据题意判定量三角形相似.

5.C

【详解】

试题分析：易证△ABES/SECF,根据相似三角形对应边的比相等即可求解.

解：；NBAE和NEFC都是NAEB的余角.

AZBAE-ZFEC.

.,.△ABE^AECF

那么AB：EC=BE：CF,

VAB=1,BE=x,EC=1-x,CF=1-y.

AAB«CF=EC«BE,

即lx(1-y)=(1-x)x.

化简得：y=x2-x+l.

故选C.

考点：根据实际问题列二次函数关系式.

6.B

【解析】

【分析】

根据相似三角形的性质，由题意可知有两种相似形式，△AQEs/viBC和

可求运动的时间是3秒或4.8秒.

【详解】

根据题意得：设当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是x秒，①

若△A£>ES/\A8C,则AO：A8=AE：AC,即x：6=(12-20：12,解得：x=3；

②若△A£>Es/\AC8,则A。：AC=AE：AB,即x：12=(12-2x)：6,解得：x=4.8.

所以当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是3秒或4.8秒.

故选B.

【点拨】本题考查了相似三角形的性质，解题时要注意此题有两种情况，不要漏解；还要注

意运用方程思想解题.

7.C

【分析】

由于/ABC=/PBF=90。，同时减去/PBC后可得到/ABP=NCBF,若以点B,M,C为顶

点的三角形与△ABP相似，那么必有：AB：PB=BC：BM或AB：BP=BM：BC,可据此求

得BM的值.

【详解】

•••四边形ABCD是正方形，

.,.ZABC=90°,AB=BC=5；

XVZPBF=90°,

/.ZABP=ZCBF=90°-ZCBP；

若以点B,M,C为顶点的三角形与△ABP相似，

EI不43BM5BM25

则：①=-ZTT，即nrl彳=-L-»解得BM=—;

rnDCS33

②生踪艮喘粉解得BM=3；

故选c.

【点拨】本题考查的知识点是相似三角形的判定和性质，解题关键是应注意相似三角形的对

应顶点不明确时，要分类讨论，不要漏解.

8.B

【分析】

2

由C0//AP得到△CQH^/XAPH,得。”：PH=2：3,进而得QH=,PQ,再求PQ的最小值，

即当PQ与菱形ABCD的高相等时PQ最小，根据面积求出菱形的高即PQ的最小值，从而

得出。”的最小值.

【详解】

解：在菱形ABC。中，CDMAB,

：.CQ//AP,

:.XCQHsXAPH；

设点P运动的时间为r（秒），贝UCQ=2f,AP=3t,

.QH_=CQ=2t_=2

"PH~AP~3t~3'

：.QH=^PQ；

当PQ_LCD时，即当P。与菱形ABC。的高相等时，P。的长最小，

设菱形ABC。的高为〃，

ZCOD=900,DO=^BD=S,C0=^AC=6,

CD=yjDCP+CO1=^82+62=10.-

10/?=yxl2x6,

48

解得/»=y,

故选：B.

【点拨】此题应用的知识有菱形的性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理及平行线间的

距离等，方法主要是面积法，难度中等.

9.B

【分析】

根据角平分线、中点及平行线的性质，得出FD=ED=FB,设FD=ED=FB=x,再根据

△CEF-ACAB,得出x的值，根据勾股定理即可求解.

【详解】

解：平分NABC

AZABD=ZFBD

'：EF//AB

ZFDB=ZABD

.\ZFDB=ZFBD

•••△FBD为等腰三角形

・・・FB=FD

•・・。为线段EF的中点

AFD=ED

.'.FD=ED=FB

设FD=ED=FB=x

EF=2x

*：EF//AB

.'.△CEF^ACAB

.CFEF

CBAB

.CB-FBEF

CBAB

解得：X=4£0

4064

.\CF=8-BF=8—

1313

〜八4080

EF=2x——=

1313

VZC=90°,AB=10,BC=8

；・AC=7AB2-BC2=>/102-82=6

在RSCEF中

4830

.,.AE=AC-CE=6—=

13

故选：B.

【点拨】本题主要考查了角平分线、中点及平行线的性质，也考察了相似三角形的性质，勾

股定理的应用；解题关键是熟练掌握角平分线、平行线以及相似三角形的性质以及利用方程

解决实际问题.

