个性化教案 数列通项公式 数列求和 数列的题型与方法=数列全方位学习

个性化教案授课时间：备课时间：课题：数列通项公式学生姓名：教师姓名：教学目标精确掌握数列通项公式的解法．数列通项公式的几种求法教学过程高考递推数列题型分类归纳解析各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。我现在总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。类型1解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。例1.已知数列满足，，求。变式:已知数列，且a2k=a2k－1+(－1)k,a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3,…….（I）求a3,a5；（II）求{an}的通项公式.类型2解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例1:已知数列满足，，求。例2:已知，，求。变式:（全国I,理15．）已知数列{an}，满足a1=1，(n≥2)，则{an}的通项类型3（其中p，q均为常数，）。解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。例:已知数列中，，，求.变式:（福建.理22.本小题满分14分）已知数列满足（I）求数列的通项公式；（II）若数列{bn}滿足证明：数列{bn}是等差数列；类型4（其中p，q均为常数，）。（或,其中p，q,r均为常数）。解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再待定系数法解决。例:已知数列中，,，求。变式:（全国I,理22,本小题满分12分）设数列的前项的和，（Ⅰ）求首项与通项；（Ⅱ）设，，证明：类型5递推公式为（其中p，q均为常数）。解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为其中s，t满足解法二(特征根法)：对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。解法一（待定系数——迭加法）:数列：，，求数列的通项公式。例:已知数列中，,,，求。变式:1.已知数列满足（I）证明：数列是等比数列；（II）求数列的通项公式；（III）若数列满足证明是等差数列2.已知数列中，是其前项和，并且，⑴设数列，求证：数列是等比数列；⑵设数列，求证：数列是等差数列；⑶求数列的通项公式及前项和。类型6递推公式为与的关系式。(或)解法：这种类型一般利用与消去或与消去进行求解。例：已知数列前n项和.（1）求与的关系；（2）求通项公式.（2）应用类型4（（其中p，q均为常数，））的方法，上式两边同乘以得：由.于是数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以变式:（陕西,理,20本小题满分12分)已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an变式:(江西,文,22．本小题满分14分）已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn－Sn－2=3求数列{an}的通项公式.类型7解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列。例:设数列：，求.变式:（山东,文,22,本小题满分14分）已知数列｛｝中，在直线y=x上，其中n=1,2,3…(Ⅰ)令(Ⅱ)求数列(Ⅲ)设的前n项和,是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在试求出不存在,则说明理由.类型8解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再利用待定系数法求解。例：已知数列｛｝中，，求数列变式:（江西,理,21．本小题满分12分）已知数列证明（2）求数列的通项公式an.变式:（山东,理,22,本小题满分14分）已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，…证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列；设Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an)，求Tn及数列｛an｝的通项；记bn=，求｛bn｝数列的前项和Sn，并证明Sn+=1类型9解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为。例：已知数列｛an｝满足：，求数列｛an｝的通项公式。变式:（江西,理,22,本大题满分14分）1.已知数列｛an｝满足：a1＝，且an＝求数列｛an｝的通项公式；证明：对于一切正整数n，不等式a1a2……an2n！2、若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式。