2024届云南省曲靖市宜良县第八中学数学高二下期末质量跟踪监视模拟试题含解析

2024届云南省曲靖市宜良县第八中学数学高二下期末质量跟踪监视模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．平面向量与的夹角为，，，则()A． B． C．0 D．22．已知函数的定义域为，且函数的图象关于轴对称，函数的图象关于原点对称，则（）A． B． C． D．3．已知函数，则“”是“曲线存在垂直于直线的切线”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．刘徽是我国魏晋时期杰出的数学家，他采用了以直代曲、无限趋近、内夹外逼的思想，创立了割圆术，即从半径为1尺的圆内接正六边形开始计算面积，如图是一个圆内接正六边形，若向圆内随机投掷一点，则该点落在正六边形内的概率为（）A． B． C． D．5．已知，，，则的大小关系为（）A． B．C． D．6．如下图所示的图形中，每个三角形上各有一个数字，若六个三角形上的数字之和为36，则称该图形是“和谐图形”，已知其中四个三角形上的数字之和为二项式的展开式的各项系数之和.现从0，1，2，3，4，5中任取两个不同的数字标在另外两个三角形上，则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为（）A． B． C． D．7．设是定义在上的奇函数，且,当时，有恒成立，则不等式的解集是（）A．∪B．∪C．∪D．∪8．已知函数，其中为自然对数的底数，则对任意，下列不等式一定成立的是（）A． B．C． D．9．已知均为实数，若（为虚数单位），则（）A．0 B．1 C．2 D．-110．若90件产品中有5件次品，现从中任取3件产品，则至少有一件是次品的取法种数是（）.A． B． C． D．11．在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点，则（）A． B． C． D．12．设函数f（x），g（x）在[A，B]上均可导，且f′（x）＜g′（x），则当A＜x＜B时，有（）A．f（x）＞g（x）B．f（x）+g（A）＜g（x）+f（A）C．f（x）＜g（x）D．f（x）+g（B）＜g（x）+f（B）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．抛物线C:上一点到其焦点的距离为3，则抛物线C的方程为_______.14．设函数的导数为，且，则．15．在平面直角坐标系中，己知直线与圆相切，则k的值为________.16．函数的定义域为__________（结果用区间表示）。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数（Ⅰ）若，求实数的取值范围；（Ⅱ）若，判断与的大小关系并证明.18．（12分）已知函数，其中为自然对数的底数.（1）若，求的最小值；（2）若，证明：.19．（12分）甲、乙两位同学进入新华书店购买数学课外阅读书籍，经过筛选后，他们都对三种书籍有购买意向，已知甲同学购买书籍的概率分别为,乙同学购买书籍的概率分别为,假设甲、乙是否购买三种书籍相互独立.（1）求甲同学购买3种书籍的概率；（2）设甲、乙同学购买2种书籍的人数为,求的概率分布列和数学期望.20．（12分）已知函数（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）求函数的单调区间.21．（12分）以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）将直线：（为参数）化为极坐标方程；（2）设是（1）中的直线上的动点，定点，是曲线上的动点，求的最小值.22．（10分）某蔬菜加工厂加工一种蔬菜，并对该蔬菜产品进行质量评级，现对甲、乙两台机器所加工的蔬菜产品随机抽取一部分进行评级，结果（单位：件）如表1：（1）若规定等级为合格等级，等级为优良等级，能否有的把握认为“蔬菜产品加工质量与机器有关”？（2）表2是用清水千克清洗该蔬菜千克后，该蔬菜上残留的农药微克的统计表，若用解析式作为与的回归方程，求出与的回归方程.（结果精确到）（参考数据：，，，.）

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

先由，求出，再求出，进而可求出【题目详解】因为，所以，所以，所以.故选D【题目点拨】本题主要考查向量模的运算，熟记公式即可，属于基础题型.2、A【解题分析】分析：根据奇函数与偶函数的定义，可求得函数的解析式；根据解析式确定’的值。详解：令，则，因为为偶函数所以（1），因为为奇函数所以（2）（1）-（2）得（3），令代入得（4）由（3）、（4）联立得代入得所以所以所以选A点睛：本题考查了抽象函数解析式的求解，主要是利用方程组思想确定解析式。方法相对比较固定，需要掌握特定的技巧，属于中档题。3、B【解题分析】