10.D

【分析】

（1）用平行线分线段成比例定理；

（2）根据相似三角形的性质，化简分式可得;

（3）要利用二次函数最值即可求解.

【详解】

解：（1）：CD〃BE,

,.△CND^AENB,

=史①，

NEBE

ZCE//AD,

'.△AMD^AEMC,

•MECE)

••等腰直角△ACD和ABCE,

\CD=AD,BE二CE,

CNAM

~NE~~ME

・・・MN〃AB；

(2)VCD#BE,

.'.△CND^AENB,

.CNDN

^~NE~~NB'

CNDN

设VL——==k,

NENB

则CN=kNE,DN=kNB,

VMN/7AB,

.MN_NENE1

**AC-CE-NE+CN_1+7

MNDNDNk

~BC~^B-DN+NB-I7T，

.MNMN、

••-<----=1,

ACBC

.1-11

••-1:

MNACBC

ACx3cACxBC

AMN=

AC+BCAB

设AB=a(常数)，AC=x,

则MN=，x(a-x)=--

aa

...正确的结论有3个,

故选：D.

【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的判定

与性质.

11.A

【详解】

试题分析：:DELAC于点E,ZC=90°,

；.ED〃BC,

.,.△AED^AACB,

.AEED

"~AC~'BC'

；AC=3,BC=4,

4

AED=-AE；

3

3

同理可得DF=—BF；

4

4343

J矩形DECF的周长C为=2(ED+DF)=2(-AE+-BF)=2[-AE+-(BC-CF)]

3434

43341

=2[-AE+-x4—x-AE]=2(3+-AE),

34433

・・・AE是从0到3逐渐增大，所以DECF的周长也逐渐增大.

故选A.

考点：1.相似三角形的判定与性质；2.矩形的性质.

12.B

【分析】

QPOF

设G”交4。于K,AC与轴交于点P.由△OPEsAEHK,推出一=—,推出OP・EK

HEEK

=HE-OE,易证四边形。MKE是平行四边形，推出EK=OM,推出0户。加="4。£,由矩

形ABC。的面积为定值，推出。尸0M是定值，推出HE，0E是定值，由矩形EFG”的面积

=2HE・E0,推出矩形EFG”的面积是定值.

【详解】

如图，设G”交4)于K,与轴交于点尸.

:N0EP+NHEK=9Q。,NHEK+NHKE=9Q°,

：.NHKE=ZOEP,

"：ZOPE=ZH=90°,

:.△OPEsAEHK,

.OP_OE

••=,

HEEK

OP・EK=HE*OE,

易证四边形OMKE是平行四边形，

：.EK=OM,

：.OP-OM=HE-OE,

•.•矩形48CQ的面积为定值，

是定值，

是定值，

:矩形EFGH的面积=2HE・E0,

...矩形EFGH的面积是定值.

故选8.

【点拨】本题考查矩形的性质、坐标与图形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题

的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题.

13.6.

【详解】

「RSABC中，ZBAC=90°,AB=AC=16cm,AD为BC边上的高,

AD=BD=CD=8^/2cm.

又•.•AP=0r，AS.=-APBD=-->/2tS>j2=St,PD=8亚一五t.

22

ppAPpp5t

•・・PE〃BC,/.AAPE^AADC.—=—,CP—==^-==>PE=V2t.

DCAD8A/28A/2

PE=AP=yf2t.

2

S2=PDPE=(8^->/2t)-V2t=16t-2t.

:

VSI=2S2,.,.8t=2（16t-2t）,解得：t=6.

14.2.4

【分析】

根据已知得当AP_LBC时，AP最短，同样AM也最短，从而不难根据相似比求得其值.

【详解】

连结AP,

在△ABC中，AB=6,AC=8,BC=10,

.•.NBAC=90。，

VPE±AB,PF_LAC,

•••四边形AFPE是矩形，

；.EF=AP.

：M是EF的中点，

.*.AM=gAP,

根据直线外一点到宜线上任一点的距离，垂线段最短，即APJ_BC时，AP最短，同样AM

也最短，

.,.当AP_LBC时，△ABP^ACAB,

AAP：AC=AB：BC,

AAP：8=6：10,

；.AP最短时，AP=4.8,

当AM最短时，AM=AP+2=2.4.

故答案为2.4

【点拨】解决本题的关键是理解直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用相似

求解.