3、已知数列{}满足时，，求通项公式。4、已知数列｛an｝满足：，求数列｛an｝的通项公式。5、若数列｛a｝中，a=1，a=n∈N，求通项a．类型10解法：如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中p、q、r、h均为常数，且），那么，可作特征方程,当特征方程有且仅有一根时,则是等差数列;当特征方程有两个相异的根、时，则是等比数列。例：已知数列满足性质：对于且求的通项公式.例：已知数列满足：对于都有若求（2）若求（3）若求（4）当取哪些值时，无穷数列不存在？变式:（重庆,文,22,本小题满分12分）数列记（Ⅰ）求b1、b2、b3、b4的值；（Ⅱ）求数列的通项公式及数列的前n项和类型11归纳猜想法解法：数学归纳法变式:（全国II,理,22,本小题满分12分）设数列｛an｝的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n＝1，2，3，…（Ⅰ）求a1，a2；（Ⅱ）｛an｝的通项公式类型12双数列型解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。例：已知数列中，；数列中，。当时，,，求,.类型14周期型解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。例：若数列满足，若，则的值为___________。变式:（湖南,文，5）已知数列满足，则= （） A．0 B． C． D．数列求和第一部分：知识梳理第一部分：知识梳理一、基本数列的前项和⑴等差数列的前项和：⑵等比数列的前项和：①当时，；②当时，；⑶基本数列的前项和：.二、数列求和的常用方法：公式法；性质法；拆项分组法；裂项相消法；错位相减法；倒序相加法.三、重难点突破（一）抓住等差，等比数列的项的性质，整体代值可简化解题过程.问题1：⑴已知为等比数列的前项和，公比，则；⑵等差数列中，公差，且，则.分析：利用（或转化为）等差、数列等比前项和公式是最基本的方法；⑴要求前99项中序号为3的倍数项的和可进行整体考虑；⑵把当作一个整体考虑.解析：⑴，⑵，且，（二）裂项相消法求和中注意项数及项的处理.问题2：数列的前项和分析：此数列的第项应为（注意不是？），裂项求和时注意项数.解析：此数列的第项，数列的前项和第二部分：考点分析第二部分：考点分析题型1公式法、性质法求和【例1】⑴等比数列中的第5项到第10项的和为：⑵等差数列的前项和为18，前项为和28，则前项和为【解题思路】⑴可以先求出，再求出，利用求解；也可以先求出及，由成等比数列求解；⑵利用等差数列的性质求解.【解析】⑴利用等比数列前项和公式求解.由，得，，，⑵利用等差数列的性质求解.是等差数列，为等差数列，三点共线..【名师指引】利用等差（等比）数列的有关性质解题，可以简化运算.题型2拆项分组法求和【例2】求数列的前项和.【解题思路】根据通项公式，通过观察、分析、研究，可以分解通项公式中的对应项，达到求和的目的.【解析】.【名师指引】若数列的通项公式可分解为若干个可求和的数列，则将数列通项公式分解，分别求和，最终达到求和目的.题型3裂项相消法求和【例3】求和：.【解题思路】观察通项公式的特点，发现.【解析】原式.【名师指引】数列的常见拆项有：；；；.题型4错位相减法求和【例4】若数列的通项，求此数列的前项和.【解题思路】利用等比数列前项和公式的推导方法求和，一般可解决形如一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得数列的求和问题.【解析】，①②①-②，得..【名师指引】若一个数列是由一个等差数列与一个等比数列的对应项相乘所得数列，求和问题适用错位相减法.题型5倒序相加法求和【例5】设，求：⑴；⑵【解题思路】观察及的特点，发现.【解析】，.⑴⑵原式.【名师指引】通过分析对应的通项，可结合等差数列前项和的推导方法求解.☆⑴数列求和应该从通项入手；⑵数列求和的常用方法：公式法、性质法、拆项分组法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法.第三部分：新题导练第三部分：新题导练1.已知等比数列中，为的两个根，则.【解析】由已知得，，，.2.设函数定义如下表，数列满足且，则.x1234541352【解析】经计算得，是一个以4为周期的周期数列，注意项数的处理.3.求数列的前项和.【解析】.4.求数列的前项和.【解析】.5.⑴求和：；⑵求和：；⑶求和：.【解析】⑴原式.⑵原式.⑶.6.求数列的前项和.【解析】①①得，②①-②得，当时，；当时，.7.求和：【解析】，①则②①+②得，.作业1.数列中，，则数列的前项的绝对值之和为() 【解析】C.，，所求绝对值之和为2.的结果为()【解析】C.用错位相减法3.在项数为的等差数列中，所有奇数项和与偶数项和的比是() 【解析】A.利用等差数列的性质4.数列中，，若的前项和为，则项数为() 【解析】B.，，5.的结果为.【解析】，用裂项相消法.6.数列中，，则数列的前项和为.【解析】由，得，，，数列中，，则数列的前项和为.【解析】8.设是数列的前项和，，.⑴求的通项；⑵设，求数列的前项和.