2024届福建省永安一中数学高二下期末监测试题含解析

2024届福建省永安一中数学高二下期末监测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．给出下列命题：①命题“若，则方程无实根”的否命题；②命题“在中，，那么为等边三角形”的逆命题；③命题“若，则”的逆否命题；④“若，则的解集为”的逆命题；其中真命题的序号为（）A．①②③④ B．①②④ C．②④ D．①②③2．魏晋时期数学家刘徽首创割圆术，他在《九章算术》中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．这是一种无限与有限的转化过程，比如在正数中的“…”代表无限次重复，设，则可以利用方程求得，类似地可得到正数=（）A．2 B．3 C．4 D．63．在△中，为边上的中线，为的中点，则A． B．C． D．4．某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图的上半部分均为半圆，下半部分为等腰直角三角形，则该几何体的表面积为（）A． B． C． D．5．己知函数，其中为函数的导数，求（）A． B． C． D．6．已知则复数A． B． C． D．7．已知集合，，则中元素的个数为（）A．3 B．2 C．1 D．08．下面给出了四种类比推理：①由实数运算中的类比得到向量运算中的；②由实数运算中的类比得到向量运算中的；③由向量的性质类比得到复数的性质；④由向量加法的几何意义类比得到复数加法的几何意义；其中结论正确的是A．①② B．③④ C．②③ D．①④9．已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数k的取值范围是（）A． B． C． D．10．某市一次高二年级数学统测,经抽样分析,成绩近似服从正态分布,且,则()A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.511．已知A2,3,B4,-3且APA．6,9 B．(3,0) C．6,-9 D．2,312．已知两个复数,的实部和虚部都是正整数,关于代数式有以下判断:①最大值为2；②无最大值;③最小值为；④无最小值.其中正确判断的序号是（）A．①③ B．①④ C．②④ D．②③二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．函数的定义域是________14．的平方根是______．15．已知函数的图象的对称中心为，函数的图象的对称中心为，函数的图象的对称中心为.由此推测，函数的图象的对称中心为________.16．若复数z满足方程，其中i为虚数单位，则________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某高科技公司研究开发了一种新产品，生产这种新产品的每天固定成本为元，每生产件，需另投入成本为元，每件产品售价为元（该新产品在市场上供不应求可全部卖完）．（1）写出每天利润关于每天产量的函数解析式；（2）当每天产量为多少件时，该公司在这一新产品的生产中每天所获利润最大．18．（12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，且过点．（1）求椭圆的方程；（2）设点，点在轴上，过点的直线交椭圆交于，两点．①若直线的斜率为，且，求点的坐标；②设直线，，的斜率分别为，，，是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．19．（12分）袋中装有黑色球和白色球共个，从中任取个球都是白色球的概率为，现有甲、乙两人从袋中轮流摸出个球，甲先摸，乙后摸，然后甲再摸，，摸后均不放回，直到有一个人摸到白色球后终止，每个球在每一次被摸出的机会都是等可能的，用表示摸球终止时所需摸球的次数.（1）求随机变量的分布和均值；（2）求甲摸到白色球的概率.20．（12分）双曲线的虚轴长为，两条渐近线方程为.（1）求双曲线的方程；（2）双曲线上有两个点，直线和的斜率之积为，判别是否为定值，；（3）经过点的直线且与双曲线有两个交点，直线的倾斜角是，是否存在直线（其中）使得恒成立？（其中分别是点到的距离）若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.21．（12分）在直角坐标系中，以原点为极点，以轴正半轴为极轴，圆的极坐标方程为．（1）将圆的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）过点作斜率为1直线与圆交于两点，试求的值．22．（10分）如图，在四棱锥中，是边长为2的正方形，平面平面，直线与平面所成的角为，.（1）若，分别为，的中点，求证：直线平面；（2）求二面角的正弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

①写出其否命题，再判断真假；②写出其逆命题，再判断真假；③根据原命题与逆否命题真假性相同，直接判断原命题的真假即可；④写出其逆命题，再判断真假.【题目详解】①命题“若，则方程无实根”的否命题为：“若，则方程有实根”,为真命题，所以正确.②命题“在中，，那么为等边三角形”的逆命题为：“若为等边三角形，则”为真命题，所以正确.③命题“若，则”为真命题，根据原命题与逆否命题真假性相同，所以正确.④“若，则的解集为”的逆命题为：“若的解集为，则”当时，不是恒成立的.当时,则解得：，所以正确.故选：A【题目点拨】本题考查四种命题和互化和真假的判断，属于基础题.2、B【解题分析】

