山东省莒县2024届数学高二下期末达标测试试题含解析

山东省莒县2024届数学高二下期末达标测试试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，在已知两次的点数均为偶数的条件下，两次的点数之和不大于8的概率为（）A． B． C． D．2．从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为()A．85 B．56C．49 D．283．具有线性相关关系的变量，，满足一组数据如表所示，与的回归直线方程为，则的值为（）A． B． C． D．4．已知服从正态分布的随机变量，在区间、和内取值的概率分别为、、和.某企业为名员工定制工作服，设员工的身高（单位：）服从正态分布，则适合身高在范围内员工穿的服装大约要定制（）A．套 B．套 C．套 D．套5．过双曲线的左焦点作倾斜角为的直线，若与轴的交点坐标为，则该双曲线的标准方程可能为（）A． B． C． D．6．已知点P是椭圆上的动点,当点P到直线x-2y+10=0的距离最小时,点P的坐标是（）A． B． C． D．7．双曲线与双曲线有相同的（）A．顶点 B．焦点 C．渐近线 D．离心率8．已知函数，若方程恰有三个实数根，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．9．若两个正实数满足,且恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．10．如图，在正方形中，点E，F分别为边，的中点，将、分别沿、所在的直线进行翻折，在翻折的过程中，下列说法错误是（）A．存在某个位置，使得直线与直线所成的角为B．存在某个位置，使得直线与直线所成的角为C．A、C两点都不可能重合D．存在某个位置，使得直线垂直于直线11．已知二次函数在区间内有两个零点，则的取值范围为（）A． B． C． D．12．设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是A．， B．C．， D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知点，，，则△的面积是________14．已知函数f（x）＝x3﹣3x+1，则函数y＝f（x）的单调递减区间是_____15．已知函数，则_________.16．从，中任取2个不同的数，事件“取到的两个数之和为偶数”，事件”取到的两个数均为偶数”，则_______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数在处取得极值．(1)求实数a的值；(2)若关于x的方程在区间上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围．18．（12分）四棱锥中，底面是中心为的菱形，，．（1）求证：平面；（2）若直线与平面所成的角为，求二面角正弦值．19．（12分）为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议．现对他前7次考试的数学成绩、物理成绩进行分析．下面是该生7次考试的成绩．数学888311792108100112物理949110896104101106（1）他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？请给出你的证明；（2）已知该生的物理成绩与数学成绩是线性相关的，若该生的物理成绩达到115分，请你估计他的数学成绩大约是多少？并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性，给出该生在学习数学、物理上的合理建议．参考公式：方差公式：，其中为样本平均数.，。20．（12分）已知数列的前项和为，且满足．（1）求数列的通项公式；（2）令，记数列的前项和为，证明：．21．（12分）已知函数与的图象都过点，且在点处有公共切线.（1）求的表达式；（2）设，求的极值.22．（10分）将一枚六个面的编号为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后掷两次，记第一次出的点数为，第二次出的点数为，且已知关于、的方程组.（1）求此方程组有解的概率；（2）若记此方程组的解为，求且的概率.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

求出两次点均为偶数的所有基本事件的个数，再求出在两次均为偶数而且和不大于8的基本事件的个数后可得概率．【题目详解】记，，因为，，所以．故选：D.【题目点拨】本题考查条件概率，本题解题关键是求出两次的点数均为偶数的条件下，两次的点数之和不大于8所含有的基本事件的个数．2、C【解题分析】试题分析：根据题意：，故选C.考点：排列组合.3、A【解题分析】

将数据的中心点计算出来，代入回归方程，计算得到答案.【题目详解】中心点为：代入回归方程故答案选A【题目点拨】本题考查了回归方程过中心点的知识，意在考查学生的计算能力.4、B【解题分析】

由可得，，则恰为区间，利用总人数乘以概率即可得到结果.【题目详解】由得：，，，又适合身高在范围内员工穿的服装大约要定制：套本题正确选项：【题目点拨】本题考查利用正态分布进行估计的问题，属于基础题.5、A【解题分析】

直线的方程为，令，得，得到a,b的关系，结合选项求解即可【题目详解】直线的方程为，令，得.因为，所以，只有选项满足条件.故选：A【题目点拨】本题考查直线与双曲线的位置关系以及双曲线的标准方程，考查运算求解能力.6、C【解题分析】分析：设与直线x-2y+10=0平行且与椭圆相切的直线方程为，与椭圆方程联立，利用，解得，即可得出结论.详解：设与直线x-2y+10=0平行且与椭圆相切的直线方程为，联立，化为，，解得，取时，，解得，，.故选：C.点睛：本题考查了直线与椭圆的相切与一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.7、C【解题分析】

根据选项分别写出两个双曲线的几何性质，比较后得到答案.【题目详解】的顶点是，焦点是，渐近线方程是，离心率是；的顶点是，焦点是，渐近线方程是，离心率，比较后可知只有渐近线方程一样.故选C.【题目点拨】本题考查了双曲线的几何性质，属于简单题型.8、C【解题分析】当时，画出函数图像如下图所示，由图可知，无解，不符合题意，故排除两个选项.当时，画图函数图像如下图所示，由图可知，或，解得不符合题意，故排除选项，选.点睛：本题主要考查分段函数的图像与性质，考查复合函数的研究方法，考查分类讨论的数学思想方法，考查零点问题题.题目所给的分段函数当时，图像是确定的，当时，图像是含有参数的，所以要对参数进行分类讨论.在分类讨论的过程中，围绕的解的个数来进行.9、D【解题分析】