【解析】⑴，时，，整理得，，数列是以为公差的等差数列，其首项为，；⑵由⑴知，9.(2009恩城中学)观察下面由奇数组成的数阵，回答下列问题：⑴求第六行的第一个数；⑵求第20行的第一个数；⑶求第20行的所有数的和．【解析】解：⑴第六行的第一个数为31；⑵∵第行的最后一个数是，第行共有个数，且这些数构成一个等差数列，设第行的第一个数是，∴，∴，∴第20行的第一个数为381⑶第20行构成首项为381，公差为2的等差数列，且有20个数，设第20行的所有数的和为，则.高考真题1.【2011全国】6．设为等差数列的前n项和，若，公差为，则k= A．8 B．7 C．6 D．52.【2011北京】12．在等比数列{an}中，a1=，a4=4，则公比q=______________；a1+a2+…+an=_________________.3.【2011四川】9．数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，an+1=3Sn（n

≥1），则a6=（A）3×

44 （B）3×

44+1 （C）44 （D）44+14.【2011天津】11．已知为等差数列，为其前项和，， 若则的值为_______5.【2011安徽】（7）若数列的通项公式是 （A）15 （B）12 （C） （D）6.【2011广东】11．已知是同等比数列，a2=2,a4-a3=4,则此数列的公比q=______7.【2011江西】5.设{}为等差数列，公差d=-2，为其前n项和，若，则=（）A.18B.20C.22D.248.【2011浙江】（17）若数列中的最大项是第项，则=_______________。9.【2011辽宁】5．若等比数列{an}满足anan+1=16n，则公比为 A．2 B．4 C．8 D．1610.【2011辽宁】15．Sn为等差数列{an}的前n项和，S2=S6，a4=1，则a5=____________．11.【2011重庆】1．在等差数列中，，＝ A．12 B．14 C．16 D．18【2011上海】23、（18分）已知数列和的通项公式分别为，（），将集合中的元素从小到大依次排列，构成数列。⑴求三个最小的数，使它们既是数列中的项，又是数列中的项；⑵中有多少项不是数列中的项？说明理由；⑶求数列的前项和（）。【2011全国】17．（本小题满分l0分）（注意：在试题卷上作答无效）设等比数列的前n项和为,已知求和【2011天津】20．（本小题满分14分）已知数列满足（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设，证明是等比数列；（Ⅲ）设为的前项和，证明【2011安徽】（21）（本小题满分13分）在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令.（Ⅰ）求数列的通项公式；【2011山东】20．（本小题满分12分）等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列．第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足：，求数列的前项和．【2011广东】20．（本小题满分14分） 设b>0，数列}满足a1=b,（1）求数列的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n，2ab+1【2011新课标】17．（本小题满分12分） 已知等比数列中，，公比． （I）为的前n项和，证明： （II）设，求数列的通项公式．【2011江西】21.(本小题满分14分）（1）已知两个等比数列，满足，若数列唯一，求的值；（2）是否存在两个等比数列，使得成公差不为的等差数列？若存在，求的通项公式；若不存在，说明理由．【2011浙江】（19）（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列的首项为，且，，成等比数列．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）对，试比较与的大小．【2011湖北】17．（本小题满分12分） 成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列中的、、。（I）求数列的通项公式；（II）数列的前n项和为，求证：数列是等比数列。【2011福建】17．（本小题满分12分）已知等差数列{an}中，a1=1，a3=-3．（I）求数列{an}的通项公式；（II）若数列{an}的前k项和=-35，求k的值．【2011重庆】16．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分）设是公比为正数的等比数列，，。（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前项和。数列的题型与方法考点回顾1．数列的概念，数列的通项公式与递推关系式差数列和等比数列的概念、有关公式和性质.2．判断和证明数列是等差（等比）数列常用三种方法：(1)定义法：对于n≥2的任意自然数,验证为同一常数。