2024届湖南省岳阳县一中、汨罗市一中数学高二第二学期期末检测试题含解析

2024届湖南省岳阳县一中、汨罗市一中数学高二第二学期期末检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数是函数的导函数，，对任意实数都有，则不等式的解集为（）A． B． C． D．2．图1和图2中所有的正方形都全等，将图1中的正方形放在图2中的①②③④某一位置，所组成的图形能围成正方体的概率是（）A．14 B．C．34 D．3．已知随机变量，且，则A． B． C． D．4．曲线在点处的切线的倾斜角为（）A．30° B．60° C．45° D．120°5．已知圆，定点，点为圆上的动点，点在上，点在线段上，且满足，，则点的轨迹方程是（）A． B．C． D．6．若，且，则“”是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．已知数列，如果，，，……，，……，是首项为1，公比为的等比数列，则=A． B． C． D．8．若函数在其定义域内的一个子区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．9．执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的（）A．5 B．6 C．7 D．810．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=2x-3A．-1 B．1 C．-2 D．211．若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如.如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》.执行该程序框图，则输出的等于()A．4 B．8 C．16 D．3212．下列命题中正确的个数()①“∀x>0，2x>sinx”的否定是“∃x0≤0，2x0≤sinx0”；②用相关指数R2可以刻画回归的拟合效果，A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．记曲线与直线，所围成封闭图形的面积为，则________．14．事件相互独立，若，，则____.15．某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的6个点A、B、C、A1、、B1、C1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有种（用数字作答）.16．己知幂函数在上单调递减，则______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在中国北京世界园艺博览会期间，某工厂生产、、三种纪念品，每一种纪念品均有精品型和普通型两种，某一天产量如下表：（单位：个）纪念品纪念品纪念品精品型普通型现采用分层抽样的方法在这一天生产的纪念品中抽取个，其中种纪念品有个．（1）求的值；（2）从种精品型纪念品中抽取个，其某种指标的数据分别如下：、、、、，把这个数据看作一个总体，其均值为，方差为，求的值；（3）用分层抽样的方法在种纪念品中抽取一个容量为的样木，从样本中任取个纪念品，求至少有个精品型纪念品的概率．18．（12分）已知函数，其中为常数．(1)若，求函数的极值；(2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围．19．（12分）如图,在四棱锥中,底面是边长为2的正方形,侧面是等腰直角三角形,且,侧面⊥底面.(1)若分别为棱的中点,求证:∥平面；(2)棱上是否存在一点,使二面角成角，若存在,求出的长；若不存在,请说明理由.20．（12分）袋中装有黑色球和白色球共个，从中任取个球都是白色球的概率为，现有甲、乙两人从袋中轮流摸出个球，甲先摸，乙后摸，然后甲再摸，，摸后均不放回，直到有一个人摸到白色球后终止，每个球在每一次被摸出的机会都是等可能的，用表示摸球终止时所需摸球的次数.（1）求随机变量的分布和均值；（2）求甲摸到白色球的概率.21．（12分）2017年5月14日，第一届“一带一路”国际高峰论坛在北京举行，为了解不同年龄的人对“一带一路”关注程度，某机构随机抽取了年龄在15-75岁之间的100人进行调查，经统计“青少年”与“中老年”的人数之比为．关注不关注合计青少年15中老年合计5050100（1）根据已知条件完成上面的列联表，并判断能否有99%的把握认为关注“一带一路”是否和年龄段有关？（2）现从抽取的青少年中采用分层抽样的办法选取9人进行问卷调查．在这9人中再选取3人进行面对面询问，记选取的3人中关注“一带一路”的人数为X，求X的分布列及数学期望．附:参考公式，其中．临界值表：0.050.0100.0013.8416.63510.82822．（10分）某技术人员在某基地培育了一种植物,一年后,该技术人员从中随机抽取了部分这种植物的高度(单位:厘米)作为样本(样本容量为)进行统计,绘制了如下频率分布直方图,已知抽取的样本植物高度在内的植物有8株,在内的植物有2株.(Ⅰ)求样本容量和频率分布直方图中的,的值;(Ⅱ)在选取的样本中,从高度在内的植物中随机抽取3株,设随机变量表示所抽取的3株高度在内的株数,求随机变量的分布列及数学期望;(Ⅲ)据市场调研,高度在内的该植物最受市场追捧.老王准备前往该基地随机购买该植物50株.现有两种购买方案,方案一:按照该植物的不同高度来付费,其中高度在内的每株10元,其余高度每株5元;方案二:按照该植物的株数来付费,每株6元.请你根据该基地该植物样本的统计分析结果为决策依据,预测老王采取哪种付费方式更便宜?

