三角形及全等 重难点题型14个

专题4.1三角形及全等重难点题型14个

重难点题型

题型1三角形三边关系及其运用

性质：两边之差的绝对值〈第三边〈两边之和

解题技巧：（1）已知两条边，根据限定条件求第三条边，求解完成后，切勿忘记要验证三边是否能构成三

角形。（2）题干告知为等腰三角形，但未告知哪条边是腰时，往往有多解。最后，也需验证三边是否能构

成三角形。（3）遇到证明边之间大小关系的题型，想办法构造三角形，将需要证明的边转化到同一个三角

形中，利用三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边解题.

1.（2022•淮北市八年级期末）以下列长度的各组线段为边，能组成三角形的是（）

A.1cm,2cm,3cmB.2cm,3cm,5cmC.5cm,6cm,12cmD.4cm,6cm,8cm

【答案】D

【分析】根据三角形任意两边的和大于第三边，进行分析判断.

【详解】解：A、1+2=3,故不能构成三角形，选项错误；B、2+3=5,故不能构成三角形，选项错误；

C、5+6<12,故不能构成三角形，选项错误；D、4+6>8,能构成三角形，选项正确，故选：D.

【点睛】本题考查了能够组成三角形三边的条件.注意：用两条较短的线段相加，如果大于最长那条就能

够组成三角形.

2.（2022.天津八年级期末）已知三角形的两边长分别为3cm、5cm,则此三角形第三边的长可以是（）

A.1cmB.5cmC.8cmD.9cm

【答案】B

【分析】已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围，

再选出答案即可.

【详解】解：设第三边的长度为xcm,由题意得：5-3<x<5+3,即：2Vx<8,.Fem可能，故选：B.

【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不

等式即可.

3.（2022・浙江八年级期末）两根木棒的长分别是5cm和7cm.要选择第三根木棒,将它们钉成一个三角形.如

果第三根木棒的长度为偶数，那么第三根木棒的取值情况有（）

A.3种B.4种C.5种D.6种

【答案】B

【分析】首先根据三角形的三边关系确定笫三边的取值范围，再根据第三边是偶数确定其值.

【详解】解：根据三角形的三边关系，得：第三根木棒的长大于2cm而小于12cm.

又第三根木棒的长是偶数，则应为4cm,6cm,8cm,10cm.故选：B.

【点睛】本题考查了三角形的三边关系：第三边大于两边之差而小于两边之和.注意：偶数这一条件.

4.（2022.自贡市八年级月考）若a,b,c是AABC的三边长，则化简卜+匕-4+但一。一4的结果是

【答案】2a

【分析】根据a，b,c为三角形三边长，利用三角形三边关系判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值

的代数意义化简即可.

【详解】解：b,。为三角形三边上，.,.a+h-c>0,h-c-a<0,

则原式=a+b-c-b+“+c=2a,故答案为：2a.

【点睛】此题考查了三角形三边关系以及整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

5.（2022•江苏南京•七年级期中）如图，用四颗螺丝将不能弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中

相邻两颗螺丝的距离依次为3、4、6、8,且相邻两根木条的夹角均可以调整，若调整木条的夹角时不破坏

此木框，则任意两颗螺丝的距离的最大值是（）

A.7B.10C.11D.14

【答案】B

【分析】若两个螺丝的距离最大，则此时这个木框的形状为三角形，可根据三条木棍的长来判断有几种三

角形的组合，然后分别找出这些三角形的最长边即可.

【详解】已知4条木棍的四边长为3、4、6、8；

选3+4、6、8作为三角形，则三边长为7、6、8；7-6<8<7+6,能构成三角形，此时两个螺丝间的最长

距离为8；选4+6、8、3作为三角形，则三边长为10、8、3,8-3<10<8+3,能构成三角形，此时两个螺

丝间的最长距离为10;

选6+8、3、4作为三角形，则三边长为14、3、4：3+4<14,不能构成三角形，此种情况不成立：

选3+8、4、6作为三角形，则三边长为11、4、6；4+6<11,不能构成三角形，此种情况不成立；

综上所述，任两螺丝的距离之最大值为10;故选：B.

【点睛】本题实际考查的是三角形的三边关系定理，能够正确的判断出调整角度后三角形木框的组合方法

是解答的关键.

6.（2022•雁塔区期中）观察并探求下列各问题，写出你所观察得到的结论.（1）如图①，在AABC中，P

为边BC上一点，则BP+PCA8+4C（填或“="）（2）将（1）中点P移到△4BC内，得

图②，试观察比较△BPC的周长与aABC的周长的大小，并说明理由.（3）将（2）中点P变为两个点P、

P2得图③，试观察比较四边形BPiP2c的周长与△A8C的周长的大小，并说明理由.

