2024届广东省揭阳一中、金山中学高二数学第二学期期末联考模拟试题含解析

2024届广东省揭阳一中、金山中学高二数学第二学期期末联考模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知向量、、满足，且，则、夹角为（）A． B． C． D．2．在中，，，分别为角，，所对的边，若，则（）A．一定是锐角三角形 B．一定是钝角三角形C．一定是直角三角形 D．一定是斜三角形3．若3x+xn展开式二项式系数之和为32，则展开式中含xA．40 B．30 C．20 D．154．函数的图象沿轴向右平移个单位后，得到为偶函数，则的最小值为（）A． B． C． D．5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B．8 C．6 D．6．已知随机变量，若，则，分别为（）A．和 B．和 C．和 D．和7．如图所示，程序框图输出的某一实数中，若，则菱形框中应填入()A． B． C． D．8．设集合，，则A． B． C． D．9．老师在班级50名学生中，依次抽取学号为5，10，15，20，25，30，35，40，45，50的学生进行作业检查，这种抽样方法是（）A．随机抽样 B．分层抽样 C．系统抽样 D．以上都是10．对于命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的内切球切于四面体（）A．各正三角形内的点B．各正三角形的中心C．各正三角形某高线上的点D．各正三角形各边的中点11．参数方程为参数表示什么曲线A．一个圆 B．一个半圆 C．一条射线 D．一条直线12．已定义在上的函数无极值点，且对任意都有，若函数在上与具有相同的单调性，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若直线与直线与直线互相垂直，则实数=_______14．下表提出了某厂节能耗技术改造后，在生产产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产耗能（吨）的几组相对数据．根据上表提供的数据，求出关于的线性回归直线方程，那么表中__________．15．定积分的值为_____．16．函数的单调递增区间为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（Ⅰ）求函数的最小正周期和单调递减区间；（Ⅱ）已知，且，求的值.18．（12分）在四棱锥中，四边形是平行四边形，且，．（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）若，，二面角的平面角的余弦值为，求的正弦值．19．（12分）的展开式一共有13项.（1）求展开式中二项式系数之和；（2）求展开式中的常数项20．（12分）某校选择高一年级三个班进行为期二年的教学改革试验，为此需要为这三个班各购买某种设备1台.经市场调研，该种设备有甲乙两型产品，甲型价格是3000元/台，乙型价格是2000元/台，这两型产品使用寿命都至少是一年，甲型产品使用寿命低于2年的概率是，乙型产品使用寿命低于2年的概率是.若某班设备在试验期内使用寿命到期，则需要再购买乙型产品更换.(1)若该校购买甲型2台，乙型1台，求试验期内购买该种设备总费用恰好是10000元的概率；(2)该校有购买该种设备的两种方案，方案：购买甲型3台；方案：购买甲型2台乙型1台.若根据2年试验期内购买该设备总费用的期望值决定选择哪种方案，你认为该校应该选择哪种方案？21．（12分）设为虚数单位，为正整数，（1）证明：；（2），利用（1）的结论计算．22．（10分）设函数.(Ⅰ)讨论函数的单调性；(Ⅱ)当函数有最大值且最大值大于时，求的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

对等式两边平方，利用平面向量数量积的运算律和定义得出，由此可求出、的夹角.【题目详解】等式两边平方得，即，又，所以，，因此，、夹角为，故选：C.【题目点拨】本题考查平面向量夹角的计算，同时也考查平面向量数量积的运算律以及平面向量数量积的定义，考查计算能力，属于中等题.2、C【解题分析】分析：由已知构造余弦定理条件：，再结合余弦定理，化简整理得，即一定为直角三角形.详解：由已知，得①由余弦定理：②将①代入②整理得一定为直角三角形故选C点睛：判断三角形形状（1）角的关系：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．①若；则A=B；②若；则A=B或（2）边的关系：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．①若，则；②若，则；③若，则．3、D【解题分析】

先根据二项式系数的性质求得n＝5，可得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于3，求得r的值，即可求得结果．【题目详解】由3x+xn展开式的二项式系数之和为2n＝32，求得可得3x+x5展开式的通项公式为Tr+1=C5r•3x5-r•xr令5-r2＝3，求得r＝4，则展开式中含x3故选：D．【题目点拨】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．4、B【解题分析】

利用三角函数恒等变换，可得，，利用其为偶函数，得到，从而求得结果.【题目详解】因为，所以，因为为偶函数，所以，所以，所以的最小值为，故选B.【题目点拨】该题考查的是有关三角函数的图形平移的问题，在解题的过程中，需要明确平移后的函数解析式，根据其为偶函数，得到相关的信息，从而求得结果.5、A【解题分析】分析：由三视图可知，该几何体是一个四棱锥，它的底面是一个长宽分别为的矩形，棱锥的高为，利用棱锥的体积公式可得结果.详解：根据三视图知：由三视图可知，该几何体是一个四棱锥，它的底面是个长宽分别为的矩形，棱锥的高为，，故选A.点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于中档题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.6、C【解题分析】