先阅读理解题意，再结合题意类比推理可得：设，解得，得解．【题目详解】解：依题意可设，解得，故选：．【题目点拨】本题考查类比推理，属于基础题．3、A【解题分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.详解：根据向量的运算法则，可得，所以，故选A.点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.4、A【解题分析】

根据三视图知：几何体为半球和圆柱和圆锥的组合体，计算表面积得到答案.【题目详解】根据三视图知：几何体为半球和圆柱和圆锥的组合体..故选：.【题目点拨】本题考查了根据三视图求表面积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.5、A【解题分析】

设，判断奇偶性和导数的奇偶性，求和即可得到所求值．【题目详解】解：函数设，则即，即，则，又，，可得，即有，故选：．【题目点拨】本题考查函数的奇偶性和导数的奇偶性，考查运算能力，属于中档题．6、A【解题分析】分析：利用复数的乘法法则化简复数，再利用共轭复数的定义求解即.详解：因为，所以，，故选A.点睛：本题主要考查的是复数的乘法、共轭复数的定义，属于中档题．解答复数运算问题时一定要注意和以及运算的准确性，否则很容易出现错误.7、B【解题分析】试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合A表示以为圆心，为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B表示直线上所有的点组成的集合，又圆与直线相交于两点，，则中有2个元素.故选B.【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.8、D【解题分析】

根据向量数量积的定义、复数的运算法则来进行判断．【题目详解】①设与的夹角为，则，，则成立；②由于向量的数量积是一个实数，设，，所以，表示与共线的向量，表示与共线的向量，但与不一定共线，不一定成立；③设复数，则，是一个复数，所以不一定成立；④由于复数在复平面内可表示的为向量，所以，由向量加法的几何意义类比可得到复数加法的几何意义，这个类比是正确的．故选D．【题目点拨】本题考查数与向量、向量与复数之间的类比推理，在解这类问题时，除了考查条件的相似性之外，还要注意定义的理解，考查逻辑推理能力，属于中等题．9、A【解题分析】

由的导函数形式可以看出，需要对k进行分类讨论来确定导函数为0时的根．【题目详解】解：∵函数的定义域是∴，∵是函数的唯一一个极值点∴是导函数的唯一根，∴在无变号零点，即在上无变号零点，令，因为，所以在上单调递减，在上单调递增所以的最小值为，所以必须，故选：A．【题目点拨】本题考查由函数的导函数确定极值问题．对参数需要进行讨论．10、A【解题分析】

根据正态分布的对称性求出P（X≥90），即可得到答案．【题目详解】∵X近似服从正态分布N(84,σ2),.∴，故选：A.【题目点拨】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，抓住正态分布曲线的对称性即可解题，属于基础题.11、C【解题分析】

设P点的坐标为x,y，根据题意得到AP与PB的坐标，由AP=-2【题目详解】设P点的坐标为x,y，因为A2,3所以AP=(x-2,y-3)，BP因为AP=-2PB，所以因此x-2=2(x-4)y-3=2(y+3)，解得x=6y=-9，即故选C【题目点拨】本题主要考查向量的坐标运算，熟记运算法则即可，属于基础题型.12、C【解题分析】

设两个复数,,在复平面内对应点,利用平面向量的加法的几何意义以及平面向量的数量积可以判断出的最值情况.【题目详解】设两个复数,,在复平面内对应点,因此有：因为,复数,的实部和虚部都是正整数,所以,(当且仅当),故,假设有最小值,则,显然对于也成立,于是有这与相矛盾,故不存在最小值；对任意正整数,,,,故没有最大值,因此②④说法正确.故选：C【题目点拨】本题考查了复数的向量表示,考查了平面向量的数量积的计算,考查了数学运算能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

将函数的指数形式转化为根式形式,即可求得其定义域.【题目详解】函数即根据二次根式有意义条件可知定义域为故答案为:【题目点拨】本题考查了具体函数定义域的求法,将函数解析式进行适当变形,更方便求解,属于基础题.14、【解题分析】

