高一英才班数学第四讲诱导公式

2015年寒春班高一英才数学第四讲（150206）诱导公式一、复习与练习1．同角三角比的三种关系八个关系式．sinαcosαcotsinαcosαcotαtanαsecα1cscα(2)商的关系：。(3)平方关系：。这三种关系，八个公式，称为同角三角比的基本关系。可以用右图表示出来。复习练习【题目1】化简：【题目2】已知，求下列各式的值：（1）（2）（3）【题目3】化简：【题目4】若，则。【题目5】若，则角是第象限角【题目6】已知，求下列各式的值：（1）（2）【题目7】已知关于的方程的两个根为且，求：（1）的值.（2）的值.（3）的值.【题目8】已知是方程的两根，且，那么的值为。【题目9】已知.(1)求的值;(2)求的值.【题目10】若，则。【题目11】8．sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°=_________．2圆心在原点的单位圆上点的坐标为P(cosα,sinα).3.三角函数线：(1)、正弦线：无论α是第几象限角，过α的终边与单位圆的交点P作x轴的垂线，交x轴于M，有向线段MP的符号与点P的纵坐标y的符号一致，长度等于｜y｜．=y=sinα．我们把有向线段叫做角α的正弦线，正弦线是角α的正弦值的几何形式．(2)、余弦线：有向线段叫做α的余弦线。(3)、正切线：过A（1，0）点作单位圆的切线（x轴的垂线），设α的终边或其反向延长线与这条切线交于T点，那么有向线段叫做角α的正切线。评注:三角函数线是三角比值得几何形式，要重点掌握，应用三角函数线可以得到下列结论：(1)sin2+cos2=1；(2)│sin│+│cos│≥1；(3)-1≤sin≤1,-1≤cos≤1,tan∈R；(4)若两角终边互为反向延长线，则两角的正切值相等,正弦、余弦值互为相反数；(5)当角的终边在第一象限逆时针旋转时，正弦、正切值逐渐增大，余弦值逐渐减小；(6)当角的终边在直线的右下方时,sin＜cos;当角的终边在直线的左上方时,sin＞cos。(7)终边相同的角的同名三角比相等。二、诱导公式诱导公式一：终边相同角的三角比其值也相同任意角的三角比如何转化为0~的三角比来求。因为角的六个三角比只与的终边有关，所以当两个角的终边的位置相同时，这两个角的同名三角比是相等的。，，，。其中。诱导公式二-----与的三角比的关系：根据负角的定义，可知角α与角一α的终边关于x轴对称．在角α的终边上取一点P，使OP的长为1，此时点P的坐标为(cosα，sinα)．点P关于x轴的对称点P/(cosα，一sinα)一定在角一α的终边上，且OP/的长为l，因此点P的坐标又可表示为(cos(一α)，sin(一α))．所以有，，，。例1、求的正弦、余弦、正切和余切的值。例2．求值：sin（－660°）cos420°－tan330°cot（－690°）．练习．已知cosα=，cos（α+β）=1，求证：cos（2α+β）=．同理可得诱导公式三~九：1、诱导公式三-----与的三角比的关系：将角α的终边绕着原点O按逆时针方向旋转π弧度，得角π+α的终边，可知角α和角π+α的终边关于原O对称．在角α的终边上取一点P，使OP的长为l，可得点P的坐标为(cosα，sinα)．因为点P关于原点的对称点P/，在角π+α的终边上，所点P/的坐标可以表示为(一cosα，一sinα)，也可以表示(cos(π+α)，sin(π+α))．由此得到，，由商数关系得，。2、诱导公式四-------与的三角比的关系：把第三组诱导公式中的α换成一α，得，，，。3、诱导公式五------与的三角比的关系：，，，。4、诱导公式六------与的三角比的关系：由图62-4及全等三角形的有关知识可得，不论是什么值，的正弦线与余弦线的图62-4长度相等，并且方向相同，的余弦线与正弦线的长度相等，并且方向相反，因此对的如何值都有：，，，。