2024届吉林省吉林市高二数学第二学期期末联考试题含解析

2024届吉林省吉林市高二数学第二学期期末联考试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知四棱锥的底面是正方形，侧棱长均相等，是线段上的点（不含端点），设与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（）A． B． C． D．2．设i是虚数单位，则复数i3A．-i B．i C．1 D．-13．“”是“方程的曲线是椭圆”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件4．函数f（x）＝（x2﹣2x）ex的图象可能是（）A． B．C． D．5．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是A．210B．336C．84D．3436．一张储蓄卡的密码共有位数字，每位数字都可以是中的任意一个.某人在银行自动取款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，任意按最后一位数字，则不超过次就按对的概率为（）A． B． C． D．7．执行如图所示的程序框图，则程序输出的结果为（）A． B． C． D．8．若函数在其定义域内的一个子区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．9．函数在处的切线与直线:垂直，则（）A．3 B．3 C． D．10．已知定义域为的函数满足‘’，当时，单调递减，如果且，则的值（）A．等于0 B．是不等于0的任何实数C．恒大于0 D．恒小于011．在如图所示的“茎叶图”表示的数据中，众数和中位数分别（）.A．23与26 B．31与26 C．24与30 D．26与3012．在极坐标系中，方程表示的曲线是（）A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．向量经过矩阵变换后的向量是________14．将一根长为1米的木条锯成两段，分别作三角形ABC的两边AB，AC，且.则当AC最短时，第三边BC的长为________米.15．抛物线上的点到的距离与到其准线距离之和的最小值是_____.16．若的展开式中各项系数之和为0,则展开式中含的项为__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数（，e为自然对数的底数）.（1）若，求的最大值；（2）若在R上单调递减，①求a的取值范围；②当时，证明：.18．（12分）已知函数.（1）若函数上是减函数，求实数a的最小值；（2）若，使（）成立，求实数a的取值范围.19．（12分）已知函数，（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）若方程有三个实数根，求实数的取值范围.20．（12分）已知函数.(Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程;(Ⅱ)若存在两个极值点,,证明:.21．（12分）如图，四核锥中，，是以为底的等腰直角三角形，，为中点，且．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．22．（10分）甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为．记甲击中目标的次数为，乙击中目标的次数为．（1）求的分布列；（2）求和的数学期望．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

分别作出线线角、线面角以及二面角，再构造直角三角形，根据边的大小关系确定角的大小关系.【题目详解】设为正方形的中心，为中点，过作的平行线，交于，过作垂直于，连接、、，则垂直于底面，垂直于，因此从而因为，所以即，选D.【题目点拨】线线角找平行，线面角找垂直，面面角找垂面.2、C【解题分析】分析：由条件利用两个复数代数形式的除法运算，虚数单位i的幂运算性质，计算求得结果．详解：i3∴复数i3故选C点睛：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．3、B【解题分析】方程的曲线是椭圆，故应该满足条件：故”是“方程的曲线是椭圆”的必要不充分条件.故答案为：B.4、B【解题分析】

根据函数值的正负，以及单调性，逐项验证.【题目详解】，当或时，，当时，，选项不正确，，令，当或，当，的递增区间是，，递减区间是，所以选项不正确，选项正确.故选:B.【题目点拨】本题考查函数图像的识别，考查函数的单调性和函数值，属于基础题.5、B【解题分析】

由题意知本题需要分组解决，共有两种情况，对于7个台阶上每一个只站一人，若有一个台阶有2人另一个是1人，根据分类计数原理得到结果．【题目详解】由题意知本题需要分组解决，∵对于7个台阶上每一个只站一人有A73种；若有一个台阶有2人另一个是1人共有C31A72种，∴根据分类计数原理知共有不同的站法种数是A73+C31A72=336种．故答案为：B．【题目点拨】分类要做到不重不漏，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．分步要做到步骤完整﹣﹣完成了所有步骤，恰好完成任务．6、B【解题分析】

利用互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式直接求解，即可求得答案.【题目详解】设第次按对密码为事件第一次按对第一次按错，第二次按对第一次按错，第二次按错，第三次按对事件，事件，事件是互斥，任意按最后一位数字，则不超过次就按对的概率由概率的加法公式得：故选：C．【题目点拨】本题考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7、C【解题分析】依次运行如图给出的程序，可得；，所以输出的的值构成周期为4的数列．因此当时，．故程序输出的结果为．选C．8、B【解题分析】分析：求出导函数，求得极值点，函数在含有极值点的区间内不单调．详解：，此函数在上是增函数，又，因此是的极值点，它在含有的区间内不单调，此区间为B．故选B．点睛：本题考查用导数研究函数的极值，函数在不含极值点的区间内一定是单调函数，因此此只要求出极值点，含有极值点的区间就是正确的选项．9、A【解题分析】

先利用求导运算得切线的斜率，再由互相垂直的两直线的关系，求得的值。【题目详解】函数在（1，0）处的切线的斜率是，所以，与此切线垂直的直线的斜率是故选A.【题目点拨】本题考查了求导的运算法则和互相垂直的直线的关系，属于基础题．10、D【解题分析】