利用二项分布的数学期望和方差公式求出和，然后利用期望和方差的性质可求出和的值.【题目详解】，，.，，由期望和方差的性质可得，.故选：C.【题目点拨】本题考查均值和方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．7、B【解题分析】分析：由已知中的程序语句可知，该程序功能是利用循环结构计算并输出实数对，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量的变化情况，可得答案．详解：由题意，当时，第1次循环，不满足条件，；第2次循环，不满足条件，；第3次循环，不满足条件，；第4次循环，不满足条件，；第5次循环，不满足条件，，此时输出结果，所以判断框填写的条件应为，故选B．点睛：本题主要考查了循环结构的程序框图的判断条件的添加问题，其中极大中应模拟程序框图的运行过程，把握程序框图的运算功能是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．8、C【解题分析】由，得：∴；∵，∴∴故选C9、C【解题分析】

对50名学生进行编号，分成10组，组距为5，第一组选5，其它依次加5，得到样本编号.【题目详解】对50名学生进行编号，分成10组，组距为5，第一组选5，从第二组开始依次加5，得到样本编号为：5，10，15，20，25，30，35，40，45，50，属于系统抽样.【题目点拨】本题考查系统抽样的概念，考查对概念的理解.10、B【解题分析】四面体的面可以与三角形的边类比，因此三边的中点也就类比成各三角形的中心，故选择B.11、C【解题分析】分析：消去参数t，把参数方程化为普通方程，即得该曲线表示的是什么图形.详解：参数方程为参数，消去参数t，把参数方程化为普通方程，，即，它表示端点为的一条射线.故选：C.点睛：本题考查了参数方程的应用问题，解题时应把参数方程化为普通方程，并且需要注意参数的取值范围，是基础题.12、A【解题分析】分析：易得函数是单调函数，令，则，（为常数），求出的单调性，从而求出在的单调性，得到在恒成立，求出的范围即可．详解：∵定义在上的函数的导函数无零点，∴函数是单调函数，

令，则，在]恒成立，故在递增，

结合题意在上递增，

故在恒成立，

故在恒成立，故，

故选A．点睛：本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，属于中档题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】：，即14、【解题分析】试题分析：由题意可知，因为回归直线方程，经过样本中心，所以=1．7×2．5+1．35，解得t=3考点：线性回归方程15、【解题分析】16、【解题分析】

先求得函数的定义域，然后根据复合函数同增异减求得函数的单调递增区间.【题目详解】由解得或，由于在其定义域上递减，而在时递减，故的单调递增区间为.【题目点拨】本小题主要考查复合函数单调区间的求法，考查对数函数定义域的求法，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ)，；(Ⅱ).【解题分析】分析：（1）根据两角和差公式将表达式化一，进而得到周期和单调区间；（2），通过配凑角得到，展开求值即可.详解：（Ⅰ），，令，，函数的单调递减区间为.（Ⅱ），,，，则，.点睛：这个题目考查了三角函数的化一求值，两角和差公式的化简，配凑角的应用；三角函数的求值化简，常用的还有三姐妹的应用，一般，，这三者我们成为三姐妹，结合，可以知一求三.18、（1）0；（2）.【解题分析】

（1）首先设与的交点为，连接.根据已知及三角形全等的性质可证明面，即可得到异面直线与所成角的余弦值.（2）首先作于点，连接，易证，得到，即为二面角的一个平面角，再利用余弦定理即可得到的正弦值.【题目详解】（1）设与的交点为，连接.因为四边形是平行四边形，且，所以四边形是菱形.因为，，，所以，.又因为，，及，所以，，即，面.故异面直线与夹角的余弦值为.（2）作于点，连接，因为，，，所以，所以，，，即为二面角的一个平面角，设，则，，解得，.所以的正弦值为．【题目点拨】本题第一问考查异面直线成角问题，第二问考查二面角的计算，属于中档题.19、（1）；（2）7920【解题分析】

先由的展开式一共有13项得，则直接可得（1）的结果，（2）根据展开式的通项，令，即可求出常数项.【题目详解】解：由的展开式一共有13项得，（1）由得展开式中二项式系数之和为；（2）由得展开式的通项为，令，得，所以展开式中的常数项为.【题目点拨】本题考查二项式定理及其应用，其中的展开式通项的熟练运用是关键，是基础题.20、（1）（2）选择B方案【解题分析】【试题分析】（1）由于总费用为10000元，说明试验期内恰好有1台设备使用寿命到期，因此可运用独立事件的概率公式可求得；（2）可将问题转化为两类进行求解：（1）若选择方案，记试验期内更换该种设备台数为，总费用为元，则，所以，又，所以；（2）若选择B方案，记试验期内更换该种设备台数为，总费用元，则，，，，所以，又，所以因为，所以选择B方案．解：（1）总费用为10000元，说明试验期内恰好有1台设备使用寿命到期，概率为：；（2）若选择方案，记试验期内更换该种设备台数为，总费用为元，则，所以，又，所以；若选择B方案，记试验期内更换该种设备台数为，总费用元，则，，，，所以，又，所以因为，所以选择B方案．21、(1)证明见解析.(2).【解题分析】分析：（1）利用数学归纳法先证明，先证明当时成立，假设当时，命题成立，只需证明当时，命题也成立，证明过程注意三角函数和差公式的应用；（2）由（1）结论得，结合诱导公式与特殊角的三角函数可得结果.详解：（1）1°当时，左边，右边，所以命题成立2°假设当时，命题成立，即，则当时，所以，当时，命题也成立综上所述，（为正整数）成立（2）由（1）结论得点睛：本题主要考查复数的运算、诱导公式、特殊角的三角函数、归纳推理的应用以及数学归纳法证明，