诱导公式七------与的三角比的关系：，，，6、诱导公式八------与的三角比的关系：，，，7、诱导公式九------与的三角比的关系：，，，；上面关于诱导公式可以总结为：“奇变偶不变，符号看象限”来概括。即当为奇数时，得余名函数。当为偶数时，得同名函数；再加上把看成锐角，由所在象限原函数的符号。三、“口诀”揭秘1．揭秘“奇”与“偶”。所谓“奇”与“偶”是指把角转化为“”或“”形式中的的奇偶性。2．．揭秘“变”与“不变”。所谓“变”与“不变”是指三角函数名称，如果“变”就是正弦变为余弦,正切变为余切；余弦变为正弦。如果“不变”就是正弦还为正弦；余弦还为余弦；正切还为正切。全正sintancos3．揭秘“象限”。所谓“象限”是指角化为“”或“”这种形式时，把看作“锐角”时所在的象限。全正sintancos4．揭秘“符号”。所谓“符号”就是指任意角看作锐角时，原三角函数值的符号，为了便于记忆，我们只记各象限角的取正号的三角函数名称即可。5．举例说明公式（一）是4K为偶数，角在第一象限。余弦，正切也是如此。公式（二）是K=2为偶数，角在第三象限。正弦，正切也是如此。公式（三）是K=0为偶数，角在第四象限。余弦，正切也是如此。公式（四）是K=2为偶数，角在第二象限。余弦，正切也是如此。公式（五）是K=1为奇数，角在第一象限。余弦也是如此。公式（六）是K=1为奇数，角在第二象限。余弦也是如此。三．应用举例例题3：求下列各三角函数的值例4、化简。练习、已知，（1）若，求；（2）若，求的值。例5化简。例6、设，证明：（1）；（2）。例7、已知，其中求的值。例8．设f（θ）=，求f（）的值.例9、根据条件，求角x.(1)已知(2)已知例10、已知，其中均为非零实数，若，则=。例10、已知，其中均为非零实数，若，则=。练习3．设A、B、C是三角形的三个内角，下列关系恒成立的是（）A．cos（A+B）=cosC B．sin（A+B）=sinCC．tan（A+B）=tanC D．sin=sin例11．化简：．三、提高与练习1．若cosα＝－eq\f(3,5)，α∈(eq\f(π,2)，π)，则tanα＝________.2．(2009年高考北京卷)若sinθ＝－eq\f(4,5)，tanθ>0，则cosθ＝________.3．若sin(eq\f(π,6)＋α)＝eq\f(3,5)，则cos(eq\f(π,3)－α)＝________.4．(2010年合肥质检)已知sinx＝2cosx，则eq\f(5sinx－cosx,2sinx＋cosx)＝______.5．(2010年西安调研)已知sinα＝eq\f(3,5)，且α∈(eq\f(π,2)，π)，那么eq\f(sin2α,cos2α)的值等于________．6．(2010年苏州调研)已知tanx＝sin(x＋eq\f(π,2))，则sinx＝___________________.7．若θ∈[0，π)，且cosθ(sinθ＋cosθ)＝1，则θ＝________.8．已知sin(α＋eq\f(π,12))＝eq\f(1,3)，则cos(α＋eq\f(7π,12))的值等于________．9．若cosα＋2sinα＝－eq\r(5)，则tanα＝________.10．已知f(α)＝eq\f(sin(π－α)cos(2π－α)tan(－α＋\f(3π,2)),cos(－π－α))，则f(－eq\f(31π,3))的值为________．11．求sin(2nπ＋eq\f(2π,3))·cos(nπ＋eq\f(4π,3))(n∈Z)的值．12．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－eq\r(2)sin(π－B)，eq\r(3)cosA＝－eq\r(2)cos(π－B)，求△ABC的三内角．寒春班高一英才数学第四讲（150206）课后练习一、选择题1、下列各式不正确的是（）sin（α＋180°）=－sinαB．cos（－α＋β）=－cos（α－β）C．sin（－α－360°）=－sinαD．