【分析】（1）根据三角形中两边之和大于第三边，即可得出结果，（2）可延长8P交AC与根据两边之

和大于第三边，即可得出结果，（3）分别延长BP、CP2交于M,再根据（2）中得出的BM+CMVAB+AC,

可得出BP}+P]P2+P2C<BM+CM<AB+AC,即可得出结果.

【解答】解：（1）8尸+PCVA8+AC,理由：三角形两边之和大于第三边，

（2）△BPC的周长C△ABC的周长.理由：如图，延长BP交AC于M,在△A8M中，BP+PMVAB+AM,

在△尸MC中，PC<PM+MC,两式相加I得8P+PCCAB+AC,于是得：△BPC的周长〈△ABC的周长，

（3）四边形8Plp2c的周长<△"（?的周长，理由：如图，分别延长8P、CP2交于例，由（2）知，BM+CM

<AB+AC,又PIP2<PIM+P2M,可得，BP\+P\Pi+PzC<B!vl+CM<AB+AC,可得结论.

②③

【点评】本题考查比较线段的长短常常利用三角形的三边关系以及不等式的性质，通过作辅助线进行解答.

题型2中线与三角形面积（周长）

性质：（1）三角形中线将三角形的面积分成相等的两部分

（2）两个三角形的面积之比等于它们的底、高乘积之比；

（3）等底（高）的两个三角形面积之比等于它们的高（底）之比;

（4）等底等高的两个三角形面积相等。

解题技巧：（1）明确中线是哪个三角形的中线，这条中线将对应三角形的面积平分。题目中往往会出现多

个三角形和多条中线，利用中线性质依次类推三角形的面积，直至求解出题干要求的面积。

（2）寻找两个面积相等三角形技巧：选取底边相同的两个点的三角形，三角形的另一个顶点为与底边平行

的线段上的点（等高）；（3）两图形面积之比，就是底边与高乘积之比。

1.（2022.重庆市七年级阶段练习）如图，在△A8C中，AB=5,AC=3,AO为中线，求AAB。与AAC。的周

长之差（）

【答案】B

【分析】根据题意,是AABC的边BC上的中线，可得BD=CD,进而得出AABO的周长=AB+8/）+AQ,^ACD

的周长=AC+CY）+AQ,相减即可得到周长差.

【详解】解：是AABC的中线，；.BO=C£>,

.,.△480与△4CO的周长之差为：（AB+BD+AD）-（AC+CD+AD）=AB+BD+AD-AC-CD-AD=AB-AC=5-3=2；

故选：B.

【点睛】本题主要考查了三角形的中线、高和三角形周长的求法，熟练掌握三角形周长公式是解题的关键.

2.（2022•福建厦门市•八年级期中）如图，在.ABC中，已知S^ABD：SaACD=2：l，点E是AB的中点，

且.ABC的面积为9cm2,则AED的面积为（）

BDC

A.1cm2B.2cm2C.3cm2D.4cm2

【答案】C

【分析】根据线段中点的概念、三角形的面积公式计算，得到答案.

【详解】解：；点E是AB的中点，.♦.△AED的面积=1AABD的面积，

2

2

VSAABD：SAACD=2：1,.,.△ABD的面积=AABC的面积x-.'Z\AED的面积=3cm2,故选：C.

3

【点睛】本题考查三角形的面积计算，掌握三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分是解题的关键.

3.（2022•江苏梁溪初一期中）如图，A、B、C分别是线段48、BC、GA的中点，若的面积是14,

那么△ABC的面积是（）

32

【答案】A

【分析】连接ABi,BCi,CAi,根据等底等高的三角形的面积相等求出AABBI,AAIABI的面积，从而求

出AAiBBi的面积，同理可求△BCG的面积，AAIACI的面积，于是得到结论.

【解析】如图，连接AB”BCi,CAi,

■:A、B分别是线段AiB,BiC的中点，SAABBI=SAABC>SAAIABI=SAABBI=SAABC,

；.SAAIBBI=SAAIABI+SAABBI=2SAABC,同理：SABICCI=2SAABC,SAAIACI=2SAABC,

**,AAIBICI的面积=SAAIBBI+SABICCI+SAAIACI+SAABC=7SAABC=14./.SAABC—2,故选A.

【点睛】本题考查/三角形的面积，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，作辅助线把三角形进行分

割是解题的关键.