先根据“曲线存在垂直于直线的切线”求的范围，再利用充要条件的定义判断充要性.【题目详解】由题得切线的斜率为2，所以因为,所以“”是“曲线存在垂直于直线的切线”的必要不充分条件.故答案为B4、D【解题分析】

由面积公式分别计算出正六边形与圆的面积，由几何概型的概率计算公式即可得到答案【题目详解】由图可知：，故选D.【题目点拨】本题考查几何概型，属于基础题。5、A【解题分析】

利用等中间值区分各个数值的大小．【题目详解】，，，故，所以．故选A．【题目点拨】本题考查大小比较问题，关键选择中间量和函数的单调性进行比较．6、B【解题分析】

先求得二项式的展开式的各项系数之和为.然后利用列举法求得在一共个数字中任选两个，和为的概率，由此得出正确选项.【题目详解】令代入得，即二项式的展开式的各项系数之和为.从0，1，2，3，4，5中任取两个不同的数字方法有：共种，其中和为的有共两种，所以恰好使该图形为“和谐图形”的概率为，故选B.【题目点拨】本小题主要考查二项式展开式各项系数之和，考查列举法求古典概型概率问题，属于基础题.7、B【解题分析】试题分析：因为当时，有恒成立，所以恒成立，所以在内单调递减．因为,所以在内恒有；在内恒有．又因为是定义在上的奇函数，所以在内恒有；在内恒有．又因为不等式的解集，即不等式的解集，由上分析可得，其解集为∪，故应选．考点：1、函数的基本性质；2、导数在研究函数的单调性中的应用．【思路点睛】本题主要考查了函数的基本性质和导数在研究函数的单调性中的应用，属中档题．其解题的一般思路为：首先根据商函数求导法则可知化为；然后利用导数的正负性可判断函数在内的单调性；再由可得函数在内的正负性；最后结合奇函数的图像特征可得，函数在内的正负性，即可得出所求的解集．8、A【解题分析】

，可得在上是偶函数.函数，利用导数研究函数的单调性即可得出结果.【题目详解】解：，在上是偶函数.函数，，令，则，函数在上单调递增，，函数在上单调递增.，，.故选：A.【题目点拨】本题考查利用导数研究函数的单调性、函数的奇偶性，不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.9、C【解题分析】

将已知等式整理为，根据复数相等可求得结果.【题目详解】由题意得：，即：则：本题正确选项：【题目点拨】本题考查复数相等的定义，涉及简单的复数运算，属于基础题.10、C【解题分析】

根据题意，用间接法分析：先计算从90件产品中任取3件的取法，再排除其中全部为正品的取法，分析可得答案．【题目详解】解：根据题意，用间接法分析：从90件产品中任取3件，有种取法，其中没有次品，即全部为正品的取法有种取法，则至少有一件是次品的取法有种；故选：C．【题目点拨】本题考查排列、组合的应用，注意用间接法分析，避免分类讨论，属于基础题．11、D【解题分析】

首先根据三角函数的定义求出，再求即可.【题目详解】，.故选：D【题目点拨】本题主要考查正切二倍角的计算，同时考查三角函数的定义，属于简单题.12、B【解题分析】试题分析：设F（x）=f（x）-g（x），∵在[A，B]上f'（x）＜g'（x），F′（x）=f′（x）-g′（x）＜0，∴F（x）在给定的区间[A，B]上是减函数．∴当x＞A时，F（x）＜F（A），即f（x）-g（x）＜f（A）-g（A）即f（x）+g（A）＜g（x）+f（A）考点：利用导数研究函数的单调性二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

利用抛物线的定义，求出p，即可求C的方程；【题目详解】抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线方程为x，由抛物线的定义可知13，解得p＝4，∴C的方程为y2＝8x；故答案为【题目点拨】本题考查抛物线的定义与方程，熟记定义是关键，属于基础题．14、【解题分析】试题分析：，而，所以，，故填：.考点：导数15、【解题分析】

