四川省广安、眉山、内江、遂宁2024届数学高二下期末监测试题含解析

四川省广安、眉山、内江、遂宁2024届数学高二下期末监测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下面几种推理过程是演绎推理的是（）A．某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班人数都超过50人B．由三角形的性质，推测空间四面体的性质C．平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分D．在数列中，，可得，由此归纳出的通项公式2．函数在区间的图像大致为（）．A． B．C． D．3．在三棱锥中，，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积是（）A． B． C． D．4．x>2是x2A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．函数的零点所在的区间是（）A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)6．已知，，的实部与虚部相等，则（）A．2 B． C．2 D．7．已知x1+i=1-yi，其中x,y是实数，i是虚数单位，则x+yiA．1+2iB．1-2iC．2+iD．2-i8．已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则在上，的解集是（）A． B． C． D．9．已知函数g（x）=loga（x﹣3）+2（a＞0，a≠1）的图象经过定点M，若幂函数f（x）=xα的图象过点M，则α的值等于（）A．﹣1 B．12 C．2 D．10．焦点为且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是A． B． C． D．11．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）A．144 B．120 C．72 D．2412．如图，有一种游戏画板，要求参与者用六种颜色给画板涂色，这六种颜色分别为红色、黄色1、黄色2、黄色3、金色1、金色2，其中黄色1、黄色2、黄色3是三种不同的颜色，金色1、金色2是两种不同的颜色，要求红色不在两端，黄色1、黄色2、黄色3有且仅有两种相邻，则不同的涂色方案有（）A．120种 B．240种 C．144种 D．288种二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的体积为，则该圆柱的侧面积为______．14．设x，y满足约束条件，则的最大值为________．15．随机变量的取值为0,1,2，若，，则________.16．计算____．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知非零向量，且，求证：．18．（12分）为了解国产奶粉的知名度和消费者的信任度，某调查小组特别调查记录了某大型连锁超市年与年这两年销售量前名的五个奶粉的销量（单位：罐），绘制出如下的管状图：（1）根据给出的这两年销量的管状图，对该超市这两年品牌奶粉销量的前五强进行排名（由高到低，不用说明理由）；（2）已知该超市年奶粉的销量为（单位：罐），以，，这年销量得出销量关于年份的线性回归方程为（，，年对应的年份分别取），求此线性回归方程并据此预测年该超市奶粉的销量.相关公式：.19．（12分）过点作倾斜角为的直线与曲线交于点，求的最小值及相应的值.20．（12分）如图所示，球的表面积为，球心为空间直角坐标系的原点，且球分别与轴的正交半轴交于三点，已知球面上一点.（1）求两点在球上的球面距离；（2）过点作平面的垂线，垂足，求的坐标，并计算四面体的体积；（3）求平面与平面所成锐二面角的大小.21．（12分）记为等差数列的前项和，已知，．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）求，并求的最小值．22．（10分）在中，内角的对边分别为.已知（1）求的值（2）若，求的面积.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

推理分为合情推理(特殊→特殊或特殊→一般)与演绎推理（一般→特殊），其中合情推理包含类比推理与归纳推理，利用各概念进行判断可得正确答案.【题目详解】解：∵A中是从特殊→一般的推理，均属于归纳推理，是合情推理；B中，由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质，是由特殊→特殊的推理，为类比推理，属于合情推理；C为三段论，是从一般→特殊的推理，是演绎推理；D为不完全归纳推理，属于合情推理．故选：C．【题目点拨】本题考查推理中的合情推理与演绎推理，注意理解其概念作出正确判断.2、A【解题分析】分析：判断的奇偶性，在上的单调性，计算的值，结合选项即可得出答案.详解：设，当时，，当时，，即函数在上为单调递增函数，排除B；由当时，，排除D；因为，所以函数为非奇非偶函数，排除C，故选A.点睛：本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中涉及到函数的单调性、函数的奇偶性和函数值的应用，试题有一定综合性，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力.3、D【解题分析】

取的中点为，由二面角平面角的定义可知；根据球的性质可知若和中心分别为，则平面，平面，根据已知的长度关系可求得，在直角三角形中利用勾股定理可求得球的半径，代入球的表面积公式可得结果.【题目详解】取的中点为由和都是正三角形，得，则是二面角的平面角，即设球心为，和中心分别为由球的性质可知：平面，平面又，，外接球半径：外接球的表面积为：本题正确选项：【题目点拨】本题考查三棱锥外接球的表面积的求解问题，关键是能够利用球的性质确定球心的大致位置，从而可利用勾股定理求解出球的半径.4、A【解题分析】

解不等式x2【题目详解】由x2-2x>0解得：x<0或x>2，因此，x>2是x2-2x>0的充分不必要条件，故选：【题目点拨】本题考查充分必要条件的判断，一般利用集合的包含关系来判断两条件的充分必要性：（1）A⊊B，则“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件；（2）A⊋B，则“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件；（3）A=B，则“x∈A”是“x∈B”的充要条件。5、B【解题分析】

易知函数是上的增函数,,结合零点存在性定理可判断出函数零点所在区间.【题目详解】函数是上的增函数,是上的增函数,故函数是上的增函数.,,则时,;时,,因为,所以函数在区间上存在零点.故选:B.【题目点拨】本题考查了函数零点所在区间,利用函数的单调性与零点存在性定理是解决本题的关键,属于基础题.6、C【解题分析】

利用待定系数法设复数z，再运用复数的相等求得b.【题目详解】设（），则即.故选C.【题目点拨】本题考查用待定系数法，借助复数相等建立等量关系，是基础题.7、D【解题分析】∵x1+i=x(1-i)8、C【解题分析】