4.（2022•西安市初三一模）如图，点G为/ABC的重心，则SABG：SACG：ABCG的值是（）•

A.1:2:3B.2:1:2C.1:1:1D.无法确定

【答案】C

【分析】如图，分别延长AG、CG、BG，交BC、AC、AC于点F、E，根据三角形重心定理得

到A。、BE、CF是，A6C的中线，继而根据三中线把三角形分成面积相等的两个三角形即可求得答案.

【解析】如图，分别延长4G、CG、BG,交BC、AC.AC于点。、F、E，

因为G是三角形重心，所以A。、BE、是4ABe的中线，所以S.BO=SJC^SABDG=SCDG，

即S&ABG=SMCG,同理SxBG=SABCG，协以SAABG=S.cG—StiACG,

即SABG-SACGABCG=1:1:1,故选C.

5.（2022•广西•八年级阶段练习）如图所示，在AABC中，已知点。、E、F分别为边BC、A。、CE的中点,

且△A8C的面积是4cm2,则阴影部分面积等于（）

A.2cm2B.1cm2C.0.25cm2D.0.5cm2

【答案】B

【分析】根据中线把三角形分成面积相等的两部分可以得到解答.

【详解】解：；点。，E,尸分别为边8C,AD,CE的中点，

+

***SBEF=3SBEC=RSBED+$CE£））=ABDAC£））=工、SABC=1,选B

【点睛】本题考查三角形的应用，熟练掌握三角形中线的性质是解题关键.

6.（2022•西安九年级模拟）如图，"8C的面积是21,点。、E、尸分别在边BC、AB、4c上，且AE=2,

EB=4.若△ABO与四边形。尸EB面积相等，则△AOC的面积=.

【答案】7

（分析］连接CE,由S^ABD=S四必/OFEB可得SAAEG=SA/"G,证明SA*EK=SAADF，进而可证5AA£C-SAAZ>C>求出MEC

的面积，即可求出△4OC的面积.

【详解】解：连接CE,记A。与E尸交于点G,

S^ABD=SmMiDFEBt:，ShAEG=SxDFG，；•SAAEG+SAAFG=SAO广G+SAAFG,；♦SAA£F=SAADF，

设△ACE的边AC上的高为/2,则S八）=g,SA£C=-^AC-h,

设△AC£>的边AC上的高为x,则SSADC=^ACX,

♦SAAEF^S&ADF，••h=Xi♦•S^AEC=S^ADC»

•••AE=2,£8=4,；.SAEC=^SABC=7,：.SADC=SAEC=7•故答案为：7.

【点睛】本题考查了三角形的面积，熟练掌握等底等高的三角形的面积相等是解答本题的关键.

7.（2022江苏宿迁市•八年级期中）（数学经验）三角形的中线能将三角形分成面积相等的两部分

（经验发展）（1）面积比和线段比的联系：如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比,

S/MCM_AM

如图1,,ABC的边A8上有一点M，请证明:

S丛BCMBM

（结论应用）（2）如图2,△CDE的面积为1,-=求，A3C的面积;

AC4CB3

（拓展延伸）（3）如图3,..ABC1的边AB上有一点M，。为CM上任意一点，请利用上述结论，证明:

S4ADC_AM

,△BCDBM

（迁移应用）（4）如图4,中，M是A8的三等分点［AM=gAB>N是3c的中点，若一A3C

的面积是1,请直接写出四边形8MDV的面积

【答案】（1）见解析；（2）12；（3）见解析：（4）得

【分析】［经验发展］过。作CH_LA5于H,依据三角形面积计算公式，即可得到结论：

［结论应用I连接AE，依据“如果两个二角形的高相同，则他们的面积比等于对应底边的比”，即可得到AABC

与ACDE面积之间的关系；

［拓展延伸］依据“如果两个三角形的高相同，则他们的面积比等于对应底边的比"，即可得到AADC与MDC

面积之间的关系；

［迁移应用］连接BD,设=。,即可得出SAB°W=2〃,SMCD=3a,SACDN-——SA8CD-3a,进而

得到S四边影BMDN=Y2SMBC，

【详解】解：［经验发展］如图1,过。作于"，

图1

-AMxCH

s2AMSMCM_AM

=x=□AACW

2CH,S^CM2BMxCH,.1——,即

S^CM-BMXCHBMSMCMBM-

2

［结论应用］如图2,连接4E,

图2

CD1，・双加」S~又任1

AC4

又△(%)£：的面积为1,.'.△ABC的面枳12.