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】令,,所以函数是减函数，又，所以不等式的解集为本题选择B选项.2、C【解题分析】分析：将图1的正方形放在图2中①的位置出现重叠的面，不能围成正方体，再根据概率公式求解可得.详解：由图共有4种等可能结果，其中将图1的正方形放在图2中①的位置出现重叠的面，不能围成正方体，则所组成的图形能围成正方体的概率是34故选：C.点睛：本题考查了概率公式和展开图折叠成几何体，解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形，注意：只要有“田”字格的展开图都不是正方体的表面展开图.3、B【解题分析】

根据正态分布的对称性即可得到答案.【题目详解】由于，故选B.【题目点拨】本题主要考查正态分布中概率的计算，难度不大.4、C【解题分析】

求导得：在点处的切线斜率即为导数值1.所以倾斜角为45°.故选C.5、A【解题分析】试题分析：由，可知，直线为线段的中垂线，所以有，所以有，所以点的轨迹是以点为焦点的椭圆，且，即，所以椭圆方程为,故选A．考点：1．向量运算的几何意义；2．椭圆的定义与标准方程．【名师点睛】本题主要考查向量运算的几何意义、椭圆的定义与椭圆方程的求法，属中档题．求椭圆标准方程常用方法有：1．定义法，即根据题意得到所求点的轨迹是椭圆，并求出的值；2．选定系数法：根据题意先判断焦点在哪个坐标轴上，设出其标准方程，根据已知条件建立关系的方程组，解之即可．6、B【解题分析】

由指数函数的单调性可得；由椭圆方程可得，再由充分必要条件的定义，即可得到所求结论．【题目详解】解：若，则，若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则，即“”是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的必要不充分条件.故选：【题目点拨】本题考查指数函数的单调性以及椭圆方程，考查充分必要条件的定义，考查推理能力，属于基础题．7、A【解题分析】分析：累加法求解。详解：，，解得点睛：形如的模型，求通项公式，用累加法。8、B【解题分析】分析：求出导函数，求得极值点，函数在含有极值点的区间内不单调．详解：，此函数在上是增函数，又，因此是的极值点，它在含有的区间内不单调，此区间为B．故选B．点睛：本题考查用导数研究函数的极值，函数在不含极值点的区间内一定是单调函数，因此此只要求出极值点，含有极值点的区间就是正确的选项．9、A【解题分析】，故输出.10、A【解题分析】

先求出f2，再利用奇函数的性质得f【题目详解】由题意可得，f2=22-3=1因此，f-2=-f【题目点拨】本题考查利用函数的奇偶性求值，解题时要注意结合自变量选择解析式求解，另外就是灵活利用奇偶性，考查计算能力，属于基础题。11、C【解题分析】初如值n=11,i=1,i=2,n=13,不满足模3余2.i=4,n=17,满足模3余2,不满足模5余1.i=8,n=25,不满足模3余2,i=16,n=41,满足模3余2,满足模5余1.输出i=16.选C．12、C【解题分析】

根据含量词命题的否定可知①错误；根据相关指数的特点可知R2越接近0，模型拟合度越低，可知②错误；根据四种命题的关系首先得到逆命题，利用不等式性质可知③正确；分别在m=0和m≠0的情况下，根据解集为R确定不等关系，从而解得m【题目详解】①根据全称量词的否定可知“∀x>0，2x>sinx”的否定是“∃x②相关指数R2越接近1，模型拟合度越高，即拟合效果越好；R2越接近③若“a>b>0，则3a>3b>0④当m=0时，mx2-2当m≠0时，若mx2-2m+1解得：m≥1，则④正确.∴正确的命题为：③④本题正确选项：C【题目点拨】本题考查命题真假性的判断，涉及到含量词命题的否定、四种命题的关系及真假性的判断、相关指数的应用、根据一元二次不等式解集为R求解参数范围的知识.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

由曲线与直线联立，求出交点，以确定定积分中的取值范围，最后根据定积分的几何意义表示出区域的面积，根据定积分公式即可得到答案。【题目详解】联立，得到交点为，故曲线与直线，所围成封闭图形的面积；故答案为【题目点拨】本题考查利用定积分求面积，确定被积区间与被积函数是解题的关键，属于基础题。14、【解题分析】

由于事件为对立事件，故，代入即得解.【题目详解】由于事件为对立事件，，且，故故答案为：【题目点拨】本题考查了互斥事件的概率求法，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.15、216【解题分析】

每种颜色的灯泡都至少用一个，即用了四种颜色的灯进行安装，分

3

步进行，第一步

,A

、B.

C

三点选三种颜色灯泡共有

种选法；第二步

,

在

A1

、

B1

、

C1

中选一个装第

4

种颜色的灯泡，有

3

种情况；第三步

,

为剩下的两个灯选颜色

,

假设剩下的为

B1

、

C1,

若

B1

与

A

同色

,

则

C1

只能选

B

点颜色；若

B1

与

C

同色

,

则

C1

有A.