由且，不妨设，，则，因为当时，单调递减，所以，又函数满足，所以，所以，即.故选：D.11、B【解题分析】

根据茎叶图的数据，结合众数与中位数的概念，即可求解，得到答案.【题目详解】根据茎叶图中的数据，可得众数是数据中出现次数最多的数据，即众数为，又由中位数的定义，可得数据的中位数为，故选B.【题目点拨】本题主要考查了茎叶图的应用，其中解答中正确读取茎叶图的数据，以及熟记众数、中位数的概念是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.12、B【解题分析】方程，可化简为：，即.整理得，表示圆心为(0,，半径为的圆.故选B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

根据即可求解。【题目详解】根据矩阵对向量的变换可得故答案为：【题目点拨】本题考查向量经矩阵变换后的向量求法，关键掌握住变换的运算法则。14、【解题分析】

设出边长，利用余弦定理可找出关系式，化为二次函数用配方法即可得到最小值.【题目详解】设，则，设，通过余弦定理可得：，即，化简整理得，要使AC最短，则使AB最长，故当时，AB最长，故答案为.【题目点拨】本题主要考查函数的实际应用，意在考查学生的分析能力及计算能力，难度不大.15、【解题分析】

先求出抛物线的焦点坐标，根据定义把p到准线的距离转化为p到焦点的距离，再由抛物线的定义可得d＝|PF|+|PA|≥|AF|，再求出|AF|的值．【题目详解】解：∵抛物线y2＝4x，∴F（1，0），如图：设p在准线上的射影A″，依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PA″|＝|PF|，则点P到点A（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和d＝|PF|+|PA|≥|AF|＝．故答案为：．【题目点拨】本题考查抛物线定义的转化，考查数学转化的思想和数形结合的思想，属于基础题.16、【解题分析】分析：根据题意，先求出a的值，再利用展开式的通项公式求出对应项.详解：的展开式中各项系数之和为0,令，则，解得.的展开式中通项公式为，令时，展开式中含的项为.故答案为：.点睛：求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项公式即可．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）1；（2）①，②证明见解析.【解题分析】

（1）求出函数的导函数，利用导函数与函数单调性的关系当，求出单调递增区间，当，求出函数的单调递减区间，进而可求出最大值.（2）①求出对恒成立，化为对恒成立，记，讨论值，求出的最小值即可证出；②由题意可得，即，两边取对数可得，下面采用分析法即可证出.【题目详解】（1）时，时，，在上单调递增时，，在上单调递减（2）由①在R上单调递减，对恒成立，即对恒成立，记，则对恒成立，当时，，符题当时，时，，在上单调递减时，，在上单调递增；当时，时，，在上单调递减时，，在上单调递增；综上：②当时，在上单调递减，，，，.要证，即证下面证明令，，则，在区间上单调递增，，得证【题目点拨】本题考查了导函数在研究函数单调性的应用，分析法证明不等式，考查了分类讨论的思想，综合性比较强，属于难题.18、(1);(2)．【解题分析】

由已知函数的定义域均为,且.(1)函数,因f(x)在上为减函数，故在上恒成立．所以当时，．又，故当，即时，．所以于是，故a的最小值为．(2)命题“若使成立”等价于“当时，有”．由（1），当时，，．问题等价于：“当时，有”．当时，由（1），在上为减函数，则=，故．当时，由于在上为增函数，故的值域为，即．由的单调性和值域知，唯一，使，且满足：当时，，为减函数；当时，，为增函数；所以，=，．所以，，与矛盾，不合题意．综上，得．考点：1.导数公式；2.函数的单调性；3.恒成立问题；4.函数的最值以及命题的等价变换.19、（Ⅰ）；（Ⅱ）【解题分析】

（Ⅰ）分别在、、三种情况下去掉绝对值，得到不等式，解不等式求得结果；（Ⅱ）将方程变为，分类讨论得到的图象，通过数形结合求得取值范围.【题目详解】（Ⅰ）当时，，可得：当时，，解得：当时，，则无解综上所述：不等式的解集为：（Ⅱ）由方程可变形为：令，则作出函数的图象如下图所示：结合图象可知：，又，【题目点拨】本题考查绝对值不等式的求解、根据方程根的个数求解参数范围的问题，关键是能够将方程根个数问题转化为直线与函数交点的个数问题，通过数形结合的方式来进行求解.20、(Ⅰ)切线方程为y=0；(Ⅱ)证明见解析【解题分析】

（Ⅰ）求出当k=2时的函数的导数，求得切线的斜率和切点，由直线的点斜式方程，可得切线方程；（Ⅱ）由题意存在两个极值点,,求导令导函数得0可得,，将之代入转化成证明，再由函数的单调性即可证明.【题目详解】(Ⅰ)当k=2时,,即有f(1)=0，所以,f′(1)=0.所以切线方程为y=0；(Ⅱ)因为，存在两个极值点,,所以,是的根，设>，,所以,，，解得，因为，因为，，，即证，即证又，则转化为，即证，由(Ⅰ)可知,当k=2时,,在（0，+∞）单调递减，而，因为，，即恒成立，故得证.【题目点拨】本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数证明不等式恒成立，证明不等式恒成立通常运用转化思想，本题将不等式转化为已知函数求单调性，在利用导数单调性进行证明，属于难题.21、（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解题分析】

（Ⅰ）过作垂线，垂足为，由得，．又，可得平面，即可证明．（Ⅱ）易得到平面距离等于到平面距离．过作垂线，垂足为，在中，过作垂线，垂足为，可证得：平面．求得：，从而，即