cos（－α－β）=cos（α＋β）2、若sin（π＋α）＋sin（－α）=－m,则sin（3π＋α）＋2sin（2π－α）等于（）A．－eq\f(2,3)mB．－eq\f(3,2)mC．eq\f(2,3)mD．eq\f(3,2)m3、的值等于（）A． B． C． D．4、如果则的取值范围是（） A． B． C． D．5．已知函数，满足则的值为 （） A．5 B．－5 C．6 D．－66、sin·cos·tan的值是 A．－ B． C．－ D．7．设那么的值为 （） A． B．－ C． D．8．若，则的取值集合为 （） A． B． C． D．二、填空题1、求值：sin160°cos160°（tan340°＋cot340°）=．2、若sin（125°－α）=eq\f(12,13),则sin（α＋55°）= ．3、coseq\f(π,7)＋coseq\f(2π,7)＋coseq\f(3π,7)＋coseq\f(4π,7)＋coseq\f(5π,7)＋coseq\f(6π,7)=．4、已知则.三、解答题1、已知,求的值．2、若cosα＝，α是第四象限角，求的值．3、设和求的值.4．设满足,(1)求的表达式；（2）求的最大值．教师讲义2015年寒春班高一A数学第四讲（150206）诱导公式一、复习与练习1．同角三角比的三种关系八个关系式．sinαcosαcotsinαcosαcotαtanαsecα1cscα(2)商的关系：。(3)平方关系：。这三种关系，八个公式，称为同角三角比的基本关系。可以用右图表示出来。练习【题目1】化简：【答案】【解析】【题目2】已知，求下列各式的值：（1）;（2）（3）【答案】（1）（2）（3）【题目3】化简：【题目4】若，则。【题目5】若，则角是第象限角【题目6】已知，求下列各式的值：（1）（2）【题目7】已知关于的方程的两个根为且，求：（1）的值.（2）的值.（3）的值.【题目8】已知是方程的两根，且，那么的值为。解析：∵是方程的两根，∴，从而可知，故又，∴【题目9】已知.(1)求的值;(2)求的值.【题目10】若，则。【题目11】8．sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°=_________．2圆心在原点的单位圆上点的坐标为P(cosα,sinα).3.三角函数线：(1)、正弦线：无论α是第几象限角，过α的终边与单位圆的交点P作x轴的垂线，交x轴于M，有向线段MP的符号与点P的纵坐标y的符号一致，长度等于｜y｜．=y=sinα．我们把有向线段叫做角α的正弦线，正弦线是角α的正弦值的几何形式．(2)、余弦线：有向线段叫做α的余弦线。(3)、正切线：过A（1，0）点作单位圆的切线（x轴的垂线），设α的终边或其反向延长线与这条切线交于T点，那么有向线段叫做角α的正切线。评注:三角函数线是三角比值得几何形式，要重点掌握，应用三角函数线可以得到下列结论：(1)sin2+cos2=1；(2)│sin│+│cos│≥1；(3)-1≤sin≤1,-1≤cos≤1,tan∈R；(4)若两角终边互为反向延长线，则两角的正切值相等,正弦、余弦值互为相反数；(5)当角的终边在第一象限逆时针旋转时，正弦、正切值逐渐增大，余弦值逐渐减小；(6)当角的终边在直线的右下方时,sin＜cos;当角的终边在直线的左上方时,sin＞cos。(7)终边相同的角的同名三角比相等。二、诱导公式诱导公式一：终边相同角的三角比其值也相同任意角的三角比如何转化为0~的三角比来求。因为角的六个三角比只与的终边有关，所以当两个角的终边的位置相同时，这两个角的同名三角比是相等的。，，，。其中。诱导公式二-----与的三角比的关系：根据负角的定义，可知角α与角一α的终边关于x轴对称．在角α的终边上取一点P，使OP的长为1，此时点P的坐标为(cosα，sinα)．点P关于x轴的对称点P/(cosα，一sinα)一定在角一α的终边上，且OP/的长为l，因此点P的坐标又可表示为(cos(一α)，sin(一α))．