首先结合函数的对称性和函数的奇偶性绘制函数图像，原问题等价于求解函数位于直线下方点的横坐标，数形结合确定不等式的解集即可.【题目详解】函数满足，则函数关于直线对称，结合函数为奇函数绘制函数的图像如图所示：的解集即函数位于直线下方点的横坐标，当时，由可得，结合可得函数与函数交点的横坐标为，据此可得：的解集是.本题选择C选项.【题目点拨】本题主要考查函数的奇偶性，函数的对称性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9、B【解题分析】

由对数函数的性质得到点M（4，2）在幂函数f（x）=xα的图象上，由此先求出幂函数f（x），从而能求出α的值．【题目详解】∵y=loga（x﹣3）+2（a＞0，a≠1）的图象过定点M，∴M（4，2），∵点M（4，2）也在幂函数f（x）=xα的图象上，∴f（4）=4α=2，解得α=12故选B．【题目点拨】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数、幂函数的性质的合理运用．10、A【解题分析】

根据题目要求解的双曲线与双曲线有相同的渐近线，且焦点在y轴上可知，设双曲线的方程为，将方程化成标准形式，根据双曲线的性质，求解出的值，即可求出答案．【题目详解】由题意知，设双曲线的方程为，化简得．解得．所以双曲线的方程为，故答案选A．【题目点拨】本题主要考查了共渐近线的双曲线方程求解问题,共渐近线的双曲线系方程与双曲线有相同渐近线的双曲线方程可设为，若，则双曲线的焦点在x轴上，若，则双曲线的焦点在y轴上．11、D【解题分析】试题分析：先排三个空位，形成4个间隔，然后插入3个同学，故有种考点：排列、组合及简单计数问题12、D【解题分析】

首先计算出“黄色1、黄色2、黄色3有且仅有两个相邻的涂色方案”数，然后计算出“红色在左右两端，黄色1、黄色2、黄色3有且仅有两个相邻的涂色方案”数，用前者减去后者，求得题目所求不同的涂色方案总数.【题目详解】不考虑红色的位置，黄色1、黄色2、黄色3有且仅有两个相邻的涂色方案有种.这种情况下，红色在左右两端的涂色方案有种；从而所求的结果为种.故选D.【题目点拨】本小题主要考查涂色问题，考查相邻问题、不在两端的排列组合问题的求解策略，考查对立事件的方法，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的体积为，设正方体的边长为，则，解得该圆柱的侧面积为，故答案为.14、1【解题分析】

作出不等式组对应的平面区域，画出可行域，平移直线，找到z的最大值．【题目详解】x，y满足约束条件的可行域如图：

，则经过可行域的A时，目标函数取得最大值，由，解得，所以的最大值为1．故答案为：1．【题目点拨】本题考查了线性规划问题，求线性目标函数的最值问题，考查了画图能力．利用数形结合是解决本题的关键．15、【解题分析】设时的概率为，则，解得，故考点：方差.16、；【解题分析】

根据阶乘的定义：，计算得到答案.【题目详解】.【题目点拨】本题考查阶乘的计算，考查基本的运算求解能力，要求计算过程耐心、细心，才不会出错.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、证明见解析【解题分析】

⇔．同时注意，，将要证式子等价变形，用分析法即可获证．【题目详解】解：∵∴，要证，只需证，只需证，只需证，只需证0，即，上式显然成立，故原不等式得证．【题目点拨】用分析法证明，即证使等式成立的充分条件成立．注意应用条件⇔和．18、（1）前五强排名为：，，，，；（2）回归直线为：；预测年该超市奶粉的销量为罐.【解题分析】

（1）根据管状图，可求得五种奶粉两年的销量和，从而按照从多到少进行排列即可；（2）根据已知数据，利用最小二乘法求得回归直线；代入，即可求得预测值.【题目详解】（1）两年销量：；两年销量：；两年销量：；两年销量：；两年销量：前五强排名为：，，，，（2）由题意得：，；；，回归直线为：当时，预测年该超市奶粉的销量为：罐【题目点拨】本题考查统计图表的读取、最小二乘法求解回归直线、根据回归直线求解预估值的问题，考查运算和求解能力.19、最小值为，此时α＝.【解题分析】设直线为，代入曲线并整理得则且，解得，所以当时，即或时，的最小值为，此时或．20、（1）；（2）；（3）.【解题分析】分析：（1）根据题意求出，即可得到两点在球上的球面距离；（2）根据题意，可证与重合，利用向量可求，求出的面积，即可得到四面体的体积；（3）利用空间向量可求面与平面所成锐二面角的大小..详解：（1），，，∴∴，∴，两点在球上的球面距离；（2），面，，，∴，∴，∴与重合，∴，的面积，则四面体的体积.（3）设平面的法向量，得得平面的法向量，设两法向量夹角，，所以所成锐二面角的大小为.点睛：本题考查球面距离，几何体的体积，利用空间向量求二面角的大小，属中档题.21、（1），（2），最小值为−1．【解题分析】

（Ⅰ）根据等差数列的求和公式，求得公差d，即可表示出的通项公式；（Ⅱ）根据等差数列的求和公式得Sn=n2-8n，根据二次函数的性质，可得Sn的最小值.【题目详解】（I）设的公差为d，由题意得．由得d=2．所以的通项公式为．（II）由（I）得．所以当n=4时，取得最小值，最小值为−1．【题目点拨】本题考查了等差