安徽省毫州市第二中学2024届高二数学第二学期期末达标检测模拟试题含解析

安徽省毫州市第二中学2024届高二数学第二学期期末达标检测模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在某项测量中，测量结果，且，若在内取值的概率为,则在内取值的概率为（）A． B． C． D．2．已知为虚数单位，若复数在复平面内对应的点在第四象限，则的取值范围为（）A． B． C． D．3．设集合，则的元素的个数为（）A． B． C． D．4．已知是两个非空集合，定义集合，则结果是()A． B． C． D．5．设是虚数单位，则复数的虚部等于（）A． B． C． D．6．一个样本数据从小到大的顺序排列为，，，，，，，，其中，中位数为，则（）A． B． C． D．7．设等比数列的前n项和为，且满足，则A．4 B．5 C．8 D．98．设，则在下列区间中，使函数f(x)有零点的区间是（）A．[0,1]B．[1,2]C．[-2,-1]D．[-1,0]9．（2018年天津市河西区高三三模）已知双曲线：的虚轴长为，右顶点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的方程为（）A． B． C． D．10．等差数列的前项和，若，则()A．8 B．10 C．12 D．1411．是单调函数,对任意都有，则的值为（）A． B． C． D．12．已知定义在R上的函数的图象关于对称，且当时，单调递减，若，，，则a，b，c的大小关系是A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知展开式中的系数是__________．14．在西非“埃博拉病毒"的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁，为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小鼠进行试验，得到如下列联表：感染未感染合计服用104050未服用203050合计3070100附：0.1000.0500.0250.0102.7063.8415.0246.635根据上表，有________的把握认为“小动物是否感染与服用疫苗有关”.15．颜色不同的个小球全部放入个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的方法有__________．（用数值回答）16．已知函数，若函数y=f（x）﹣m有2个零点，则实数m的取值范围是________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）求的单调区间；（2）求函数在上的最大值和最小值；18．（12分）在二项式的展开式中，第三项的系数与第四项的系数相等.(1)求的值，并求所有项的二项式系数的和;(2)求展开式中的常数项.19．（12分）已知抛物线C的顶点为原点，焦点F与圆的圆心重合.（1）求抛物线C的标准方程；（2）设定点，当P点在C上何处时，的值最小，并求最小值及点P的坐标；（3）若弦过焦点，求证：为定值.20．（12分）如图，已知在四棱锥中，为中点，平面平面，，，，．（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值．21．（12分）如图，在四棱锥中，是边长为2的正方形，平面平面，直线与平面所成的角为，.（1）若，分别为，的中点，求证：直线平面；（2）求二面角的正弦值.22．（10分）已知函数.（1）求的单调区间；（2）设为函数的两个零点，求证：.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

根据，得到正态分布图象的对称轴为，根据在内取值的概率为0.3，利用在对称轴为右侧的概率为0.5，即可得出答案．【题目详解】∵测量结果，∴正态分布图象的对称轴为，∵在内取值的概率为0.3，∴随机变量在上取值的概率为，故选B．【题目点拨】本小题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、概率的基本性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．2、B【解题分析】由题．又对应复平面的点在第四象限，可知，解得．故本题答案选．3、C【解题分析】分析：分别求出A和B，再利用交集计算即可.详解：，，则，交集中元素的个数是5.故选：C.点睛：本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键.4、C【解题分析】

根据定义集合分析元素特征即可得解.【题目详解】因为表示元素在中但不属于，那么表示元素在中且在中即，故选C.【题目点拨】本题考查了集合的运算，结合题中给出的运算规则即可进行运算,属于基础题,5、D【解题分析】分析：对所给的复数分子、分母同乘以，利用进行化简，整理出实部和虚部即可．详解：∵∴复数的虚部为故选D.点睛：本题考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位的幂运算性质，两个复数相除时，一般需要分子和分母同时除以分母的共轭复数，再进行化简求值．6、A【解题分析】

数据的个数为偶数个，则中位数为中间两个数的平均数.【题目详解】因为数据有个，所以中位数为：，所以解得：，故选：A.【题目点拨】本题考查中位数的计算问题，难度较易.当一组数据的个数为偶数时（从小到大排列），中位数等于中间两个数的平均数；当一组数据的个数为奇数时（从小到大排列），中位数等于中间位置的那个数.7、D【解题分析】

由等比数列的通项公式和求和公式代入题中式子可求。【题目详解】由题意可得，，选D.【题目点拨】本题考查数列通项公式和求和公式基本量的运算。8、D【解题分析】试题分析：函数f（x）在区间[a，b]上有零点，需要f（x）在此区间上的图像连续且两端点函数值异号，即f（a）f（b）≤0，把选择项中的各端点值代入验证可得答案D．考点：零点存在定理9、A【解题分析】分析：由虚轴长为可得，由到渐近线的距离为可解得，从而可得结果.详解：由虚轴长为可得，右顶点到双曲线的一条渐近线距离为，，解得，则双曲线的方程为，故选A.点睛：用待定系数法求双曲线方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断双曲线的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.10、C【解题分析】试题分析：假设公差为,依题意可得.所以.故选C.考点：等差数列的性质.11、A【解题分析】

令，根据对任意都有，对其求导，结合是单调函数，即可求得的解析式，从而可得答案.【题目详解】令，则，.∴∵是单调函数∴∴，即.∴故选A.【题目点拨】本题考查的知识点是函数的值，函数解析式的求法，其中解答的关键是求出抽象函数解析式，要注意对已知条件及未知条件的凑配思想的应用．12、A【解题分析】