(2)通项公式法：①若，则为等差数列；②若，则为等比数列。③中项公式法：验证都成立。3.在等差数列中,有关Sn的最值问题——常用邻项变号法求解：(1)当,d＜0时，满足的项数m使得取最大值.(2)当,d＞0时，满足的项数m使得取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。4.数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法、分组求和法、累加累积法、归纳猜想证明法等。5.数列的综合应用：⑴函数思想、方程思想、分类讨论等思想在解决数列综合问题时常常用到。⑵数列与函数、数列与不等式的综合、用数列知识解决实际问题等内容。6．注意事项：⑴证明数列是等差或等比数列常用定义法，即通过证明或而得。⑵在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便。⑶对于一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。⑷注意一些特殊数列的求和方法。⑸注意与之间关系的转化。如：=，=．⑹数列极限的综合题形式多样，解题思路灵活，但万变不离其宗，就是离不开数列极限的概念和性质，离不开数学思想方法，只要能把握这两方面，就会迅速打通解题思路．⑺解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略．⑻通过解题后的反思，找准自己的问题，总结成功的经验，吸取失败的教训，增强解综合题的信心和勇气，提高分析问题和解决问题的能力．７．知识网络经典例题剖析考点一：等差、等比数列的概念与性质全国各地名校精题1.（1）数列{an}和{bn}满足（n=1，2，3…），（1）求证{bn}为等差数列的充要条件是{an}为等差数列。（2）数列{an}和{cn}满足，探究为等差数列的充分必要条件。[提示：设数列{bn}为分析：本题第（1）问的充要条件的解决可以分别设出等比、等差数列的通项；对探究问题我们通常采用的是先假设再论证。证明：（1）必要性若{bn}为等差数列，设首项b1，公差d则∵∴{an}为是公差为的等差数列充分性若{an}为等差数列，设首项a1，公差d则∴当n=1时，b1=a1也适合∵bn+1－bn=2d，∴{bn}是公差为2d的等差数列（2）结论是：{an}为等差数列的充要条件是{cn}为等差数列且bn=bn+1其中（n=1，2，3…）点评：本题考查了等差、等比数列的基本知识，但解决起来有一定的难度，同时还需要对问题进一步深入下去。全国各地名校精题2.已知数列的首项（a是常数，且），（），数列的首项，（）。（1）证明：从第2项起是以2为公比的等比数列；（2）设为数列的前n项和，且是等比数列，求实数的值；（3）当a>0时，求数列的最小项。分析：第（1）问用定义证明，进一步第（2）问也可以求出，第（3）问由的不同而要分类讨论。解：（1）∵∴(n≥2)由得，，∵，∴，即从第2项起是以2为公比的等比数列。（2）当n≥2时，∵是等比数列,∴(n≥2)是常数，∴3a+4=0，即。（3）由（1）知当时，，所以，所以数列为2a+1，4a，8a-1，16a，32a+7，……显然最小项是前三项中的一项。当时，最小项为8a-1；当时，最小项为4a或8a-1；当时，最小项为4a；当时，最小项为4a或2a+1；当时，最小项为2a+1。点评：本题考查了用定义证明等比数列，分类讨论的数学思想，有一定的综合性。考点二：求数列的通项与求和全国各地名校精题3.已知数列中各项为：12、1122、111222、……、……（1）证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积.（2）求这个数列前n项之和Sn.分析：先要通过观察，找出所给的一列数的特征，求出数列的通项，进一步再求和。解：（1）个记：A=,则A=为整数个=A(A+1)，得证(2)点评：本题难点在于求出数列的通项，再将这个通项“分成”两个相邻正数的积，解决此题需要一定的观察能力和逻辑推理能力。全国各地名校精题4.(2010年深圳市)已知数列满足，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和；（Ⅲ）设，数列的前项和为．求证：对任意的，．分析：本题所给的递推关系式是要分别“取倒”再转化成等比型的数列，对数列中不等式的证明通常是放缩通项以利于求和。解：（Ⅰ），，又，数列是首项为，公比为的等比数列．，即.（Ⅱ）．．（Ⅲ），．当时，则．，对任意的，．点评：本题利用转化思想将递推关系式转化成我们熟悉的结构求得数列的通项，第三问不等式的证明要用到放缩的办法，这将到下一考点要重点讲到。考点三：数列与不等式的联系 全国各地名校精题5.（2010年莆田四中）已知为锐角，且，函数，数列{an}的首项.⑴求函数的表达式；⑵求证：；⑶求证：分析：本题是借助函数给出递推关系，第（2）问的不等式利用了函数的性质，第（3）问是转化成可以裂项的形式，这是证明数列中的不等式的另一种出路。解：⑴又∵为锐角∴∴⑵∵∴都大于0∴∴⑶∴∴∵,,又∵∴∴∴点评：把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想，本题中的第（3）问不等式的证明更具有一般性。