2024届广东省深圳市第二高级中学数学高二第二学期期末质量检测试题含解析

2024届广东省深圳市第二高级中学数学高二第二学期期末质量检测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设集合，，，则A． B．C． D．2．已知命题，；命题在中，若，则．下列命题为真命题的是（）A． B． C． D．3．已知复数在复平面内对应的点在第一象限，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．4．“”是“函数存在零点”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件5．已知函数，其定义域是，则下列说法正确的是（）A．有最大值，无最小值B．有最大值，最小值C．有最大值，无最小值D．无最大值，最小值6．已知实数成等比数列，则椭圆的离心率为A． B．2 C．或2 D．或7．给出下列四个说法：①命题“都有”的否定是“使得”；②已知，命题“若，则”的逆命题是真命题；③是的必要不充分条件;④若为函数的零点，则，其中正确的个数为（）A． B． C． D．8．设复数满足，则（）A． B． C． D．9．已知随机变量，，则（）A．0.16 B．0.32 C．0.66 D．0.6810．已知直线与圆相交所得的弦长为，则圆的半径（）A． B．2 C． D．411．某产品的广告费用万元与销售额万元的统计数据如下表：根据以上数据可得回归直线方程，其中，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额为65.5万元，则，的值为（）A．， B．，C．， D．，12．在一次期中考试中，数学不及格的人数占，语文不及格占，两门都不及格占，若一名学生语文及格，则该生数学不及格的概率为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．有编号分别为1，2，3，4，5的5个黑色小球和编号分别为1，2，3，4，5的5个白色小球，若选取的4个小球中既有1号球又有白色小球，则有______种不同的选法.14．某市有A、B、C三所学校，各校有高三文科学生分别为650人，500人，350人，在三月进行全市联考后，准备用分层抽样的方法从所有高三文科学生中抽取容量为120的样本，进行成绩分析，则应从B校学生中抽取______人15．已知复数，其中是虚数单位，复数满足，则复数的模等于__________.16．已知条件：；条件：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是________________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图①，有一个长方体形状的敞口玻璃容器，底面是边长为20cm的正方形，高为30cm，内有20cm深的溶液．现将此容器倾斜一定角度（图②），且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上（图①、②均为容器的纵截面）．（1）要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，角的最大值是多少？（2）现需要倒出不少于的溶液，当时，能实现要求吗？请说明理由．18．（12分）十九大提出，加快水污染防治，建设美丽中国根据环保部门对某河流的每年污水排放量单位：吨的历史统计数据，得到如下频率分布表：

污水量

频率

将污水排放量落入各组的频率作为概率，并假设每年该河流的污水排放量相互独立．（Ⅰ）求在未来3年里，至多1年污水排放量的概率；（Ⅱ）该河流的污水排放对沿河的经济影响如下：当时，没有影响；当时，经济损失为10万元；当时，经济损失为60万元为减少损失，现有三种应对方案：方案一：防治350吨的污水排放，每年需要防治费万元；方案二：防治310吨的污水排放，每年需要防治费2万元；方案三：不采取措施．试比较上述三种方案，哪种方案好，并请说明理由．19．（12分）如图，已知三点，，在抛物线上，点，关于轴对称（点在第一象限），直线过抛物线的焦点.（Ⅰ）若的重心为，求直线的方程；（Ⅱ）设，的面积分别为，求的最小值．20．（12分）2020年开始，国家逐步推行全新的高考制度，新高考不再分文理科。某省采用模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每科目满分100分.为了应对新高考，某学校从高一年级1000名学生（其中男生550人，女生450人）中，根据性别分层，采用分层抽样的方法从中抽取100名学生进行调查.（1）学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“历史”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对抽取到的100名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目），如下表是根据调查结果得到的列联表.请求出和，并判断是否有的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；选择“物理”选择“历史”总计男生10女生25总计（2）在抽取到的女生中按（1）中的选课情况进行分层抽样，从中抽出9名女生，再从这9名女生中随机抽取4人，设这4人中选择“历史”的人数为，求的分布列及数学期望.参考公式：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82821．（12分）设函数，.（1）若，求不等式的解集；（2）若关于的不等式对任意的恒有解，求的取值范围.22．（10分）在某项体能测试中，规定每名运动员必需参加且最多两次，一旦第一次测试通过则不再参加第二次测试，否则将参加第二次测试.已知甲每次通过的概率为23，乙每次通过的概率为1(Ⅰ)求甲乙至少有一人通过体能测试的概率；(Ⅱ)记X为甲乙两人参加体能测试的次数和，求X的分布列和期望.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】分析：由题意首先进行并集运算，然后进行交集运算即可求得最终结果.详解：由并集的定义可得：，结合交集的定义可知：.本题选择C选项.点睛：本题主要考查并集运算、交集运算等知识，意在考查学生的计算求解能力.2、C【解题分析】

判断出命题、的真假，即可判断出各选项中命题的真假，进而可得出结论.【题目详解】函数在上单调递增，，即命题是假命题；又，根据正弦定理知，可得，余弦函数在上单调递减，，即命题是真命题．综上，可知为真命题，、、为假命题.故选：C.【题目点拨】本题考查复合命题真假的判断，解答的关键就是判断出各简单命题的真假，考查推理能力，属于中等题.3、A【解题分析】

由实部虚部均大于0联立不等式组求解．【题目详解】解：复数在复平面内对应的点在第一象限，，解得．实数的取值范围是．故选：．【题目点拨】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查不等式组的解法，是基础题．4、A【解题分析】显然由于，所以当m<0时，函数f(x)=m+log2x（x≥1）存在零点;反之不成立，因为当m=0时，函数f(x)也存在零点，其零点为1，故应选A．5、A【解题分析】