设的平方根为，由列方程组，解方程组求得.【题目详解】设的平方根为（为实数），故，所以，解得，或，故.故答案为：.【题目点拨】本小题主要考查负数的平方根，考查复数运算，属于基础题.15、【解题分析】

由已知可归纳推测出的对称中心为，再由函数平移可得的对称中心.【题目详解】由题意，题中所涉及的函数的对称中心的横坐标依次为，即由此推测的对称中心为.又所以其对称中心为.故答案为：【题目点拨】本题考查归纳与推理，涉及到函数的对称中心的问题，是一道中档题.16、2【解题分析】

设，利用复数的乘法运算计算得到即可.【题目详解】由已知，设，则，所以，解得，故，.故答案为：2.【题目点拨】本题考查复数的乘法、复数模的运算，涉及到复数相等的概念，是一道容易题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）每天产量为件时，该公司在这一新产品的生产中每天所获利润最大为.【解题分析】

（1）根据（利润）（总售价）（总成本），将利润写成分段函数的形式；（2）计算利润的分段函数的每一段的最值，然后再进行比较求得利润最大值.【题目详解】（1）因为每件产品售价为元，所以件产品售价为元；当时，；当时，；所以：；（2）当时，，当时有最大值；当时，，取等号时，即时，有最大值；且，所以当每天产量为件时，该公司在这一新产品的生产中每天所获利润最大.【题目点拨】本题考查函数的实际应用，难度一般.求解分段函数的最值时，必须要考虑到每一段函数的最值，然后再比较每段最值的大小，取得最后的结果；运用基本不等式的时候，要注意取等号的条件.18、（1）（2）①②存在，；【解题分析】

（1）根据椭圆离心率及过点，建立方程组，求解即可（2）①设直线的方程为：,联立椭圆方程，利用弦长公式即可求出m,得到点的坐标②直线分斜率为0与不为0两种情况讨论，斜率为0时易得存在，斜率不为0时，联立直线与椭圆方程，利用恒成立，可化简知存在定点.【题目详解】（1）∵椭圆：的离心率为，且过点．∴，，∴椭圆的方程为：．（2）设，，①设直线的方程为：．．．，．，解得.∴．②当直线的斜率为0时，，，.由可得，解得，即.当直线的斜率不为0时，设直线的方程为．由.，．由可得，，..，∴当时，上式恒成立，存在定点，使得恒成立．【题目点拨】本题主要考查了椭圆的标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，定点问题，属于难题.19、(1)分布列见解析，E(X)＝2.(2)P(A)＝.【解题分析】分析：（1）由已知先出白子个数，进而可得随机变量X的概率分布列和数学期望；（2）记事件A为“甲摸到白色球”，则事件A包括以下三个互斥事件：A1＝“甲第1次摸球时摸出白色球”；A2＝“甲第2次摸球时摸出白色球”；A3＝“甲第3次摸球时摸出白色球”，利用互斥事件概率加法公式可得.详解：设袋中白色球共有x个，x∈N*且x≥2，则依题意知＝，所以＝，即x2－x－6＝0，解得x＝3(x＝－2舍去)．(1)袋中的7个球，3白4黑，随机变量X的所有可能取值是1,2,3,4,5.P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝.随机变量X的分布列为X12345P所以E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝2.(2)记事件A为“甲摸到白色球”，则事件A包括以下三个互斥事件：A1＝“甲第1次摸球时摸出白色球”；A2＝“甲第2次摸球时摸出白色球”；A3＝“甲第3次摸球时摸出白色球”．依题意知，P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，P(A3)＝＝，所以甲摸到白色球的概率为P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.点睛：本题考查的知识点是古典概型的概率计算公式，随机变量的分布列和数学期望，互斥事件概率加法公式.20、（1）；（2）8；（3）存在且【解题分析】分析：（1）根据题意，双曲线的虚轴长为，两条渐近线方程为.易求求双曲线的方程；（2）设直线的斜率，显然，联立得，求出，，可证；（3）设直线方程，联立，（*），∵，方程总有两个解，设，得到，根据得，整理得，由，则符合题目要求，存在直线．详解：（1）双曲线；（2）设直线的斜率，显然，联立得，，，；（3）设直线方程，联立，（*），∵，方程总有两个解，设，，根据得，整理得，∵，∴符合题目要求，存在直线．