所以有，，，。例1、求的正弦、余弦、正切和余切的值。练习．（1）tan(690°)的值为(A)A．－eq\f(\r(3),3)B．.eq\f(\r(3),3)C．－eq\r(3)D．eq\r(3)（2）求的正弦、余弦、正切和余切的值。（3）的值是。例2．求值：sin（－660°）cos420°－tan330°cot（－690°）．答案．+1．练习．已知cosα=，cos（α+β）=1，求证：cos（2α+β）=．证明：∵cos（α+β）=1，∴α+β=2kπ，∴cos（2α+β）=cos（α+α+β）=cos（α+2kπ）=cosα=．同理可得诱导公式三~九：1、诱导公式三-----与的三角比的关系：将角α的终边绕着原点O按逆时针方向旋转π弧度，得角π+α的终边，可知角α和角π+α的终边关于原O对称．在角α的终边上取一点P，使OP的长为l，可得点P的坐标为(cosα，sinα)．因为点P关于原点的对称点P/，在角π+α的终边上，所点P/的坐标可以表示为(一cosα，一sinα)，也可以表示(cos(π+α)，sin(π+α))．由此得到，，由商数关系得，。2、诱导公式四-------与的三角比的关系：把第三组诱导公式中的α换成一α，得，，，。3、诱导公式五------与的三角比的关系：，，，。4、诱导公式六------与的三角比的关系：由图62-4及全等三角形的有关知识可得，不论是什么值，的正弦线与余弦线的图62-4长度相等，并且方向相同，的余弦线与正弦线的长度相等，并且方向相反，因此对的如何值都有：，，，。诱导公式七------与的三角比的关系：，，，6、诱导公式八------与的三角比的关系：，，，7、诱导公式九------与的三角比的关系：，，，；上面关于诱导公式可以总结为：“奇变偶不变，符号看象限”来概括。即当为奇数时，得余名函数。当为偶数时，得同名函数；再加上把看成锐角，由所在象限原函数的符号。三、“口诀”揭秘1．揭秘“奇”与“偶”。所谓“奇”与“偶”是指把角转化为“”或“”形式中的的奇偶性。2．．揭秘“变”与“不变”。所谓“变”与“不变”是指三角函数名称，如果“变”就是正弦变为余弦,正切变为余切；余弦变为正弦。如果“不变”就是正弦还为正弦；余弦还为余弦；正切还为正切。全正sintancos3．揭秘“象限”。所谓“象限”是指角化为“”或“”这种形式时，把看作“锐角”时所在的象限。全正sintancos4．揭秘“符号”。所谓“符号”就是指任意角看作锐角时，原三角函数值的符号，为了便于记忆，我们只记各象限角的取正号的三角函数名称即可。5．举例说明公式（一）是4K为偶数，角在第一象限。余弦，正切也是如此。公式（二）是K=2为偶数，角在第三象限。正弦，正切也是如此。公式（三）是K=0为偶数，角在第四象限。余弦，正切也是如此。公式（四）是K=2为偶数，角在第二象限。余弦，正切也是如此。公式（五）是K=1为奇数，角在第一象限。余弦也是如此。公式（六）是K=1为奇数，角在第二象限。余弦也是如此。三．应用举例例题3：求下列各三角函数的值:分析：（1）是运用了角度制；（2）是运用了弧度制。解：（1）方法一：（把看成“锐角”利用了公式（三））（把看成“锐角”利用了公式（一））（利用了公式（二）及特殊角的三角函数值）方法二：（把看成“锐角”利用了公式（一））（利用了公式（四）及特殊角的三角函数值）（2）方法一：（把看成“锐角”利用了公式（三））（把看成“锐角”利用了公式（一））（利用了公式（二）及特殊角的三角函数值）方法二：（把看成“锐角”利用了公式（一））（利用了公式（四）及特殊角的三角函数值。点评：正确的理解“口诀”，熟记并正确的应用“口诀”是解决此类题目的关键。总之，对诱导公式的“口诀”理解和应用应具体问题具体分析，关键是先把角变形化成“”或“”这种形式，再就是把角看作“锐角”，有时这“锐角”是单项式、多项式或其它式子，由此可见其应用的广泛性和灵活性。只要不断摸索，不断揣摩，就会得心应手、运用自如。