S,MCM_AM

［拓展延伸］如图3,是AB上任意一点，二

SABCMBM

CDCD

QD是CM上任意一点，.应e=才SsSGCDF'S瓯乂

CD

SgCD

ME_S^CMSgDC_4例

,即q-

S^BCDCDxS2A8/)CBM

CM&BCM

B

［迁移应用］如图4,连接30,

图4

M是AB的三等分点(AM=：AB),，AM篙=1，

而=Q，QN是8c的中点，.二

3»ABJ(CD

a

设=»则SMDM—2a,SgcD=3a,S^CDN-S^DN=—S^CD=3a,

，S四边形8MDN=5a,S^c=1勿，二.S四边形83='s秘c='xl=j^.故答案为:5

12

【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了三角形的面积公式以及三角形的中线的性质的运用，解决问

题的关键是掌握三角形的中线能将三角形分成面积相等的两部分：如果两个三角形的高相同，则他们的面

积比等于对应底边的比.

题型3高线与三角形面积

性质：三角形面积等于对应底边和高乘积的一半，同一个三角形面积不变

注：求面积时，底边和高必须对应

解题技巧：同一个三角形面积不变，利用这条性质，可得出等式：BCXAD=ABXCE=ACXBF。利用个等

式，可求出三角形中某些不太方便求解的边。

1.（2022.河北石家庄.八年级阶段练习）如图，在.ABC中，。是BC上的点，且8。=2,DC=\,S4⑦=

12,那么SABC等于（）

A.30B.36C.72D.24

【答案】B

【分析】根据三角形的面积公式，知S^ACD=BD：DC=2：1,得出S"8Q=24,即可求解.

【详解】解：根据三角形的面积公式，得S/iABO：S^ACD=-BD：DC=2：1.

又SACD=12,：.S^ABD^24.：.S^ABC^SACD+S^ABD=36.故选：B.

【点睛】本题主要是根据三角形的面积公式，解题关键是掌握等高的三角形的面积等于三角形的底的比.

2.（2022・全国初二课时练习）在直角三角形八8（：中，//钻。=90。，43=3,BC=4,AC=5,贝UABC

的三条高之和为（）

A.8.4B.9.4C.10.4D.11.

【答案】B

【分析】过点B作AC边上的高BD,根据直角三角形的面积公式即可求出BD,从而求出结论.

【解析】解：如图，过点B作AC边上的高BD.

_ABC=90°,BD1AC,:.-BDxAC=-ABxBC,即BZ)x5=3x4,解得5D=2.4.

22

.•.△ABC的:.条高之和为3+4+24=9.4,故选B.

【点睛】此题考查的是三角形的高和三角形的面积公式，掌握三角形高的定义和三角形的面积公式是解决

此题的关键.

3.（2022•南通市初一月考）若一个三角形的三边长之比为3：5：7.则这个三角形三边上的高之比为（）

A.3：5：7B.7：5：3C.35：21：15D.6：5：4

【答案】C

【分析】首先根据三角形的面积计算出各边上的高的比.

【解析】因为边长之比满足3：5：7,设三边分别为3x、5x、7x,设三边上的高为a,b,c,

由题意得：=故这个三角形三边上的高之比为：a/:c=35:21:15.故选：C.

222

【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，关键是根据三角形的面积的公式计算.

4.（2022•江苏扬州初三一模）如图，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点E,如果KDE的面积为3,

△BCE的面积为4,4AED的面积为6,那么AABE的面积为（）

A.7B.8C.9D.10

【答案】B

【解析】ACDE与AAED的同底，底为DE；4BCE与AABE的底相同，为BE,aCDE与ABCE在DE、BE

上高相同；AAED与AABE在DE、BE上高相同，衿=簪，解得丛8l8

^ADESABE

考点：三角形的面积

点评：本题考查三角形的面积公式，本题的关键是找出四个三角形的边、高的关系

5.（2022•广东•八年级期中）如图，AD、BE分别是ABC的高，AC=9,BC=12,8E=10.则AQ=.

A

【分析】根据三角形的面积公式即可求得.

【详解】8E分别是△ABC的高，S^ABC=\AC-BE=1x9x10=45,S^ABC=yBC-AD,

：.|BC*AD=45,：.AD=.答案为:

21222

【点睛】本题考查了三角形的面积公式的应用；三角形的面积=/x底x高.

6.（2022・广西南宁•八年级期末）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法.

