北京市石景山区第九中学2024届高二数学第二学期期末质量检测模拟试题含解析

北京市石景山区第九中学2024届高二数学第二学期期末质量检测模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知实数满足，且，则A． B．2 C．4 D．82．已知，则的最小值为（）A． B． C． D．3．已知．则（）A． B． C． D．4．下列关于积分的结论中不正确的是（）A． B．C．若在区间上恒正，则 D．若，则在区间上恒正5．古印度“汉诺塔问题”：一块黄铜平板上装着A,B,C三根金铜石细柱，其中细柱A上套着个大小不等的环形金盘，大的在下、小的在上.将这些盘子全部转移到另一根柱子上，移动规则如下：一次只能将一个金盘从一根柱子转移到另外一根柱子上，不允许将较大盘子放在较小盘子上面.若A柱上现有3个金盘（如图），将A柱上的金盘全部移到B柱上，至少需要移动次数为（）A．5 B．7 C．9 D．116．变量X与Y相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量U与V相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则A．r2<r1<0 B．r2<0<r1 C．0<r2<r1 D．r2＝r17．函数的图象是（）A． B．C． D．8．若满足，则的最大值为()A．8 B．7 C．2 D．19．已知与之间的一组数据，则与的线性回归方程必过点（）A． B． C． D．10．某校团委对“学生性别与中学生追星是否有关”作了一次调查，利用列联表，由计算得,参照下表:0.010.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828得到正确结论是()A．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星无关”B．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”C．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星无关”D．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星有关”11．已知i为虚数单位，复数z满足(1－i)·z＝2i，是复数z的共轭复数，则下列关于复数z的说法正确的是()A．z＝1－i B．C． D．复数z在复平面内表示的点在第四象限12．若角的终边上有一点，则的值是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若曲线在点处的切线方程为，则的值为________．14．复数（是虚数单位）的虚部是______．15．已知点在椭圆上，垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为，并且为线段的中点，则点的轨迹方程是_____.16．已知函数在处切线方程为,若对恒成立，则_________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知sinα=-817且π<α<3π2，求sin18．（12分）设实部为正数的复数z，满足|z|=，且复数（1+3i）z在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上.(I)求复数z(II)若复数+m2(1+i)-2i十2m-5为纯虚数，求实数m的值.19．（12分）已知．（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）当时，证明对于任意的成立．20．（12分）已知，.（1）证明：.（2）证明：.21．（12分）已知函数，（其中，且），（1）若，求实数的值；（2）能否从（1）的结论中获得启示，猜想出一个一般性的结论并证明你的猜想．22．（10分）被嘉定著名学者钱大昕赞誉为“国朝算学第一”的清朝数学家梅文鼎曾创造出一类“方灯体”，“灯者立方去其八角也”，如图所示，在棱长为的正方体中，点为棱上的四等分点.（1）求该方灯体的体积；（2）求直线和的所成角；（3）求直线和平面的所成角．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

由，可得，从而得，解出的值即可得结果．【题目详解】实数满足，故，又由得：，解得：，或舍去，故，，故选D．【题目点拨】本题考查的知识点是指数的运算与对数的运算，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题．2、C【解题分析】试题分析：由题意得，，所以，当时，的最小值为，故选C.考点：向量的运算及模的概念.3、C【解题分析】

由二项式定理及利用赋值法即令和，两式相加可得，结合最高次系数的值即可得结果.【题目详解】中，取，得，取，得，所以，即，又，则，故选C．【题目点拨】本题主要考查了二项式定理及利用赋值法求二项式展开式的系数，属于中档题.4、D【解题分析】

结合定积分知识，对选项逐个分析可选出答案.【题目详解】对于选项A，因为函数是R上的奇函数，所以正确；对于选项B，因为函数是R上的偶函数，所以正确；对于选项C，因为在区间上恒正，所以图象都在轴上方，故正确；对于选项D，若，可知的图象在区间上，在轴上方的面积大于下方的面积，故选项D不正确.故选D.【题目点拨】本题考查了定积分，考查了函数的性质，属于基础题.5、B【解题分析】

设细柱A上套着n个大小不等的环形金盘，至少需要移动次数记为an，则a【题目详解】设细柱A上套着n个大小不等的环形金盘，至少需要移动次数记为an要把最下面的第n个金盘移到另一个柱子上，则必须把上面的n-1个金盘移到余下的一个柱子上，故至少需要移动an-1把第n个金盘移到另一个柱子上后，再把n-1个金盘移到该柱子上，故又至少移动an-1次，所以aa1=1，故a2【题目点拨】本题考查数列的应用，要求根据问题情境构建数列的递推关系，从而解决与数列有关的数学问题.6、B【解题分析】

分析：求两组数据的相关系数的大小和正负，可以详细的解出这两组数据的相关系数，现分别求出两组数据的两个变量的平均数，利用相关系数的个数代入求出结果，进行比较.详解：变量X与Y相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)，可得：变量Y与X之间成正相关，因此；变量U与V相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)，可得：变量V与U之间成负相关，因此第一组数据的系数大于0，第二组数据的相关系数小于0.故选B.点睛：本题考查了变量之间的线性相关系数，考查了推理能力.7、A【解题分析】