练习、利用诱导公式求下列各三角比的值：。例4、化简。练习、已知，（1）若，求；（2）若，求的值。例5化简。解：原式=1。练习1．如果|cosx|=cos（x+π），则x的取值集合是（C）A．－+2kπ≤x≤+2kπB．－+2kπ≤x≤+2kπC．+2kπ≤x≤+2kπD．（2k+1）π≤x≤2（k+1）π（以上k∈Z）练习2．|sinα|=sin（-+α），则α的取值范围是[(2k-1),2k]．例6、设，证明：（1）；（2）。练习、化简例7、已知，其中求的值。练习、已知，求练习2．求下列三角函数值：（1）sin·cos·tan；（2）sin［（2n+1）π－］.解：（1）sin·cos·tan=sin（π+）·cos（4π+）·tan（π+）=（－sin）·cos·tan=（－）··1=－.（2）sin［（2n+1）π－］=sin（π－）=sin=.例8．设f（θ）=，求f（）的值.解：f（θ）======＝cosθ－1，∴f（）=cos－1=－1=－.例9、根据条件，求角x.(1)已知(2)已知练习、已知，求：（1）；（2）例10、已知，其中均为非零实数，若，则=。练习1．下列三角函数：①sin（nπ+）；②cos（2nπ+）；③sin（2nπ+）；④cos［（2n+1）π－］；⑤sin［（2n+1）π－］（n∈Z）．其中函数值与sin的值相同的是（C）A．①② B．①③④ C．②③⑤ D．①③⑤练习2．．若cos（π+α）=－，且α∈（－，0），则tan（+α）的值为（B）A．－ B． C．－ D．练习3．设A、B、C是三角形的三个内角，下列关系恒成立的是（）A．cos（A+B）=cosC B．sin（A+B）=sinCC．tan（A+B）=tanC D．sin=sin例11．化简：．解：=====－1．练习1．已知sin(+α)=，则sin(-α)值为（C）A.B.—C.D.—练习2．cos(+α)=—，<α<,sin(-α)值为（A）A.B.C.D.—练习．已知α和β的终边关于x轴对称，则下列各式中正确的是（C）A.sinα=sinβB.sin(α-)=sinβC.cosα=cosβD.cos(-α)=-cosβ三、提高与练习1．若cosα＝－eq\f(3,5)，α∈(eq\f(π,2)，π)，则tanα＝________.解析：cosα＝－eq\f(3,5)，α∈(eq\f(π,2)，π)，所以sinα＝eq\f(4,5)，∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(4,3).答案：－eq\f(4,3)2．(2009年高考北京卷)若sinθ＝－eq\f(4,5)，tanθ>0，则cosθ＝________.解析：由sinθ＝－eq\f(4,5)<0，tanθ>0知，θ是第三象限角，故cosθ＝－eq\f(3,5).答案：－eq\f(3,5)3．若sin(eq\f(π,6)＋α)＝eq\f(3,5)，则cos(eq\f(π,3)－α)＝________.解析：cos(eq\f(π,3)－α)＝cos[eq\f(π,2)－(eq\f(π,6)＋α)]＝sin(eq\f(π,6)＋α)＝eq\f(3,5).答案：eq\f(3,5)4．(2010年合肥质检)已知sinx＝2cosx，则eq\f(5sinx－cosx,2sinx＋cosx)＝______.解析：∵sinx＝2cosx，∴tanx＝2，∴eq\f(5sinx－cosx,2sinx＋cosx)＝eq\f(5tanx－1,2tanx＋1)＝eq\f(9,5).答案：eq\f(9,5)B组5．(2010年西安调研)已知sinα＝eq\f(3,5)，且α∈(eq\f(π,2)，π)，那么eq\f(sin2α,cos2α)的值等于________．