全国各地名校精题6.已知数列满足（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足，证明：是等差数列；（Ⅲ）证明：分析：本例（1）通过把递推关系式转化成等比型的数列；第（2）关键在于找出连续三项间的关系；第（3）问关键在如何放缩。解：（1），故数列是首项为2，公比为2的等比数列。，（2），①②②—①得，即③④④—③得，即所以数列是等差数列（3）设，则点评：数列中的不等式要用放缩来解决难度就较大了，而且不容易把握，对于这样的题要多探索，多角度的思考问题。全国各地名校精题7.已知函数,数列满足,;数列满足,.求证:（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）若则当n≥2时,.分析：第（1）问是和自然数有关的命题，可考虑用数学归纳法证明；第（2）问可利用函数的单调性；第（3）问进行放缩。解：(Ⅰ)先用数学归纳法证明,. （1）当n=1时,由已知得结论成立; （2）假设当n=k时,结论成立,即.则当n=k+1时, 因为0<x<1时,,所以f(x)在(0,1)上是增函数. 又f(x)在上连续,所以f(0)<f()<f(1),即0<. 故当n=k+1时,结论也成立.即对于一切正整数都成立. 又由,得,从而. 综上可知 (Ⅱ)构造函数g(x)=-f(x)=,0<x<1, 由,知g(x)在(0,1)上增函数. 又g(x)在上连续,所以g(x)>g(0)=0.因为,所以,即>0,从而(Ⅲ)因为,所以,, 所以————=1\*GB3①, 由(Ⅱ)知:,所以=, 因为,n≥2,所以<<=————=2\*GB3②.由=1\*GB3①=2\*GB3②两式可知:.点评：本题是数列、超越函数、导数的学归纳法的知识交汇题，属于难题，复习时应引起注意。考点四：数列与函数、向量等的联系全国各地名校精题8.已知函数f(x)=，设正项数列满足=l，．(1)写出、的值;(2)试比较与的大小，并说明理由；(3)设数列满足=－，记Sn=．证明：当n≥2时,Sn＜(2n－1)．分析：比较大小常用的办法是作差法，而求和式的不等式常用的办法是放缩法。解：(1)，因为所以（2）因为所以,因为所以与同号，因为，…，即（3）当时，，所以，所以点评：本题是函数、不等式的综合题，是高考的难点热点。全国各地名校精题9.在平面直角坐标系中，已知三个点列{An}，{Bn}，{Cn}，其中，满足向量与向量共线，且点（B，n）在方向向量为（1，6）的线上（1）试用a与n表示；（2）若a6与a7两项中至少有一项是an的最小值，试求a的取值范围。分析：第（1）问实际上是求数列的通项；第（2）问利用二次函数中求最小值的方式来解决。解：（1）又∵{Bn}在方向向量为（1，6）的直线上，（2）∵二次函数是开口向上，对称轴为的抛物线又因为在a6与a7两项中至少有一项是数列{an}的最小项，∴对称轴点评：本题是向量、二次函数、不等式知识和交汇题，要解决好这类题是要有一定的数学素养的。全国各地名校精题10.已知，若数列{an}成等差数列.（1）求{an}的通项an;（2）设若{bn}的前n项和是Sn，且分析：观察数列特征，利用等差数列基本条件，得出通项公式，进而求解.解：解：设2，f(a1),f(a2),f(a3),……，f(an),2n+4的公差为d，则2n+4=2+(n+2－1)dd=2,（2），点评：本题考查等差、等比数列的性质，数列的求和，不等式的放缩，有一定的综合性。全国各地名校精题11.数列和数列（）由下列条件确定：（1），；（2）当时，与满足如下条件：当时，，；当时，，.解答下列问题：（Ⅰ）证明数列是等比数列；（Ⅱ）记数列的前项和为，若已知当时，，求.（Ⅲ）是满足的最大整数时，用，表示满足的条件.分析：利用条件及第（Ⅰ）小题的结论提示，找出的关系，是入手的关键之处.解：（Ⅰ）当时，，当时，，所以不论哪种情况，都有，又显然，故数列是等比数列（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，故，，所以所以，，又当时，，故.（Ⅲ）当时，，由（2）知不成立，故，从而对于，有，，于是，故，若，则，，所以，这与是满足的最大整数矛盾.因此是满足的最小整数.而，因而，是满足的最小整数.点评：本题难度较大，但试题分为三个小问，降低了坡度，是的入手较为容易，而且步步深入，前一问题的结论为后一问题做铺垫，考生在解题中要充分注意这种“便利条件”.全国各地名校精题12.已知数列中，，．（1）求；（2）求数列的通项；（3）设数列满足，求证：分析：条件中有类似于前n项和的形式出现，提示我们应该考虑an＝Sn－Sn－1(n≥2)解：（1）（2）①②①—②得即：，所以所以（3）由（2）得：，所以是单调递增数列，故要证：只需证若，则显然成立若，则所以因此：所以所以点评：与数列相关的不等式证明通常需要“放缩”，而放缩的“度”尤为关键，本题中这种拆分方法是数学中较高要求的变形.方法总结与2012年高考预测（一）方法总结1.求数列的通项通常有两种题型：一是根据所给的一列数，通过观察求通项；一是根据递推关系式求通项。2.数列中的不等式问题是高考的难点热点问题，对不等式的证明有比较法、放缩，放缩通常有化归等比数列和可裂项的形式；数学归纳法；有的还要用到条件不等式。