15.4:25或9:25

【分析】

分/㈤皮>=2：3、AE：£»=3：2两种情况，根据相似三角形的性质计算即可.

【详解】

解：①当AE：£»=2：3时，

•.•四边形ABCD是平行四边形，

：.AD//BC,AE：80=2:5,

②当E£>=3：2时，

同理可得，％"%•"=(9=9：25,

故答案为4：25或9:25.

【点拨】考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的面积比

等于相似比的平方是解题的关键.

,,240

16.

17

【分析】

作B关于AC的对称点E,过E作EPLBC于P,交4。于D则AE=AB=S,此时，BD+DP

的值最小，BD+DP的最小值=改，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论.

【详解】

作B关于4c的对称点E,过E作EPJ_BC于尸，交4。于。，

则AE=A8=8,此时，BD+DP的值最小，8£>+。尸的最小值=EP,

；N84C=N8PE=90°,NC=NE,

△ABCs/\PBE,

,BEPE

•就一就

.16PE

,,—―----

1715

240

~n~

故答案为：得240

【点拨】本题主要考查了三角形的动点问题与相似三角形的综合运用，熟练掌握相关概

念是解题关键.

17.2&或逑.

3

【分析】

分AABFSAFDE和AABFSA£D尸两种情形求解即可.

【详解】

依题意可得：BD=yjAB2+AD2=^42+42=472>

设3尸=》，则有力F=40-x;

①当△A3尸s^FDE时，（如图I）

由誓=黑得逑H=解得…=电=2应：

BABF4x

②当AABFSA££>尸时，（如图2）

由史="得越二=2,

BFBAx4

解得：x=—：

3

综上所述，8尸的值为2夜或逑.

3

故答案为：2母或也.

3

【点拨】本题考查了正方形背景下的三角形相似，熟练掌握三角形相似的判定定理，灵活运

用分类思想求解是解题的关键.

18.①②③

【分析】

山AB=AC可知/B=NC,再由/ADE=/B可判断①；由三角形外角和定理可得

ZADB=ZDAC+ZC,/DEC=/DAC+/ADE,而/B=/C=/ADE=/a,再由AB=AC且

4

cosa=g可求解出BC=16,则CD=I6-6=IO=AB,据此可判断②；由上问可知NADB=NDEC,

分NDEC=90。和/EDC=90。这两种情况进行求解即可判断③;若CD2=CE»CA,则三=空，

CDCA

再由/C是公共角，可得△ADEsAACD,而根据题干条件并不能得到该相似结论，据此

可判断④.

【详解】

解：由AB=AC可知NB=NC,再由/ADE=NB可知△ADEs^ACD,故①正确；由三角

形外角和定理可得NADB=NDAC+NC,NDEC=NDAC+NADE,而NB=NC=/ADE,故

4

/ADB=/DEC.由AB=AC=10ftcosa=-,uj"求解BC=16,则CD=16-6=10=AB.综合上述，

由/B=NC、/ADB=NDEC、CD=AB可证明△ABD^ADCE；由上问可知NADB=NDEC,

当/DEC=90。时，/ADB=90。，则D点为BC中点，BD=8.当/EDC=90。时，，贝lJ/BAD=90。，

贝ljBD=10x3=g,故③正确；若CD2=CE・CA,则要=冬，再由NC是公共角，可得

△ADE-AACD,而根据题干条件并不能得到该相似结论，故④错误；

故答案为①②③.

【点拨】本题综合考查了三角形全等和相似，对其判定方法要非常熟悉.

19.②③

【分析】

①由条件可知AB=24,则AB的中点E的运动轨迹是圆弧，最后根据弧长公式即可计算出

点E所经过的路径长；②当△OAB的面积最大时，因为AB=24,所以AOAB为等腰直角三

角形，即OA=OB,可求出最大面积为144：③当O、E、D三点共线时，0D最大，过点D

作DF_Ly轴于点F,可求出OD=25,证明ADFA^AAOB和4DFOS^BOA,可求出DF

长，则D点坐标可求出.