通过圆心到直线的距离等于半径构建等式，于是得到答案.【题目详解】根据题意，可知圆心为，半径为2，于是圆心到直线的距离，而直线与圆相切，故，因此解得.【题目点拨】本题主要考查直线与圆的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力，难度不大.16、【解题分析】

根据函数的定义域需满足，解不等式.【题目详解】根据题意可得，，，即函数的定义域是故填：.【题目点拨】本题考查了函数多的定义域，属于简单题型.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）；（Ⅱ），证明见解析.【解题分析】

（Ⅰ）通过讨论a的范围，去掉绝对值，解不等式，确定的范围即可；

（Ⅱ）根据绝对值不等式的性质判断即可．【题目详解】（I）因为，所以.①当时，得，解得，所以;②当时，得，解得，所以;③当时，得，解得，所以;综上所述，实数的取值范围是（II），因为,所以【题目点拨】本题考查了解绝对值不等式问题，考查不等式的证明，是一道中档题．18、（1）；（2）证明见解析.【解题分析】分析：（1）先利用导数求函数的单调区间，再求的最小值.(2)先求的最小值为,再证明＞0.详解：（1）若，,所以,设，则所以在上为增函数，又，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以的最小值为.（2）由题意知当时，显然成立.当时，由（1）知在上为增函数，因为,所以存在唯一的使得，即,所以当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以的最小值为,,,当且仅当，即时取等号.代入得，矛盾，所以等号不能成立.所以，所以.点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调区间和最值，考查利用导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理转化能力.(2)解答本题有两个难点，其一是求得的最小值为,其二是证明＞0，用到了基本不等式，同时要注意取等的问题.19、（1）；（2）分布列见解析，.【解题分析】

（1）这是相互独立事件，所以甲购买书籍的概率直接相乘即可.（2）基本事件为甲购买两本书和乙购买两本书的概率，所以先求出基本事件的概率，然后再求分布列.【题目详解】（1）记“甲同学购买3种书籍”为事件A，则.答：甲同学购买3种书籍的概率为.（2）设甲、乙同学购买2种书籍的概率分别为，.则，，所以，所以.，，.所以X的概率分布为X012P.答：所求数学期望为.【题目点拨】本题考查相互独立事件的概率，考查二项分布独立重复事件的概率的求法，解题的关键是找出基本事件的概率，属于中档题.20、（1）（2）见解析【解题分析】

（1）利用解析式求出切点坐标，再利用导数求出切线斜率，从而得到切线方程；（2）求导后可知导函数的正负由的符号决定；分别在，和三种情况下讨论的正负，从而得到导函数的正负，进而确定的单调区间；在讨论时要注意的定义域与的根的大小关系.【题目详解】当时，，则又，所以在处的切线方程为，即（2）由函数，得：当时，又函数的定义域为所以的单调递减区间为当时，令，即，解得：当时，所以变化情况如下表：极小值所以的单调递减区间为，；单调递增区间为当时，所以变化情况如下表：极大值所以的单调递增区间为；单调递减区间为，【题目点拨】本题考查利用导数的几何意义求解切线方程、讨论含参数函数的单调性问题；解决含参函数单调性问题的关键是对于影响导函数符号的式子的讨论；本题的易错点是在讨论过程中忽略最高次项系数为零的情况和函数的定义域的影响.21、（1）；（2）.【解题分析】

（1）先将直线的参数方程化为普通方程，再由可将直线的普通方程化为极坐标方程；（2）将点的极坐标化为直角坐标，点所在曲线的方程化为普通方程，可知该曲线为圆，利用当、、与圆心四点共线且点为圆心与点连线线段与圆的交点时，取得最小值，可得出答案。【题目详解】（1）消去参数得，即，∴直线的极坐标方程为．（答案也可以化为）（2）∵的直角坐标为，曲线是圆：（为圆心）．∴．∴的最小值为（这时是直