图1图2图3

(1)如图1,在Rf48c中，Z4CB=90°,BC=3,AC=4,AB=5,CDVAB,则C£)长为；

(2)如图2,在二ABC中，AB=4,BC=2,贝U.AfiC的高C£>与AE的比是；

(3)如图3,在ABC中，ZC=90°(NA<NABC),点O,P分别在边A8,4c上，且BP=AP,DEYBP,

DFA.AP,垂足分别为点E,F.若BC=5,求的值.

12

【答案】⑴M(2)1：2(3)5

【分析】(1)根据题意可得S,ABc=gAC-BC,SABc=；ABC。，从而得到AC3C=,即可求解；

(2)根据题意可得5ABe=；AEBC,S.c=gA8。，从而得到A£.3C=Afi.C£>,即可求解；

(3)根据S-=SMP+SBDP可得gBP-DE+g4POF=gAP-BC,再由步=4尸，可得

-APDE+-APDF=-APBC,即可求解.

222

【解析】(1)解：VZACB=90°,CD1AB,

：.SrAiZKJVC=-2ACBC,S./.iRDVC=-2ABCD,：.ACBC=ABCD,

・；BC=3,AC=4,AB=5,：.CD=—；

(2)解：根据题意得：SABC=^AEBC,SABC=^ABCD,

：.AEBC=ABCD,：.CD:AE=BC:AB=l:2

⑶解：取S^L3APDF,S&BDP=；BPDE,q-q+q

JABP~力ADP丁力BDP，

:.5.„=-BPDE+-APDF=-AP-BC,

/AS/ABnr222

又BP=AP,：.-APDE+-APDF=-APBC,^DE+DF=BC=5.

222

【点睛】本题主要考查了求三角形的面积，熟练掌握利用等面积法求线段的长是解题的关键.

题型4直角三角板中的求角度问题

1.（2022•河南濮阳•八年级期末）有一块直角三角板放置在工A5C上，三角板DEF的两条直角边DE,

。尸恰好分别经过点8、C,在3ABe中，ZDBA+ZDCA=4O°,则NA的度数是（）

A.40°B.44°C.45°D.50°

【答案】D

【分析】首先在△Q8C中，根据三角形内角和定理可得到NDBC与NDC8的和，再在△”(?中利用三角形

内角和定理计算NA的度数即可.

【详解】在△力8c中，VZD=90°,/.ZDBC+ZDCB=180°-90°=90°,

NDBA+ZDCA=40°,在4ABC中，

ZA=180°-(ZABC+ZAC6)=180°-(NABD+ZACD+NDBC+ZDCB)=180°-(90°+40°)=50°

A

B/

E

【点睛】本题考查r三角形内角和定理：三角形内角和为18。。，熟记三角形内角和是解题的关键.

2.（2022•湖北枣阳初二期中）如图是一副三角尺拼成图案，则NAEB=度.

【答案】75°

【分析】根据三角板的特殊角和三角形的内角和是180度求解即可.

【解析】由图知，ZA=60°,ZABE=ZABC-ZDBC=90o-45°=45°,

，ZAEB=180°-（ZA+ZABE）=1800-（60°+45°）=750.故答案为：75

3.（2022•江苏八年级期中）将一副直角三角板按如图放置（其中NC=NE=90°），使含30。角的三角板

DER的较长直角边EF与等腰直角三角板ABC的斜边A3平行，则图中N1的度数为（）

A.85°B.75°C.60°D.45°

【答案】B

【分析】根据平行线的性质和特殊直角三角形的性质以及三角形内角和定理即可求出答案.

【详解】解：如图：根据特殊直角三角形的性质可知，ZA=45°,ZF=30°,

'JAB//EF,：.ZACF=ZA=45°,：.ZCHF=180°-ZF-ZACF=\80°-30°-45°=105°,

【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键.

4.（2022・江苏•九年级二模）将一副三角板如图摆放，则Nl=

【答案】105

【分析】结合直角三角板各个角的度数和三角形内角和即可求解.

【详解】解：由图可得NA=45°;NO=NBCE=3（）°

图中三角形是直角三角板二ZDCE=60°,ZB=45°

Z2=ZDCE—NBCE=60°-30°=30°

三角形内角和为180。.-.Zfi+Z2+Zl=180o

Zl=l80°-Z2-Zfi=180°-30°—45°=105°故答案是：105.

【点睛】本题主要考察直角三角板的角度和三角形内角和，属于基础的几何角度求解问题，难度不大.解

题的关键是掌握直角三角板的特殊角度.

