山西省同煤二中联盟体2024届数学高二第二学期期末质量检测试题含解析

山西省同煤二中联盟体2024届数学高二第二学期期末质量检测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．一根细金属丝下端挂着一个半径为1cm的金属球，将它浸没底面半径为2cm的圆柱形容器内的水中，现将金属丝向上提升，当金属球被拉出水面时，容器内的水面下降了（）A．cm B．cm C．cm D．cm2．定义在上的偶函数满足，且当时，，函数是定义在上的奇函数，当时，，则函数的零点的的个数是（）A．9 B．10 C．11 D．123．某品牌小汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米/时）的函数解析式为.若要使该汽车行驶200千米时的油耗最低，则汽车匀速行驶的速度应为（）A．60千米/时 B．80千米/时 C．90千米/时 D．100千米/时4．在平行四边形中，，点在边上，，将沿直线折起成，为的中点，则下列结论正确的是（）A．直线与直线共面 B．C．可以是直角三角形 D．5．由0,1,2,3组成无重复数字的四位数，其中0与2不相邻的四位数有A．6个 B．8个 C．10个 D．12个6．某产品生产厂家的市场部在对4家商场进行调研时，获得该产品售价单位：元和销售量单位：件之间的四组数据如表：售价x46销售量y1211109为决策产品的市场指导价，用最小二乘法求得销售量y与售价x之间的线性回归方程，那么方程中的a值为A．17 B． C．18 D．7．若函数在上有2个零点，则的取值范围为（）A． B． C． D．8．已知函数的图像关于点对称，曲线在点处的切线过点，设曲线在处的切线的倾斜角为，则的值为（）A． B． C． D．9．函数在区间上的最大值和最小值分别为()A．25,-2 B．50,-2 C．50,14 D．50,-1410．的展开式中各项系数之和为，设，则（）A． B． C． D．11．设集合,,,则集合中元素的个数为()A． B． C． D．12．名同学参加班长和文娱委员的竞选，每个职务只需人，其中甲不能当文娱委员，则共有（）种不同结果（用数字作答）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知曲线的极坐标方程为,曲线的极坐标方程为,曲线、曲线的交点为则弦的长为______.14．观察下列等式：，，，……可以推测____（，用含有的代数式表示）．15．某细胞集团，每小时有2个死亡，余下的各个分裂成2个，经过8小时后该细胞集团共有772个细胞，则最初有细胞__________个.16．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中.(1)若每个盒子放一个球,则共有多少种不同的放法?(2)恰有一个空盒的放法共有多少种?18．（12分）若正数满足，求的最小值.19．（12分）已知函数，其中.（1）讨论的单调性；（2）若时，函数恰有一个零点，求实数的值.（3）已知数列满足，其前项和为，求证：（其中）.20．（12分）如图,某军舰艇位于岛的的正西方处,且与岛的相距12海里.经过侦察发现,国际海盗船以10海里/小时的速度从岛屿出发沿北偏东30°方向逃窜,同时,该军舰艇从处出发沿北偏东的方向匀速追赶国际海盗船,恰好用2小时追上.（1）求该军舰艇的速度.（2）求的值.21．（12分）已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4cosθ，直线l与圆C交于A，B两点．(1)求圆C的直角坐标方程及弦AB的长；(2)动点P在圆C上(不与A，B重合)，试求△ABP的面积的最大值．22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程．已知直线（为参数），曲线（为参数）．(1)设与相交于两点，求；(2)曲线为（为参数），点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最小值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

利用等体积法求水面下降高度。【题目详解】球的体积等于水下降的体积即，．答案：D．【题目点拨】利用等体积法求水面下降高度。2、C【解题分析】

由，得出，转化为函数与函数图象的交点个数，然后作出两个函数的图象，观察图像即可．【题目详解】由于，所以，函数的周期为，且函数为偶函数，由，得出，问题转化为函数与函数图象的交点个数，作出函数与函数的图象如下图所示，由图象可知，，当时，，则函数与函数在上没有交点，结合图像可知，函数与函数图象共有11个交点，故选C.【题目点拨】本题考查函数的零点个数，有两种做法：一是代数法，解代数方程；二是图象法，转化为两个函数的公共点个数，在画函数的图象是，要注意函数的各种性质，如周期性、奇偶性、对称性等性质的体现，属于中等题．3、C【解题分析】分析：先设速度为x千米/小时，再求出函数f(x)的表达式，再利用导数求其最小值.详解：当速度为x千米/小时时，时间为小时，所以f(x)=所以令当x∈（0,90）时，函数f(x)单调递减，当x∈（90,120）时，函数f(x)单调递增.所以x=90时，函数f(x)取得最小值.故答案为C.点睛：（1）本题主要考查导数的应用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和解决实际问题的能力.(2)如果求函数在开区间内的最值，则必须通过求导，求函数的单调区间，最后确定函数的最值．4、C【解题分析】