解析：cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(4,5)，eq\f(sin2α,cos2α)＝eq\f(2sinαcosα,cos2α)＝eq\f(2sinα,cosα)＝eq\f(2×\f(3,5),－\f(4,5))＝－eq\f(3,2).答案：－eq\f(3,2)6．(2010年苏州调研)已知tanx＝sin(x＋eq\f(π,2))，则sinx＝___________________.解析：∵tanx＝sin(x＋eq\f(π,2))＝cosx，∴sinx＝cos2x，∴sin2x＋sinx－1＝0，解得sinx＝eq\f(\r(5)－1,2).答案：eq\f(\r(5)－1,2)7．若θ∈[0，π)，且cosθ(sinθ＋cosθ)＝1，则θ＝________.解析：由cosθ(sinθ＋cosθ)＝1⇒sinθ·cosθ＝1－cos2θ＝sin2θ⇒sinθ(sinθ－cosθ)＝0⇒sinθ＝0或sinθ－cosθ＝0，又∵θ∈[0，π)，∴θ＝0或eq\f(π,4).答案：0或eq\f(π,4)8．已知sin(α＋eq\f(π,12))＝eq\f(1,3)，则cos(α＋eq\f(7π,12))的值等于________．解析：由已知，得cos(α＋eq\f(7π,12))＝cos[(α＋eq\f(π,12))＋eq\f(π,2)]＝－sin(α＋eq\f(π,12))＝－eq\f(1,3).答案：－eq\f(1,3)9．(2008年高考浙江卷改编)若cosα＋2sinα＝－eq\r(5)，则tanα＝________.解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosα＋2sinα＝－\r(5)，①,sin2α＋cos2α＝1，②))将①代入②得(eq\r(5)sinα＋2)2＝0，∴sinα＝－eq\f(2\r(5),5)，cosα＝－eq\f(\r(5),5)，∴tanα＝2.答案：210．已知f(α)＝eq\f(sin(π－α)cos(2π－α)tan(－α＋\f(3π,2)),cos(－π－α))，则f(－eq\f(31π,3))的值为________．解析：∵f(α)＝eq\f(sinα·cosα·cotα,－cosα)＝－cosα，∴f(－eq\f(31,3)π)＝－coseq\f(π,3)＝－eq\f(1,2).答案：－eq\f(1,2)11．求sin(2nπ＋eq\f(2π,3))·cos(nπ＋eq\f(4π,3))(n∈Z)的值．解：(1)当n为奇数时，sin(2nπ＋eq\f(2π,3))·cos(nπ＋eq\f(4π,3))＝sineq\f(2π,3)·cos[(n＋1)π＋eq\f(π,3)]＝sin(π－eq\f(π,3))·coseq\f(π,3)＝sineq\f(π,3)·coseq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(3),4).(2)当n为偶数时，sin(2nπ＋eq\f(2π,3))·cos(nπ＋eq\f(4π,3))＝sineq\f(2π,3)·coseq\f(4π,3)＝sin(π－eq\f(π,3))·cos(π＋eq\f(π,3))＝sineq\f(π,3)·(－coseq\f(π,3))＝eq\f(\r(3),2)×(－eq\f(1,2))＝－eq\f(\r(3),4).12．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－eq\r(2)sin(π－B)，eq\r(3)cosA＝－eq\r(2)cos(π－B)，求△ABC的三内角．解：由已知，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinA＝\r(2)sinB，①,\r(3)cosA＝\r(2)cosB，②))①2＋②2得：2cos2A＝1，即cosA＝±eq\f(\r(2),2).(1)当cosA＝eq\f