【详解】

解：••,点E为AB的中点，AB=24,

•••AB的中点E的运动轨迹是以点O为圆心，12为半径的一段圆弧，

,/ZAOB=90°,

Qf)X1X

...点E经过的路径长为二:=6式,故①错误;

180

当AOAB的面积最大时，因为AB=24,所以△OAB为等腰直角三角形，即OA=OB,

YE为AB的中点，

•••5AOfi=^x24xl2=144,故②正确；

如图，当O、E、D三点共线时，OD最大，过点D作DFLy轴于点F,

.,.OD=DE+OE=13+12=25,

设DF=x,

；四边形ABCD是矩形，

••.ZDAB=90°,

?.ZDFA=ZAOB,

ZDAF=ZABO,

.'.△DFA^AAOB

♦E为AB的中点,ZAOB=90°,

.-.AE=OE,

.•.ZAOE=ZOAE,

/.△DFO^ABOA,

解得、=等4一誓舍去‘

D,故③正确.

故答案为②③.

【点拨】本题考查四边形综合题、直角形的性质、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等

知识.解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题.

20.1或7

【分析】

当P点在A8上，如图1,先根据等角的余角相等得到则可证明

ADPD

RtABPQ,利用相似比得到而=而=1,则P8=A£>=3,然后计算AB-P8

即可.当尸点在43的延长线上时，如图2,同样方法得到RSAOPsRs8PQ,利用相似

比得到P8=AO=3,然后计算AB+PB即可.

【详解】

解：当尸点在边A8上，如图1,

•・•四边形A8CO为矩形，

：.AD=BC=3fNA=N8=90。，

•；PDUQ,

・・・NDPQ=90。，

VZAPD+ZADP=90°fZAPD+ZBPQ=90°f

・•・/ADP=/BPQ,

ARtAADP^RtABPQ,

.AD_PD

""~BP~~PQJ，

：.PB^AD=3,

：.AP=AB-PB=4-3=1.

当尸点在AB的延长线上时，如图2,

同样方法得到RtAAOPsRsBPQ,

.AD_PD

''~BP~~PQ葭

：.PB^AD=3,

：.AP=AB+PB=4+3=1.

综上所述，AP的长度为1或7.

故答案为1或7.

【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形

中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般

方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系；也

考查了矩形的性质.

3

21.y=——x2+\2x；

2

【分析】

根据题意和三角形相似，可以用含x的代数式表示出。G,然后根据矩形面枳公式，即可得

到y与X的函数关系式.

【详解】

解：•••四边形DEFG是矩形，BC=12.BC上的高AH=8,DE=x,矩形OEFG的面积为

：.DG//EF,

・•.AADGSAABC,

.8-x_DG

••=,

812

得DG=3(8；x),

...…自―、⑵,

22

故答案为：y=--x+I2x.

【点拨】本题考查根据实际问题列二次函数关系式、相似三角形的判定与性质，解答本题的

关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

22.（1」）或（4,4）

【分析】

求出直线1的解析式，证出AAOBsaPCA,得出段=坐=1,设AC=m（m>0）,贝U

AOPC2

AnAC1

PC=2m,根据APCAgZXPDA,得出一=—=一，当APADS/^PBA时，根据

PDPC2

黑=普=；,AP=2区m?+（2"i）2=（2非）2,得出m=2,从而求出P点的坐标为（4,4）、

iL/iZ

（。,⑷，若APADS^PA,得出pA式A而n可i求出吁冬R从而得出川+（2人

求出初=;,即可得出P点的坐标为（I』

【详解】

；点A(2,0),点B(0,1),

••直线AB的解析式为y=-；x+1

.•直线1过点A(4,0),且1_LAB,

••直线1的解析式为：y=2x-4,ZBAO+ZPAC=90°,

,・PC_Lx轴,

•・ZPAC+ZAPC=90°,

•・ZBAO=ZAPC,

/ZAOB=ZACP,

,.△AOB^APCA,

.BOAO

，a~CA~~PC9

.BOAC\

••-----=------~.

AOPC2

设AC=m(m>0),贝ijPC=2m,

VAPCA^APDA,

・・・AC=AD,PC=PD,

,ADAC\

••==一•

PDPC2

如图1：当^PAD^APBA时,

nd。PD

则一=—，

BAPA

nilADBA1

PDPA2

,;AB=fE+22=5

；.AP=2石,

...>+(2㈤2=(26)2,

；.m=±2,(负失去)

/.m=2,

当m=2时，PCM,OC=4,P点的坐标为(4,4),

如图2,若APADsaBPA,

PAAD1

贝nillj—=—=-，

BAPD2

PA=-AB=—,

22

m=±y,(负舍去)

.1

..m=—,

2

当m=L时，PC=1,0C=—,

22

，P点的坐标为(g,1),

故答案为：P(4,4),P(1,1).