根据已知中函数的解析式，利用导数法分析出函数的单调性及极值，比照四个答案函数的图象，可得答案．【题目详解】∵，∴，令得；当时，，即函数在内单调递减，可排除B,D；又时，，排除C，故选A.【题目点拨】本题考查的知识点是函数的图象，分析出函数的单调性是解答的关键，属于中档题.8、B【解题分析】试题分析：作出题设约束条件可行域，如图内部（含边界），作直线，把直线向上平移，增加，当过点时，为最大值．故选B．考点：简单的线性规划问题．9、C【解题分析】

计算出和，即可得出回归直线必过的点的坐标.【题目详解】由题意可得，，因此，回归直线必过点，故选：C.【题目点拨】本题考查回归直线必过的点的坐标，解题时要熟悉“回归直线过样本中心点”这一结论的应用，考查结论的应用，属于基础题.10、B【解题分析】

通过与表中的数据6.635的比较，可以得出正确的选项.【题目详解】解:，可得有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”，故选B.【题目点拨】本题考查了独立性检验的应用问题，属于基础题.11、C【解题分析】

把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求出z，然后逐一核对四个选项得答案．【题目详解】复数在复平面内表示的点在第二象限，故选C．【题目点拨】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．12、A【解题分析】

由题意利用任意角的三角函数的定义，求出的值.【题目详解】解：若角的终边上有一点，则

，

∴.

故选：A.【题目点拨】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2【解题分析】试题分析：，又在点处的切线方程是，．考点：三角函数化简求值．14、【解题分析】

分子和分母同时乘以分母的共轭复数,化简复数,即可求得虚部.【题目详解】复数的虚部是:.故答案为:.【题目点拨】本题主要考查了复数的四则运算,以及复数的基本概念的应用,其中解答中熟练应用复数的运算法则化简是解答的关键,属于基础题.15、【解题分析】设P（x，y），则M（x，）．∵点M在椭圆上，∴，即P点的轨迹方程为x2+y2=1．故填.16、【解题分析】

先求出切线方程，则可得到，令，从而转化为在R上恒为增函数，利用导函数研究单调性即可得到答案.【题目详解】根据题意得，故切线方程为，即，令，此时，由于对恒成立，转化为，则在R上恒为增函数，，此时，而，当时，，当时，，于是在处取得极小值，此时，而在R上恒为增函数等价于在R上恒成立，即即可，由于为极小值，则此时只能，故答案为2.【题目点拨】本题主要考查导函数的几何意义，利用导函数求函数极值，意在考查学生的分析能力，转化能力，计算能力，难度思维较大.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、sinα2=417【解题分析】

先利用同角三角函数的基本关系计算出cosα的值，并计算出α2的取值范围，然后利用半角公式计算出sinα2和cos【题目详解】∵sinα=-817，又π2<αcosα2=-【题目点拨】本题考查利用半角公式求值，同时也考查了利用同角三角函数的基本关系，在利用同角三角函数的基本关系时，要考查角的范围，确定所求三角函数值的符号，再结合相关公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.18、(1).(2)【解题分析】

分析：（1）设，先根据复数乘法得，再根据复数的模得解方程组可得，（2）先化成复数代数形式，再根据纯虚数概念列方程组，解得实数m的值.详解：(1)设，由，得又复数=在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上.则，即又，所以，则(2)=为纯虚数,所以可得点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如.其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为19、（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析【解题分析】试题分析：（Ⅰ）求的导函数，对a进行分类讨论，求的单调性；（Ⅱ）要证对于任意的成立，即证，根据单调性求解.试题解析：（Ⅰ）的定义域为；.当，时，，单调递增；，单调递减.当时，.（1），，当或时，，单调递增；当时，，单调递减；（2）时，，在内，，单调递增；（3）时，，当或时，，单调递增；当时，，单调递减.综上所述，当时，函数在内单调递增，在内单调递减；当时，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增；当时，在内单调递增；当，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，时，，，令，.则，由可得，当且仅当时取得等号.又，设，则在单调递减，因为，所以在上存在使得时，时，，所以函数在上单调递增；在上单调递减，由于，因此，当且仅当取得等号，所以，即对于任意的恒成立。【考点】利用导函数判断函数的单调性，分类讨论思想.【名师点睛】本题主要考查导数的计算、应用导数研究函数的单调性、分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错误百出.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等.20、（1）见解析（2）见解析【解题分析】

（1）不等式左右都大于0，两边同时平方，整理即要证明，再平方，且，，即得证；（2）证明即可，提公因式整理得证。【题目详解】证明：（1）欲证明，只需证明，即证，两边平方，得，因为，所以显然成立，得证.（2）因为，所以.【题目点拨】本题考查证明不等式，（1）用两边同时平方的方法，（2）用做差法来证明，注意（1）可以平方的条件是不等式两边都大于零。21、（1）（2）猜想：；证明见解析【解题分析】

（1）分别代入并化简，可得，即可求出答案；（2）猜想：；分别代入表达式，化简并整理即可证明.【题目详解】解：（1）.因为函数与具有相同的单调性，且都是单调函数，所以是单调函数..（2）由，猜想：.证明:.所以.【题目点拨】本题考查了归纳推理，考查了学生的推理能力，属于中档题.22、（1）；（2）；（3）.【解题分析】

（1）计算出八个角（即八个三棱锥）的体积之和，然后利用正方体的体积减去这八个角的体积之和即可得出方灯体的体积；（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系