将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，然后解不等式，可得出实数的取值范围．【题目详解】由基本不等式得，当且仅当，由于，，即当时，等号成立，所以，的最小值为，由题意可得，即，解得，因此，实数的取值范围是，故选D.【题目点拨】本题考查不等式恒成立问题，考查利用基本不等式求最值，对于不等式成立的问题，需要结合量词来决定所选择的最值，考查计算能力，属于中等题．10、D【解题分析】

在A中，可找到当时，直线AF与直线CE垂直；在B中，由选项A可得线AF与直线CE所成的角可以从到，自然可取到；在C中，若A与C重合，则，推出矛盾；在D中，若AB⊥CD，可推出则，矛盾.【题目详解】解：将DE平移与BF重合，如图：在A中，若，又，则面，则，即当时，直线AF与直线CE垂直，故A正确；

在B中，由选项A可得线AF与直线CE所成的角可以从到，必然会存在某个位置，使得直线AF与直线CE所成的角为60°，故B正确；在C中，若A与C重合，则，不符合题意，则A与C恒不重合，故C正确；

在D中，，又CB⊥CD，则CD⊥面ACB，所以AC⊥CD，即，又，则，矛盾，故D不成立；

故选：D.【题目点拨】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题.11、A【解题分析】

先求出二次函数在区间内有两个零点，所需要的条件，然后再平面直角坐标系内，画出可行解域，然后分析得出的取值范围.【题目详解】因为二次函数在区间内有两个零点，所以有：，对应的平面区域为下图所示：则令，则的取值范围为，故本题选A.【题目点拨】本题考查了一元二次方程零点分布问题，正确画出可行解域是解题的关键.12、D【解题分析】

由正态分布的性质，结合图像依次分析选项即可得到答案。【题目详解】由题可得曲线的对称轴为，曲线的对称轴为，由图可得，由于表示标准差，越小图像越瘦长，故，故A,C不正确；根据图像可知，，，；所以，，故C不正确，D正确；故答案选D【题目点拨】本题考查正态分布曲线的特点以曲线所表示的意义，考查正态分布函数中两个特征数均值和方差对曲线的位置和形状的影响，正态分布曲线关于对称，且越大图像越靠右边，表示标准差，越小图像越瘦长，属于基础题。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

首先求出的直线方程：，线段的长度；然后由点到直线的距离公式求出点到直线的距离，根据三角形的面积公式即可求解。【题目详解】因为，由两点间的距离公式可得，又所以的直线方程为，整理可得：，由点到直线的距离公式，所以△的面积故答案为：【题目点拨】本题考查平面解析几何中的两点间的距离公式、点斜式求直线方程、点到直线的距离公式，属于基础计算题。14、【解题分析】

求得函数的导数，利用导数的符号，即可求解，得到答案．【题目详解】由题意，函数，则，令，即，解得，所以函数的单调递减区间为，故答案为：．【题目点拨】本题主要考查了利用研究函数的单调性，求解函数的单调区间，其中解答中熟记导数与原函数的关系式解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．15、1【解题分析】

利用分段函数的性质求解．【题目详解】解：∵，∴，，故答案为：1【题目点拨】本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意分段函数的性质的灵活运用．16、【解题分析】

先求得事件所包含的基本事件总数，再求得事件所包含的基本事件总数，由此求得的值.【题目详解】依题意，事件所包含的基本事件为共六种，而事件所包含的基本事件为共三种，故.【题目点拨】本小题主要考查条件概型的计算，考查列举法，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)；(2)．【解题分析】

（Ⅰ）函数，对其进行求导，在处取得极值，可得，求得值；

（Ⅱ）由知，得令则关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根，转化为上恰有两个不同实数根，对对进行求导，从而求出的范围；【题目详解】（Ⅰ）时，取得极值，故解得.经检验符合题意．（Ⅱ）由知，得令则在上恰有两个不同的实数根，等价于上恰有两个不同实数根.当时，，于是上单调递增；当时，，于是在上单调递增；依题意有.【题目点拨】本题考查利用导数研究函数的极值及单调性以及方程的实数根问题，解题过程中用到了分类讨论的思想，分类讨论的思想也是高考的一个重要思想，要注意体会其在解题中的运用，属中档题．18、（1）见解析（2）【解题分析】

（1）由题意，，又，则平面，则，又，则平面；（2）由题意，直线与平面所成的角即为，设菱形的边长为2，取的中点，连接，则平面，以为原点，，，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用平面的法向量求解二面角．【题目详解】（1）证明：因为底面是菱形，故，又，且平面，，∴平面，∵平面，∴又∵，，平面，∴平面；（2）解：由（1）知，平面，故直线与平面所成的角即为，设菱形的边长为2，由平面几何知识，，取的中点，连接，则平面，以为原点，，，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，，，，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，，，故所求二面角的正弦值为．【题目点拨】本题主要考查线面垂直的判定与性质，考查利用空间向量求二面角，考查推理能力与计算能力，属于中档题．19、（1）物理成绩更稳定.证明见解析；（2）130分，建议：进一步加强对数学的学习，提高数学成绩的稳定性，将有助于物理成绩的进一步提高【解题分析】

（1）分别算出物理成绩和数学成绩的方差；（2）利用最小二乘法，求出关于的回归方程，再用代入回归方程，求得.【题目详解】（1），，∴，∴，从而，∴物理成绩更稳定.（2）由于与之间具有线性相关关系，根据回归系数公式得到，，∴线性回归方程为，当时，.建议：进一步加强对数学的学习，提高数学成绩的稳定性，将有助于物理成绩的进一步提高【题目点拨】本题考查统计中的方差、回归直线方程等知识，考查基本的数据处理能力，要求计算要细心，防止计算出错.20、（1）；（2）见解析【解题分析】

（1）可以通过取计算出，再通过取时计算出,得出答案。（2）可通过裂项相消求解。【题目详解】（1）当时，有，解得.当时，有，则，整理得：，数列是以为公比，