5.（2022•浙江八年级期中）将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起，其中NA=30°,ZB=60°,

ZD=NE=45°.（1）当NBCE=30°时，试说明C。//AB的理由.

（2）若按住三角板ABC不动，绕顶点C转动三角板DCE,在旋转过程中始终要求点E在直线8C上方，

当两块三角板有一组边互相平行时，则NBCE的度数为（请直接写出所有答案）.

【答案】(1)见解析；(2)30。或45。或120。或135。或165°

【分析】(1)首先证明NBCE=NACD=30。，根据NA=/AC£>,可得结论；

(2)分A8〃C。，BC//DE,AB//CE,DE//AC,AB//DE,五种情况，画图出图，再求解.

【详解】解：(1)VZACB=Z£CD=90°,

即ZACE+ZBCE=ZACE+ZACD=90°,?.ZBCE=ZACD=30°,

；NA=30°,：.CD//ABx

(2)如图1,AB〃C。，AZACD=ZA=30°,：.ZAC£=90°-30°=60°,

，ZBCE=ZACB-ZACE=30°；

如图2,BC//DE,：.Z£=ZfiCE=45°；

如图3,AB//CE,：.NACE=NA=30°,ZBCE=ZACE+ZACB=\20°,

如图4,DE//AC,：.ZACE=ZE=45°,：.ZBCE=ZACE+ZACB=\35°；

如图5,AB//DE,延长8C交OE于凡'：Mi//DE,/8=NCFD=60。，

VZ£=45°,AZ£CF=60o-45°=15°,AZBC£=180°-15°=165°.

综上：NBCE的度数为：30。或45。或120。或135。或165。.

【点睛】本题考查三角形综合题、平行线的性质、三角形的内角和定理、直角三角形的性质等知识，解题

的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题.

6.（2022•浙江杭州•八年级期中）如图1,含30。角的直角三角板OEF（N即尸=30°）与含45°角的直角三角

板的斜边在同一直线上，。为的中点，将直角三角板。所绕点。按逆时针方向旋转Na（0°<a<180。），

在旋转过程中：（1）如图2,当Nc=。时，DEI/AB-,当Na=。时，DEYAB；

（2）如图③，当直角三角板。耳'的边。尸、0E分别交84、C4的延长线于点M、N时；

①N1与N2度数的和是否变化？若不变，求出N1与N2度数的和；若变化，请说明理由；

②若使得N1=2N2,求出Nl、N2的度数，并直接写出此时Na的度数；

③若使得求Na的度数范围.

【答案】⑴15°,105°；（2）①不变，60°：②N1=40。，N2=20。，Za=85°；③69°a<90°

【分析】（1）当NEDC=N5=45。时，DE//AB,根据平行线的性质得30。+。=45。，解得a=15。；当

OE//AC时，DE^AB,根据平行线的性质得30。+&+45。=180。，解得a=105°；

（2）①连接MN，如图3,在AAMN中，由三角形内角和定理得NANM+NAMV+NM4N=180°,则

ZANM+ZAMN^90°,再在AMND中，利用三角形内角和定理得到

Z2+ZANM+ZAMN+ZX+ZMDN=180°,所以Nl+N2=60°：

[Zl+Z2=60°

②根据N1与N2的关系列方程组《八.八，然后解方程组即可；再根据三角形内角和定理和对顶角

Zl=2Z2

相等得到NC+ZMDC=NI+ZM4C,即45。+夕=40。+90。，解得&=850；

2

③由Nl+N2=60°可解得N1224。，由于NC+NM£>C=N1+NM4C,QP45°+a=Zl+90°,

则Nl=a-45。，所以夕-45。224。，解得&N69。，利用直角三角板£>£户的边、DE分别交84、CA

的延长线于点〃、N得到a<90°，于是得到69。<夕<90。.

【详解】解：（1）4=45。，...当N£Z）C=ZB=45。时，DE//AB,

而N£Z»=30°,.•.30。+。=45。，解得c=15°；

当DE//AC时，DE^.AB，此时NC+NEDC=180°，

.•.30。+。+45。=180°,解得2=105°；故答案为15°,105°；

（2）①/!与N2度数的和不变.连接MN,如图3,

图3

在^AMN中，ZANM+ZAMN+AMAN=180°,ZANM+ZAMN=90°,

在AWD中，■,^DNM+ADMN+ZMDN=\80°,

即Z2+ZANM+ZAMN+Z1+ZMDN=180°,,-.Zl+Z2=l80°-90°-30°=60°；

Nl+N2=60。Nl=40。

②根据题意得<，解得《

Nl=2Z2Z2=20°

ZC+ZMDC=Z\+ZMAC,即45°+a=40°+90°,;。=85°；

22

(§)-Zl>-Z2,Zl+Z2=60°,.-.Zl>-(60°-Zl),/.Zl>24°,

[NC+NME)C=N1+NM4C,BP45°+a=Zl+90°,:.Zl=a-45°,

.'.a-45°>24°,解得a269。，Ne的度数范围为69。4a<90。.

