第五章5.4.2周期函数的教学设计高一上学期数学人教A版必修一

高中数学学科《周期函数》教学设计教材分析1．教学内容解析1.1教材地位分析三角函数是用来刻画周期变化规律的最基本和最重要的数学模型.三角函数的产生、发展与解决周期变化问题的需求有着密切的关系.学习函数的周期性为后面三角函数性质的研究确立了方向，对整个章节的学习奠定了非常重要的基础.1.2教材内容分析自然界许多运动都是周而复始的，呈现周期变化，本节的目的就是通过实际生活和数学中的实例，抽象概括出周期函数、周期和最小正周期的概念.本节课教材以正弦函数、余弦函数为例，通过观察函数图像得出函数具有周期性，进而概括抽象出周期函数的定义。通过例1，得出求y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)周期的求法。二、学情分析授课对象是高一的学生，学生在知识上初步掌握了函数的概念、函数的表示法及函数的单调性，也初步掌握了函数基本性质的研究经验.在能力上已经具备了一定的形象思维与抽象思维能力；在思想方法上已经具有一定的数形结合、类比等数学思想．因此，列举出生活中周而复始的现象的例子是容易的，但是抽象出一般函数周期性的概念有一定的难度.同时有了函数周期性的形式化定义，正例的判断是容易的，但是运用逻辑推理进行证明却是困难的.教学目标：基础知识与基本技能目标通过生活实例及部分呈周期变化的函数，得到周期函数及周期、最小正周期的概念，并能认识三角函数是刻画周期现象的重要模型.2.数学活动经验目标对周期变化有直观感觉和抽象意义上的认识，能够用数学刻画生活中的周期变化，用数学的观点和从数学的角度认识实际问题.3．核心素养目标通过从生活中周而复始的现象出发，从特殊到一般，抽象概括出周期函数形式化定义.在这一过程中，培养数学抽象这一核心素养.通过对本节课的学习，积累从具体到抽象的活动经验；运用数学抽象的思维方式思考并解决问题.通过思考题，运用逻辑推理，加深对周期函数和最小正周期的本质认识而促进概念的学习.在应用形式化定义判断函数是否为周期函数、利用函数周期性求简单函数的函数值的过程中，通过辨别、逻辑推理等，学生对概念的认识将变得稳定而又清晰，将同化于自身认知结构中.四、教学重点：1.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期2.理解周期函数和最小正周期定义.教学难点：从现实世界中抽象出周期函数的定义，运用逻辑推理求函数的周期.五、教法与学法教法有:讲授法、讨论法、演示法、练习法、实验法等。学法有:自主学习法、探究学习法、合作学习法等。六、教学手段本节课在教学材料的组织上，选择了学生上课举例、数学学习小组课前查阅现实世界中周而复始的现象.应用问题探究式教学方式，再通过相应思考题，让学生积极参与形式化定义形成过程.借助多媒体课件展示，进一步加深对周期函数这一概念的认识；运用投影仪展示学生思考成果，充分展示学生的思维过程.因此本节课采用数学抽象与逻辑推理紧密结合的方式，学生以周而复始的感性认识为基础，经过思考与讨论，进一步数学抽象，获得对数学概念深刻理解的过程；运用函数的周期性解决问题，从特殊函数再推广到一般函数，培养学生逻辑推理的能力.采用问题探究和信息技术相结合的手段，利用多媒体和实物投影仪等信息技术加以辅助，充分展示学生的思维过程，又在不断的设问中，对概念的认识进一步升华.七、教学过程（一）导入新课1.生活中的周期现象地球围绕太阳转动引起的四季更替，地球自转引起的昼夜交替，星期制、二十四小时制的使用等，让我们认识到生活中有很多自然现象和规定都呈现出“周而复始”的重复现象，这些现象就是我们常说的“周期现象”.最后播放天气预报的四季变化视频。【教师提问】在我们的生活中，还有哪些周而复始的现象吗？引导学生多动脑，多开口，把生活中的周期现象大胆的表达出来，有利于学生对周期性质的感知和理解.【设计意图】通过生活中存在周而复始的例子，使学生感受到生活中存在着丰富的周期现象，体会数学源于生活，并对周期性产生浓烈的探究欲望.（二）复习回顾复习1：正弦函数、余弦函数的定义正弦函数：任意角的终边与单位圆交点的纵坐标余弦函数：任意角的终边与单位圆交点的横坐标复习2：正弦函数、余弦函数的图象（用红笔补画出余弦函数图象）【设计意图】通过复习正弦，余弦函数的定义及正弦函数图像，让学生从现实生活中的周期现象，联想到数学中函数的周期规律。（三）新知探究1.探究1.观察正弦函数周而复始的变化及诱导公式，归纳出一般函数的周期规律诱导公式1sinfx=sinxf2kπ+x=即f2kπ+x=f(x)即满足f(【设计意图】通过诱导公式1定性的分析正弦函数的周期性，归纳总结确定周期函数的对应法则满足的条件。这样从“形”到“数”为周期性定义的给出做好铺垫。提问学生：那么，余弦函数呢？预设回答：类似的，余弦函数y=cosx,x∈Rcos(2kπ+x)=cosx.f(x+2kπ)=f(x)，即满足f(x+T)=f(x)【设计意图】通过提问，让学生举一反三。为周期函数的定义更能被学生接收。教师提问：你能不能根据正余弦函数的周期规律，归纳出一般函数的周期规律？【预设回答】对于函数，如果存在一个非零常数，满足，那么函数称作周期函数，【设计意图】让学生抽象概括出周期函数、周期的概念.在这一过程中，需要学生用数学语言表达问题，培养学生的数学抽象素养.2.形成概念（1）周期函数一般地，对于函数，，如果存在一个非零常数，使得对任意的，都有且满足，那么函数称作周期函数，非零常数称作这个函数的周期.【思考1】y=sinx,x∈0,4π是周期函数吗？【预设回答】因为对任意的，都有，则，所以周期函数的定义域不可能有界，至少是单向无界.【思考2】等式sin(π6+2π3)=sin【预设回答】不是，因为sin0+2π3【设计意图】【思考3】是f(x)的周期,那么4π6π呢？【预设回答】都是，因为sin(2kπ+x)=sinx（对于函数2kπ.【设计意图】（2）最小正周期如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就称作函数的最小正周期【思考4】f(x)=5是周期函数吗？【预设回答】是，因为对于任意的，都有周期函数是否都存在最小正周期？【预设回答】常数函数是周期函数，所有非零实数都是它的周期，但是它没有最小正周期.注：若不加特别说明，本书所指周期均为函数的最小正周期.例1，求下列函数的周期。(1)y=2sinx2f(x)=cos2(3）f(x)=2sin(12xπ【设计意图】通过例3的巩固训练，让学生加深对周期概念的理解.并通过运用周期定义的证明来训练同学们的逻辑推理素养.思考（1）的解答过程，讨论周期与三角函数解析式中哪些量有关？请探究y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的周期是什么？你能证明你的结论吗？【预设回答】令Z=ωx+φ，则原函数为g(Z)=Asin