【点拨】此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是相似三角形和全等三角形的判定与性

质、勾股定理、一次函数等，关键是根据题意画出图形，注意点P在第一象限有两个点.

23.|

【分析】

要使四边形APQE的周长最小.AE与PQ长均为定值，只需AP+QE最短即可，为此将AP

向右平移3,使P点与Q点从何，A点平移到A，，过A作BC对称点A",连结AA"交BC

于F,由对称性A，Q=A"Q,AQ"+QE最短,此时A"、Q、E三点共线，可推得△AFQ^AECQ,

AFFQ2

则葭=&=rCQ可求.

【详解】

在4）上截取=PQ=3,作A'关于8C的对称点A"对称中心记为F。连接"E交BC于

点Q,此时四边形4尸。后的周长最小,

.•./A"=NQEC,NA"QF=NEQC,

VCE=-CD=2,AAC=BF=3,

2

\C尸=8-3=5,

\△CEQ~AFA“Q,

\CQ--C--E-—^―T

QFAT2'

/.FQ=2CQ,FQ+CQ=CF=5,

\CQ=gcF=g.

故答案为：

【点拨】本题考查四边形周长最短问题，由AE与PQ长为定值，利用平移AP,将点P与

点Q重合,A点平移到A',过A，作BC对称点A",A，A"交BC于F,由对称性知AQ=A"Q,

A"、Q、E三点共线时最短，利用△AFQS/\ECQ性质解决FQ=2CQ,构造方程解决问题.

g或41■-衣I

24.

4

【分析】

△CMN是宜角三角形时，有三种情况，一是NCMN=90。，二是/MNC=90。，三是NMCN=90。,

然后进行分类讨论求出t的值.

【详解】

解:

过点N作OA的垂线，交OA于点F,交CH于点E,如图1,

TB点是CH的中点，

.'.BH=-CH=-OA=6,

22

VAH=OC=8,

・・・由勾股定理可求：AB=10,

VAN=t,

ABN=10-t,

VNE/7AH,

.'.△BEN^ABHA,

.BNEN

.10—EN

10~~T'

•匚z4（1。7）

..EN=----------

5

4

AFN=8-EN=-r,

当NCMN=90。，

3

山勾股定理可求：AF=-r,

VOM=t,

AAM=12-t,

38

/.MF=AM-AF=12-t-

55

VZOCM+ZCMO=90°,ZCMO+ZFMN=90°,

.'.ZOCM=ZFMN,

VZO=ZNFM=90°,

.'.△COM^AMFN,

・PCOM

8_J_

当NMNO90。,

4

FN=-r

5

4

AEN=8—r

5

Q

VMF=12--f

5

3

・•・CE=OF=OM+MF=12-T

5

VZMNF+ZCNE=90°,

ZECN+ZCNE=90°,

.'.ZMNF=ZECN,

ZCEN=ZNFM=90°,

/.△CEN^ANFM,

.CEEN

••丽一赢’

34

\2--t8--r

・5_5

—t12—t

55

.41±>/24T

••t=-------------,

4

V0<t<5,

.41-衣7

••t=------:

当NNCM=90°,

由题意知：此情况不存在，

综上所述，4CMN为直角三角形时，t=J或41一同

24

【点拨】本题主要考查r相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，有一定的综合性.

25.(1)AP=10-2t；(2)S=-t2-121+78；(3)当1=三$时，PQ1BD；(4)存在.当t="

53618

s时，点E在NABD的平分线.理由见解析.

【分析】

(1)如图作DH_LAB于H则四边形DHBC是矩形，利用勾股定理求出AD的长即可解决

问题；

(2)作PN_LAB于N.连接PB,根据S=SAPQB+SABCP，计算即可;

(3)当PQ_LBD时，ZPQN+ZDBA=90°,ZQPN+ZPQN=90°,推出NQPN=NDBA,推

出tan/QPN浅咯，由此构建方程即可解解题问题；

FN5

(4)存在,连接BE交DHTK,作KM1BD于M.当BE平分NABD时，△KBH^AKBM,

Q

推出KH=KM,BH=BM=8,设KH=KM=x,在RsDKM中，(6-x)2=22+x2,解得x=9,