B

处两种颜色可选,故为

B1

、

C1

选灯泡共有

3

种选法，得到剩下的两个灯有

3

种情况，则共有

×3×3=216

种方法．故答案为

21616、2【解题分析】

先由幂函数的定义，得到，求出，再由题意，根据幂函数的单调性，即可得出结果.【题目详解】因为为幂函数，所以或，又在上单调递减，由幂函数的性质，可得：，解得：，所以.故答案为：.【题目点拨】本题主要考查由幂函数单调性求参数，熟记幂函数的定义，以及幂函数的单调性即可，属于常考题型.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）；（3）．【解题分析】

（1）根据分层抽样的原理建立关于的方程，解出即可；（2）先根据平均数建立关系式，然后根据方差建立关于、的等量关系，然后将用前面的关系式表示，即可求出的值；（3）设所抽样本中有个精品型纪念品，则，求出，然后利用古典概型的概率公式求出事件“至少有个精品型纪念品”的概率.【题目详解】（1）由题意可知，该工厂一天所生产的纪念品数为.现采用分层抽样的方法在这一天生产的纪念品中抽取个，其中种纪念品有个，则，解得；（2）由题意可得，得.由于总体的方差为，则，可得，所以，；（3）设所抽取的样本中有个精品型纪念品，则，解得，所以，容量为的样本中，有个精品型纪念品，个普通型纪念品.因此，至少有个精品型纪念品的概率为.【题目点拨】本题考查分层抽样、平均数与方差的计算，同时也考查了古典概型概率的计算，考查计算能力，属于中等题.18、（1）见解析；（2）.【解题分析】分析：求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间，利用函数的单调性可求出函数的极值；（2）在上单调递增等价于在上恒成立，求得导数和单调区间，讨论与极值点的关系，结合单调性，运用参数分离和解不等式可得范围.详解：（1）当时：的定义域为令，得当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减；当时，的极大值为，无极小值.（2）在上单调递增在上恒成立，只需在上恒成立在上恒成立令则令，则：①若即时在上恒成立在上单调递减，这与矛盾，舍去②若即时当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增；当时，有极小值，也是最小值，综上点睛：本题主要考查利用导数求函数的单调性以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；③讨论最值或恒成立；④讨论参数.本题是利用方法①求得的最大值.19、(1)见解析(2)【解题分析】

分析：（1）取中点,连结,由三角形中位线定理可得,可证明四边形为平行四边形,可得,由线面平行的判定定理可得结论；（2）取中点,连结、,先证明、、两两垂直.以为原点,分别以、、正方向为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系，设，利用向量垂直数量积为零列方程组，求出平面的法向量，平面的法向量为，由空间向量夹角余弦公式列方程可得结果.详解：(1)取中点,连结,∵分别为、中点，∴//,,又点为中点,∴且,∴四边形为平行四边形,∴∥,又平面,平面,∴∥平面.(2)取中点,连结、,∵是以为直角的等腰直角三角形,又为的中点,∴,又平面⊥平面,由面面垂直的性质定理得⊥平面,又平面,∴⊥,由已知易得:、、两两垂直.以为原点,分别以、、正方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系如图示,则,设,则:,.设平面ABF的法向量为,则,∴,令,则,∴.又平面的法向量为,由二面角成角得:,∴,解得:,或不合题意,舍去.∴,当棱上的点满足时,二面角成角.点睛：利用法向量求解空间角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.20、(1)分布列见解析，E(X)＝2.(2)P(A)＝.【解题分析】分析：（1）由已知先出白子个数，进而可得随机变量X的概率分布列和数学期望；（2）记事件A为“甲摸到白色球”，则事件A包括以下三个互斥事件：A1＝“甲第1次摸球时摸出白色球”；A2＝“甲第2次摸球时摸出白色球”；A3＝“甲第3次摸球时摸出白色球”，利用互斥事件概率加法公式可得.详解：设袋中白色球共有x个，x∈N*且x≥2，则依题意知＝，所以＝，即x2－x－6＝0，解得x＝3(x＝－2舍去)．(1)袋中的7个球，3白4黑，随机变量X的所有可能取值是1,2,3,4,5.P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝.随机变量X的分布列为X12345P所以E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝2.(2)记事件A为“甲摸到白色球”，则事件A包括以下三个互斥事件：A1＝“甲第1次摸球时摸出白色球”；A2＝“甲第2次摸球时摸出白色球”；A3＝“甲第3次摸球时摸出白色球”．依题意知，P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，P(A3)＝＝，所以甲摸到白色球的概率为P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.点睛：本题考查的知识点是古典概型的概率计算公式，随机变量的分布列和数学期望，互斥事件概率加法公式.21、(1)有的把握认为关注“一带一路”和年龄段有关(2)【解题分析】试题分析：(1)依题意完成列联表，计算，对照临界值得出结论；(2)根据分层抽样法，得出随机变量的可能取值，计算对应的概率值，写出的分布列，计算出数学期望值.试题解析：(1)依