【点睛】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180。.也考查了解二元一次方程组.合理选择三

角形后利用三角形内角和定理列等量关系是解决问题的关键，同时运用不等式的性质解决Na的度数范围.

题型5双角平分线（两内、两外、一内一外）

1.（2022・无锡市江南中学七年级月考）如图，BD、CE为AABC的两条角平分线，则图中/I、/2、/A之

间的关系为.

【分析】先根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，写出/1+N2与/A的关系，再根据三角形

内角和等于180。,求出N1+N2与NA的度数关系.

【详解】；BD、CE为AABC的两条角平分线，AZABD=-ZABC,ZACE=-ZACB,

22

VZ1=ZACE+ZA,Z2=ZABD+ZA

/1+/2=NACE+/A+NABD+NA=—NABCH—NACBH-NA+二NA

2222

1333

=一（ZABC+ZACB+ZA）+-ZA=90°+-ZA故答案为NA=90°.

2222

【点睛】考查了三角形的内角和等于180。、外角与内角关系及角平分线的性质，是基础题.三角形的外角

与内角间的关系：三角形的外角与它相邻的内角互补，等于与它不相邻的两个内角的和.

2.（2022.江苏扬州市.七年级月考）如图，BP是AABC中/ABC的平分线，CP是/ACB的外角的平分线，

如果NABP=20。，ZACP=50°,则/P=°,

【分析】根据角平分线的定义可得/PBC=20。，ZPCM=50°,根据三角形外角性质即可求出NP的度数.

【详解】：BP是/ABC的平分线，CP是NACM的平分线，ZABP=20°,ZACP=50°,

AZPBC=20°,ZPCM=50°,VZPBC+ZP=ZPCM,AZP=ZPCM-ZPBC=50°-20°=30°,故答案为30

【点睛】本题考查及角平分线的定义及三角形外角性质，三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，

熟练掌握三角形外角性质是解题关键.

3.（2022•苏州外国语学校八年级期中）如图，在，A3c中，ZF=16°,BD、C。分别平分NABC、ZACB,

M、N、。分别在£>B、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分NMBC、ZBCN,BF、CT分别平

济NEBC、NECQ,则ZA=.

【答案】52°

【分析】根据三角形外角的性质和角平分线的定义可求出/E,利用三角形内角和求出N5+N6+N1,得到

ZMBC+ZNCB,从而求出NDBC+NOCB,再次利用角平分线的定义和三角形内角和得到/A.

【详解】解：BF、。尸分别平分ZEBC、ZECQ,.-.Z5=Z6,Z2=Z3+Z4,

Z3+Z4=Z5+ZF,Z2+Z3+Z4=Z5+Z6+ZE,

即Z2=Z5+NF,2/2=275+ZE,.-.2ZF=ZE=32°.

BE.CE分别平分NMBC、/BCN,

Z5+Z6=-NMBC,Zl=-NNCB,Z5+Z6+Z1=-(NMBC+NNCB),

222

-Z£=18O°-(Z5+Z6+Z1)=32°,/.N5+N6+N1=148。，

ZMBC+ZNCB=2(Z5+Z6+Z1)=296°,

QBD、CD分别平分NABC、ZACB,

：.NDBC=-ZABC,ZDCB=-ZACB,

22

:.ZDBC+ZDCB=180°-NMBC+180°-NNCB=360°-(NMBC+NNCB)=64°,

.,.NA=18()o-(NA8C+NAC8)=180O-2(NO8C+N£)CB)=52。，故答案为：52°.

D

BCO

【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运

用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题.

4.（2022•上海市川沙中学南校八年级期中）如图1,N48C、以加的角平分线B4、C4相交于点儿,

（1）如果NA=64°,那么N4的度数是多少，试说明理由并完成填空；

（2）如图2,NA=64°,如果4428c、NA2cM的角平分线、C&相交于点&,请直接写出NA3

度数；

（3）如图2,重复上述过程，Z4_（BC、ZA^CM的角平分线BA„、CAn相交于点A,,得到ZA„，设=。。,

请用。表示NA”的度数（直接写出答案）

说理如下：因为氏与、C4平分乙”。和4CM（已知）,

所以N4BC=2/1,ZA,CM=2Z2（角平分线的意义）.