先根据对称性将自变量转化到上，再根据时单调递减，判断大小.【题目详解】∵定义在上的函数的图像关于对称，∴函数为偶函数，∵，∴，∴，，．∵当时，单调递减，∴，故选A．【题目点拨】比较两个函数值或两个自变量的大小：首先根据函数的性质把两个函数值中自变量调整到同一单调区间，然后根据函数的单调性，判断两个函数值或两个自变量的大小二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

利用二项展开式的通项公式,求得,从而可得答案.【题目详解】因为展开式的通项公式为,,所以令,解得,所以展开式中的系数是.故答案为:36.【题目点拨】本题考查了二项展开式的通项公式,属于基础题.14、95%【解题分析】

先由题中数据求出，再由临界值表，即可得出结果.【题目详解】由题中数据可得：，根据临界值表可得：犯错误的概率不超过0.05.即有95%的把握认为“小动物是否感染与服用疫苗有关”.故答案为95%【题目点拨】本题主要考查独立性检验的问题，会由公式计算，能分析临界值表即可，属于常考题型.15、1【解题分析】分析：利用挡板法把4个小球分成3组，然后再把这3组小球全排列，再根据分步计数原理求得所有的不同放法的种数．详解：在4个小球之间插入2个挡板，即可把4个小球分成3组，方法有种．

然后再把这3组小球全排列，方法有种．

再根据分步计数原理可得所有的不同方法共有种，

故答案为1．点睛：本题主要考查排列、组合以及简单计数原理的应用，利用挡板法把4个小球分成3组，是解题的关键，属于中档题16、m=2或m≥3【解题分析】分析：画出函数的图象，结合图象，求出m的范围即可.详解：画出函数的图象，如图：若函数y=f（x）﹣m有2个零点，结合图象：或.故答案为：或.点睛：对于“a＝f(x)有解”型问题，可以通过求函数y＝f(x)的值域来解决，解的个数也可化为函数y＝f(x)的图象和直线y＝a交点的个数．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)在上单调递增，在上单调递减.(2)最大值为0，最小值为.【解题分析】

通过求导函数判断函数单调性，进而判断函数在的最值.【题目详解】（1）的定义域为.对求导得，因函数定义域有，故，由.∴在上单调递增，在上单调递减.（2）由（1）得在上单调递增，在上单调递减，∴在上的最大值为.又，，且，∴在上的最小值为，∴在上的最大值为0，最小值为.【题目点拨】此题是函数单调性和函数最值的常见题，通常利用导数来处理．18、(1)8，256；(2)1792.【解题分析】

（1）由题意利用二项展开式的通项公式，求出的值，可得所有项的二项式系数的和；（2）在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于0，求出的值，即可求得常数项．【题目详解】(1)∵二项式的展开式的通项公式为，由已知得，即，解得，所有二项式系数的和为；(2)展开式中的通项公式，若它为常数项时.所以常数项是【题目点拨】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．19、（1）（2）4（3）1，【解题分析】

分析：（1）化圆的一般方程为标准方程，求出圆心坐标，可得抛物线的焦点坐标，从而可得抛物线方程；（2）设点在抛物线的准线上的射影为点，根据抛物线定义知,要使的值最小，必三点共线，从而可得结果；（3），设，，根据焦半径公式可得，利用韦达定理化简可得结果.详解：（1）由已知易得，则求抛物线的标准方程C为.（2）设点P在抛物线C的准线上的摄影为点B，根据抛物线定义知要使的值最小，必三点共线.可得，.即此时.（3），设所以.点睛：本题主要考查抛物线的标准方程和抛物线的简单性质及利用抛物线的定义求最值，属于难题.与抛物线的定义有关的最值问题常常实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化：(1)将抛物线上的点到准线的距化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；(2)将拋物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“点与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.本题是将到焦点的距离转化为到准线的距离，再根据几何意义解题的.20、（1）见解析；（2）【解题分析】

分析：（1）由勾股定理可得，可得平面，于是，由正三角形的性质可得，可得底面，从而可得结果；（2）以为，过作的垂线为建立坐标系，利用向量垂直数量积为零列方程组，求出平面的一个法向量与平面的一个法向量，利用空间向量夹角余弦公式可求出二面角的余弦值.详解：（1）证明：∵，，，，∴，，，，∴，∵平面平面,两平面的交线为∴平面，∴，∵，为中点，∴，梯形中与相交∴底面，∴平面平面．（2）如图建立空间直角坐标系，则，，，∴，，，，设平面的一个法向量为，平面的法向量为，则由可得取，得，，即，由可得取，得，，即，∴．故二面角的余弦值为．点睛：空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.21、（1）证明见解析；（2）【解题分析】

（1）由平面平面得到平面，从而，根据，得到平面，得到，结合，得到平面；（2）为原点，建立空间坐标系，得到平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式，得到法向量之间的夹角余弦，从而得到二面角的正弦值.【题目详解】（1）证明：∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面，则为直线与平面所成的角，为，∴，而平面，∴又，为的中点，∴，平面，则平面，而平面∴，又，分别为，的中点，则，正方形中，，∴，又平面，，∴直线平面；（2）解：以为坐标原点，分别以，所在直线为，轴，过作的平行线为轴建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的法向量为，则，即，取，得；设平面的法向量为，则，即，取，得.∴.∴二面角的正弦值为.【题目点拨】本题考查面面垂直的性质，线面垂直的性质和判定，利用空间向量求二面角的正弦值，属于中档题.22、(1)的单调递减区间为，单调递增区间为.(2)见证明，【解题分析】

（1）利用导数求函数单调区间的一般步骤即可求出；（2）将零点问题转化成两函数以及图像的交点问题，通过构造函数，依据函数