而函数给g（Z+2π）=Asin(Z+2π)=Asin

Z,即Asinωx+φ=A则fxfx=Asinωx+φ的周期的周期【设计意图】推导出三角函数模型fx=Asinωx+φ思考（2）：f

【预设回答】若函数y=f（x）的周期是M，则y=f（ωx+φ反过来若y=f（ωx+φ）的周期M，那么y=f（x）的周期是【设计意图】培养学生抽象思维能力及逆向思维能力。思考（3）y=|sinx|的周期是多少？如何求它的周期？【预设回答】方法小结如何求函数周期【设计意图】让学生掌握图像法求函数的周期，进一步体现数形结合思想的应用。使学生养成及时总结的习惯。【设计意图】使学生及时掌握fx=Asinωx+φ的周期是【拓展延申】：判断下列函数是否是周期函数，如果是试求一下函数的周期。（1）f(x)=x-（2）已知函数f(x)对于任意的x均满足f(x+2)=f(x3).（3）已知函数f(x)对于任意的x均满足f(x+2)=-f(x).（4）函数f(x)为偶函数，且满足f(2-x)=f(x).（5）函数f(x)为奇函数，且满足f(2-x)=-【设计意图】进一步训练学生对周期函数概念的理解及应用，逐步学生对抽象函数的周期性的练习，为后面抽象函数的对称性和周期性的综合应用做铺垫。培养优生，锻炼学生的整体性思想。（四）课堂小结本节课我们首先从现实生活中的“周而复始”现象，引发了对周期概念的探讨，再用函数图象的“重复出现”，直观上去感觉周期函数的特征，接着又从数学的角度抽象出周期性的条件，再进一步归纳出函数周期性的概念,并对概念进行深化理解，最后推导出三件函数模型fx（五）课后作业考虑到学生能力上的差异，课后作业分为两部分，一部分是必做题：教材第203页练第1,2,4题，P213习题5.4第2题，要求所有学生都要完成；另一部分是选做题：教材第204页习题5.4第15题、18题,学生根据自身情况选择性完成.拓展练习：1..已知函数f(x)是定义在R上的周期为6的奇函数,且f(1)=1,则f(5)2．如图所示的是定义在R上的四个函数的图象，其中不是周期函数的图象的是()3求下利函数的周期y=sin2x+cosxy=sinx2y=|cos3x|八、板书设计周期函数的定义函数的周期性周期函数的定义例1正弦函数的图像余弦函数的图像例1正弦函数的图像余弦函数的图像周期函数的几点说明求函数的周期的方法f求函数的周期的方法fx