（1）通过证明是否共面，来判断直线与直线是否共面；（2）取特殊位置，证明是否成立；（3）寻找可以是直角三角形的条件是否能够满足；（4）用反证法思想，说明能否成立．【题目详解】，如图，因为四点不共面，所以面，故直线与直线不共面；沿直线折起成，位置不定，当面面，此时；取中点，连接，则，若有，则面即有，在中，明显不可能，故不符合；在中，,，而，所以当时，可以是直角三角形；【题目点拨】本题通过平面图形折叠，考查学生平面几何知识与立体几何知识衔接过渡能力，涉及反证法、演绎法思想的应用，意在考查学生的直观想象和逻辑推理能力．5、B【解题分析】分析：首先求由0,1,2,3组成无重复数字的四位数：先排千位数，有种排法，再排另外3个数，有种排法，利用乘法原理能求出组成没有重复数字的四位数的个数；然后求数字0，2相邻的情况：，先把0，2捆绑成一个数字参与排列，再减去0在千位的情况，由此能求出其中数字0，2相邻的四位数的个数．最后，求得0与2不相邻的四位数详解：由数字0，1，2，3组成没有重复数字的四位数有：．

其中数字0，2相邻的四位数有：则0与2不相邻的四位数有。故选B点睛：本题考查排列数的求法，考查乘法原理、排列、捆绑法，间接法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．6、B【解题分析】

求出样本中心点，代入线性回归方程，即可求出a的值．【题目详解】由题意，，，线性回归方程，，．故选：B．【题目点拨】本题考查回归分析，考查线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x与Y之间的关系，这条直线过样本中心点．7、D【解题分析】

先设，，则函数在上有2个零点等价于直线与函数的图像有两个交点，再求函数的单调性判断即可得解.【题目详解】解：由得，设，，则函数在上有2个零点等价于直线与函数的图像有两个交点，又，当时，；当时，.则函数在为增函数，在为减函数，∴，又，，又函数在上有2个零点，则的取值范围为.故选：D.【题目点拨】本题考查了导数的综合应用，重点考查了函数的零点个数与函数图像交点的个数问题，属基础题。8、C【解题分析】

由题意可得对任意恒成立，可得，，根据导数的几何意义可得在点处切线的斜率，进而可求出在点处切线的方程，将点代入切线的方程即可求出，进而可求出，再利用诱导公式及同角三角函数关系，即可到答案．【题目详解】因为函数的图像关于点对称，所以对任意恒成立，即对任意恒成立，即对任意恒成立，所以，，所以，所以，所以函数在处的切线的斜率，又，所以切线的方程为，又切线过点，所以，解得，所以函数在处的切线的斜率，所以，所以，所以．故选：C．【题目点拨】本题考查函数的对称中心方程应用，导数的几何意义及在一点处的切线的方程，同时考查诱导公式和同角基本关系，属于中档题．9、B【解题分析】

求导，分析出函数的单调性，进而求出函数的极值和两端点的函数值，可得函数f（x）＝2x3+9x2﹣2在区间[﹣4，2]上的最大值和最小值．【题目详解】∵函数f（x）＝2x3+9x2﹣2，∴f′（x）＝6x2+18x，当x∈[﹣4，﹣3），或x∈（0，2]时，f′（x）＞0，函数为增函数；当x∈（﹣3，0）时，f′（x）＜0，函数为减函数；由f（﹣4）＝14，f（﹣3）＝25，f（0）＝﹣2，f（2）＝50，故函数f（x）＝2x3+9x2﹣2在区间[﹣4，2]上的最大值和最小值分别为50，﹣2，故选：B．【题目点拨】本题考查的知识点是利用导数求闭区间上的函数的最值及函数的单调性问题，属于中档题．10、B【解题分析】

先求出的值，再根据，利用通项公式求出的值.【题目详解】令，可得的展开式中各项系数之和为，，设，则.故选：B【题目点拨】本题考查了二项式定理求多项式的系数和，二项式定理展开式的通项公式，需熟记公式，属于基础题.11、A【解题分析】

由题意可得出：从,,任选一个；或者从,任选一个；结合题中条件,确定对应的选法，即可得出结果．【题目详解】解：根据条件得：从,,任选一个,从而,,任选一个,有种选法；或时,,有两种选法；共种选法；C中元素有个．故选A．【题目点拨】本题主要考查列举法求集合中元素个数，熟记概念即可，属于基础题型.12、B【解题分析】