3.数列是特殊的函数，而函数又是高中数学的一条主线，所以数列这一部分是容易命制多个知识点交融的题，这应是命题的一个方向。（二）2012年高考预测1.数列中与的关系一直是高考的热点，求数列的通项公式是最为常见的题目，要切实注意与的关系.关于递推公式，在《考试说明》中的考试要求是：“了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项”。但实际上，从近两年各地高考试题来看，是加大了对“递推公式”的考查。2.探索性问题在数列中考查较多，试题没有给出结论，需要考生猜出或自己找出结论，然后给以证明.探索性问题对分析问题解决问题的能力有较高的要求.3.等差、等比数列的基本知识必考.这类考题既有选择题，填空题，又有解答题；有容易题、中等题，也有难题。4.求和问题也是常见的试题，等差数列、等比数列及可以转化为等差、等比数列求和问题应掌握，还应该掌握一些特殊数列的求和.5.将数列应用题转化为等差、等比数列问题也是高考中的重点和热点，从本章在高考中所在的分值来看，一年比一年多，而且多注重能力的考查.6.有关数列与函数、数列与不等式、数列与概率等问题既是考查的重点，也是考查的难点。今后在这方面还会体现的更突出。强化训练选择题1．在等差数列中，，则（）（A）（B）（C）（D）以上都不对【答案】A解析：，，。2．在等比数列中，和是二次方程的两个根，则的值为（）（A）（B）（C）（D）【答案】A解析：根据韦达定理，有，又因为，则，所以。３．设为等差数列的前项和。已知。则等于（）（A）（B）（C）（D）【答案】B解析：，，４．在数列中，已知，则等于（）（A）（B）（C）（D）【答案】D解析：，，。5.数列的通项公式，则该数列的前（）项之和等于。A． B． C． D．【答案】B6.已知等差数列项和为等于（）A． B． C． D．【答案】C7.设函数f（x）满足f（n+1）=（n∈N*）且f（1）=2，则f（20）为（）A．95 B．97 C．105 D．192【答案】Bf（n+1）－f（n）=相加得f（20）－f（1）=（1+2+…+19）f（20）=95+f（1）=97．8.由公差为d的等差数列a1、a2、a3…重新组成的数列a1+a4，a2+a5，a3+a6…是（）A．公差为d的等差数列 B．公差为2d的等差数列C．公差为3d的等差数列 D．非等差数列考查等差数列的性质．【答案】B（a2+a5）－（a1+a4）=（a2－a1）+（a5－a4）=2d．（a3+a6）－（a2+a5）=（a3－a2）+（a6－a5）=2d．依次类推．9.已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为,则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D设三边为则，即得，即10.在中,是以为第三项,为第七项的等差数列的公差,是以为第三项,为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是（）A．钝角三角形B．锐角三角形C．等腰直角三角形D．以上都不对【答案】B，都是锐角11．弹子跳棋共有颗大小相同球形弹子，现在棋盘上将它们叠成正四面体形球垛，使剩下的弹子尽可能的少，那么剩余的弹子共有（）（A）颗（B）4颗（C）颗（D）颗【答案】B解析：最上面一层放1个，设最上一层是第一层，由上而下共有层，第层弹子数为，总弹子数为，由得，故时剩余最小，且剩余颗。12．三个数成等比数列，且，则的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）【答案】D解析：设，则有。当时，，而，；当时，，即，而，则，故。填空题13.已知数列中，，，则数列通项___________。【答案】是以为首项，以为公差的等差数列，14.数列…的一个通项公式是______________________。【答案】15.等比数列前项的和为，则数列前项的和为______________。【答案】解答题17．已知函数（1）求的反函数，并指出其定义域；（2）若数列{an}的前n项和Sn对所有的大于1的自然数n都有，且a1=1，求数列{an}的通项公式；（3）令18．已知数列{an}满足（1）求证：{an}为等比数列；（2）记为数列{bn}的前n项和，那么：①当a=2时，求Tn；②当时，是否存在正整数m，使得对于任意正整数n都有如果存在，求出m的值；如果不存在，请说明理由.19．函数的最小值为且数列的前项和为．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列是等差数列，且，求非零常数；（Ⅲ）若，求数列的最大项．20．已知数列中，，．（1）求；（2）求数列的通项；（3）设数列满足，求证：21．已知数列满足递推式，其中（Ⅰ）求；（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）求数列的前n项和.22．已知等差数列，公差d大于0，且是方程的两个根，数列的前n项和为。（1）求数列、的通项公式；（2）记解答题答案18．解：1）当n≥2时，整理得所以{an}是公比为a的