因为NACM,Z2=Z1+ZA()

（完成以下说理过程）

【答案】（1）32；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和;过程见解析：（2）16°；（3）

【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形的外角的性质进行求解即可；

（2）根据（1）的解法进行求解即可；（3）利用（1）的结论求解即可.

【详解】（1）结论：N&=32。；理由如下：

ZA.BC,ZACM的角平分线BA2、CA相交于点儿

.-.Z/\BC=2Z1,ZA.CM=2Z2（角平分线的意义）

Z^CM=,Z2=Z1+ZA2（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）

.-.ZA^^CM-Z^BC,N&=N2—N1（等式性质）

NA=2Z2-2Z1=2ZA（等量代换）.•.ZA=32°；

（2）VZABC、乙42cM的角平分线BA.、CA,相交于点A3

：.AA.BC=2AA,BM,ZA.CM=2ZA.CM（角平分线的意义）

•••ZA2CM=ZABC+ZA,,ZA.CM=ZA.BM+ZA,（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角

的和）

：.ZA2=ZA.CM-ZA.BC,N&=NA3CM-NA36M（等式性质）

二ZA,=2ZA3cM-2ZA.BM=2ZA3（等量代换）

幺=16。；

（3）•.•当/4=64°,/4=32。、/4=16°，当/4=＞，ZA„.

【点睛】本题主要考查了角的平分线的定义以及三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于与它不

相邻的两个内角的和成为解答本题的关键.

5.（2022・镇江市外国语学校八年级月考）如图1,已知NMON=60。，A、B两点同时从点。出发，点A

沿射线ON运动，点B沿射线运动.

M

B

B//\

/x./c<\

0ANoAN

图1图2

（1）如图2,点C为A5O三条内角平分线交点，连接BC、AC,在点A、B的运动过程中，NAC8的

度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理由：

（2）如图3,在（1）的条件下，连接。。并延长，与448M的角平分线交于点P,与A3交于点。.

①ZP与NB40的数量关系为一.②在.3CP中，如果有一个角是另一个角的2倍，求N840的度数.

【答案】（I）不变，120。；（2）①ZBAO=2ZP；②90°或60°

【分析】（1）由NCB4+NC4B的和不变可知/ACB度数不变；

（2）①利用三角形外角的性质和角平分线的定义，分别用NA4O和NP表示出/M8P,据此可得结果；

②设N08A为m度，可用机表示A8CP三个内角，分类讨论可得答案.

【详解】解：（1）ZACB的度数不变，理由如下：

,点C为A46O三条内角平分线交点，・•./CB4=g/O3A,ZCAB=^ZOAB,

ZCBA+ZCAB=-ZOBA+-NOAB=-（NOBA+NOAB）,

222

AMON=60°,NORA+NO48=120°,ZCBA+ZC4B=60°,

.〔ZACB=120。，即NACB的度数不变；

（2）①点C为AABO三条内角平分线交点，:.ZBOA=2^BOP,ZBAO=2ZBAC,

：.ZMBA=ZBOA+ZBAO=60°+ZBAO,

3P为NA6M的角平分线，；.ZMBA=2ZMBP,：.60°+ZBAO=2ZMBP,

60°+Z.BAO

ZMBP=ZBOP+ZP=30°+ZP,---------------=30°+ZP,整理得：ZBAO=2ZP；

2

②设NO54=m,则NMB4=180°-加，ABAO=nO0-m,

3P为乙IBM的角平分线，...43尸=90°-；”,

AMON=60°,点。为MB0三条内角平分线交点,

ZABC=-m,NBCP=NBCO+ZOBC=30°+」机，

22

NCBP=ZABC+ZABP=90°,/.ZP=180°-NCBP-NBCP=60°--m,

2

ABCP中有一个角是另一个角的2倍,分四种情况：

(1)NCBP=2ABCP,则90°=2(30°+]〃。，解得机=30°,此时440=120°—加=90°,

2

(2)NCBP=2NP,则90°=2(60°-；〃?)，解得加=30°,此时NR40=120°—〃?=90°,

(3)NBCP=2ZP,则30°+L/M=2(60°—L〃)，解得机=60°,此时Nfi4O=120°—，“=60°,

22

(4)NP=2NBCP,则60°—g，”=2(30°+g/n),解得利=0。，故舍去，

MCP中有一个角是另一个角的2倍，NBAO为90°或