先安排甲以外的一人担任文娱委员，再从剩下的3人选一人担任班长即可．【题目详解】先从甲以外的三人中选一人当文娱委员，有3种选法，再从剩下的3人选一人担任班长，有3种选法，故共有种不同结果．故选：B.【题目点拨】本题主要考查分步乘法计数原理的应用,属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】分析：根就极坐标与直角坐标的互化公式，求得曲线的直角坐标方程，联立方程组，求得点的坐标，利用两点间的距离公式，即可求解的长.详解：由,,将曲线与的极坐标方程转化为直角坐标方程为:,即,故为圆心为,半径为的圆,:,即,表示过原点倾斜角为的直线，因为的解为，，所以.点睛：本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，以及直线与圆的弦长的求解，其中熟记极坐标与直角的坐标互化，以及直线与圆的位置关系的应用是解答的关键，着重考查了转化思想方法以及推理与计算能力.14、或或【解题分析】

观察找到规律由等差数列求和可得.【题目详解】由观察找到规律可得：故可得解.【题目点拨】本题考查观察能力和等差数列求和，属于中档题.15、7.【解题分析】

设开始有细胞a个，利用细胞生长规律计算经过1小时、2小时后的细胞数，找出规律，得到经过8小时后的细胞数，根据条件列式求解.【题目详解】设最初有细胞a个，因为每小时有2个死亡，余下的各个分裂成2个，所以经过1个小时细胞有，经过2个小时细胞有=，······经过8个小时细胞有，又，所以，，.故答案为7.【题目点拨】本题考查等比数列求和公式的应用，找出规律、构造数列是解题关键，考查阅读理解能力及建模能力，属于基础题.16、1【解题分析】试题分析：利用互斥事件的概率及古典概型概率计算公式求出事件A的概率，同样利用古典概型概率计算公式求出事件AB的概率，然后直接利用条件概率公式求解．解：P（A）=，P（AB）=．由条件概率公式得P（B|A）=．故答案为．点评：本题考查了条件概率与互斥事件的概率，考查了古典概型及其概率计算公式，解答的关键在于对条件概率的理解与公式的运用，属中档题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)24;(2)144.【解题分析】分析：（1）直接把4个球全排列即得共有多少种不同的放法.(2)利用乘法分步原理解答.详解：(1)每个盒子放一个球,共有=24种不同的放法.(2)先选后排,分三步完成:第一步:四个盒子中选一只为空盒,有4种选法;第二步:选两球为一个元素,有种选法;第三步:三个元素放入三个盒中,有种放法.故共有4×6×6=144种放法.点睛：（1）本题主要考查计数原理和排列组合的综合应用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)排列组合常用解法有一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法.18、【解题分析】试题分析：由柯西不等式得，所以试题解析：因为均为正数，且，所以．于是由均值不等式可知，当且仅当时，上式等号成立．从而．故的最小值为．此时．考点：柯西不等式19、（1）当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）；（3）证明见解析【解题分析】

（1）求出，然后分和两种情况讨论（2）由（1）中的结论，要使恰有1个零点，只需函数的最小值为0（3）由（1）知，当时，，即，然后可得，由此可证明，然后两边同时取对数即可【题目详解】（1）当时，，从而在上单调递增；当时，，从而在上单调递增，在上单调递减（2）由（1）知，当时在上单调递增，在上单调递减，要使恰有1个零点，只需函数的最小值为0，即，解得（3）由（1）知，当时，，即令，得则，，，…，，即两边取以为底的对数得：【题目点拨】本题考查的是利用导数研究函数的单调性、零点个数及证明不等式，属于较难题.20、（1）14海里/小时；（2）.【解题分析】分析：（1）由题设可以得到的长，在中利用余弦定理可以得到的长，从而得到舰艇的速度；（2）在中利用正弦定理可得的值.详解：(1)依题意知，，，在中，由余弦定理得，解得，所以该军舰艇的速度为海里/小时．(2)在中，由正弦定理，得，即．点睛：与解三角形相关的实际问题中，我们常常碰到方位角、俯角、仰角等，注意它们的差别.另外，把实际问题抽象为解三角形问题时，注意分析三角形的哪些量是已知的，要求的哪些量，这样才能确定用什么定理去解决.21、（1）(x－2)2＋y2＝4；；（2）2＋.【解题分析】

（1）圆C的极坐标方程化为直角坐标方程，直线l的参数方程代入圆C的的直角坐标方程，利用直线参数方程的几何意义，即可求解；（2）要求△ABP的面积的最大值，只需求出点P到直线l距离的最大值，将点P