先化简函数，再根据反比例函数单调性确定函数最值取法【题目详解】因为函数，所以在上单调递减，则在处取得最大值，最大值为，取不到函数值，即最小值取不到.故选A.【题目点拨】本题考查反比例函数单调性以及利用函数单调性求最值，考查分析判断求解能力，属基础题.6、A【解题分析】

由1，m，9构成一个等比数列，得到m=±1．当m=1时，圆锥曲线是椭圆；当m=﹣1时，圆锥曲线是双曲线，(舍）由此即可求出离心率．【题目详解】∵1，m，9构成一个等比数列，∴m2=1×9，则m=±1．当m=1时，圆锥曲线+y2=1是椭圆，它的离心率是=；当m=﹣1时，圆锥曲线+y2=1是双曲线，故舍去，则离心率为．故选A．【题目点拨】本题考查圆锥曲线的离心率的求法，解题时要注意等比数列的性质的合理运用，注意分类讨论思想的灵活运用．7、C【解题分析】

对于①②③④分别依次判断真假可得答案.【题目详解】对于①，命题“都有”的否定是“使得”，故①错误；对于②，命题“若，则”的逆命题为“若，则”正确；对于③，若则，若则或，因此是的充分不必要条件，故③错误；对于④，若为函数，则，即，可令，则，故为增函数，令，显然为减函数，所以方程至多一解，又因为时，所以，则④正确，故选C.【题目点拨】本题主要考查真假命题的判断，难度中等.8、D【解题分析】分析：先根据复数除法得，再根据复数的模求结果.详解：因为，所以,因此选D.点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如.其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为9、D【解题分析】

先由对称性求出，再利用即得解.【题目详解】由于随机变量，关于对称，故故选：D【题目点拨】本题考查了正态分布在给定区间的概率，考查了学生概念理解，数形结合，数学运算的能力，属于基础题.10、B【解题分析】

圆心到直线的距离，根据点到直线的距离公式计算得到答案.【题目详解】根据题意：圆心到直线的距离，故，解得.故选：.【题目点拨】本题考查了根据弦长求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.11、C【解题分析】分析：根据回归直线过样本中心和条件中给出的预测值得到关于，的方程组，解方程组可得所求．详解：由题意得，又回归方程为，由题意得，解得．故选C．点睛：线性回归方程过样本中心是一个重要的结论，利用此结论可求回归方程中的参数，也可求样本数据中的参数．根据回归方程进行预测时，得到的数值只是一个估计值，解题时要注意这一点．12、A【解题分析】

记“一名学生语文及格”为事件A，“该生数学不及格”为事件B，所求即为，根据条件概率的计算公式，和题设数据，即得解.【题目详解】记“一名学生语文及格”为事件A，“该生数学不及格”为事件B，所求即为：故选：A【题目点拨】本题考查了条件概率的计算，考查了学生概念理解，实际应用，数学运算的能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、136【解题分析】分析：分两种情况：取出的4个小球中有1个是1号白色小球；取出的4个小球中没有1号白色小球.详解：由题，黑色小球和白色小球共10个，分两种情况：取出的4个小球中有1个是1号白色小球的选法有种；取出的4个小球中没有1号白色小球，则必有1号黑色小球，则满足题意的选法有种，则满足题意的选法共有种.即答案为136.点睛：本题考查分步计数原理、分类计数原理的应用，注意要求取出的“4个小球中既有1号球又有白色小球”．14、1【解题分析】

设应从B校抽取n人，利用分层抽样的性质列出方程组，能求出结果．【题目详解】设应从B校抽取n人，某市有A、B、C三所学校，各校有高三文科学生分别为650人，500人，350人，在三月进行全市联考后，准备用分层抽样的方法从所有高三文科学生中抽取容量为120的样本，，解得．故答案为：1．【题目点拨】本题考查应从B校学生中抽取人数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15、【解题分析】

可设出复数z，通过复数相等建立方程组，从而求得复数的模.【题目详解】由题意可设，由于，所以，因此，解得，因此复数的模为：.【题目点拨】本题主要考查复数的四则运算，相等的条件，比较基础.16、【解题分析】分析：条件化为，化为，由是的必要不充分条件，根据包含关系列不等式求解即可.详解：条件，化为，解得，，解得，若是的必要不充分条件，则是的充分不必要条件，，解得，则实数的取值范围是，故答案为.点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法、一元二次不等式的解法以及充分条件与必要条件的定义，意在考查综合运用所学知识解决问题的能力，属于简单题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，的最大值是45°（2）不能实现要求，详见解析【解题分析】

（1）当倾斜至上液面经过点B时，容器内溶液恰好不会溢出，此时最大．（2）当时，设剩余的液面为，比较与60°的大小后发现在上，计算此时倒出的液体体积，比小，从而得出结论．【题目详解】（1）如图③，当倾斜至上液面经过点B时，容器内溶液恰好不会溢出，此时最大．解法一：此时，梯形的面积等于，因为，所以，，即，解得，．所以，要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，的最大值是45°．③解法二：此时，的面积等于图①中没有液体部分的面积，即，因为，所以，即，解得，．所以，要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，的最大值是45°．（2）如图④，当时，设上液面为，因为，所以点F在线段上，④此时，，,剩余溶液的体积为，由题意，原来溶液的体积为，因为，所以倒出的溶液不满．所以，要倒出不少于的溶液，当时，不能实现要求．【题目点拨】本题考查三角函数的实际应用，解题关键是确定倾斜后容器内的溶液的液面位置，然后才能计算解决问题．18、（Ⅰ）；（Ⅱ）采取方案二最好，理由详见解析.【解题分析】

（Ⅰ）先求污水排放量的概率0.25，然后再求未来3年里，至多1年污水排放量的概率；（Ⅱ）分别求解三种方案的经济损失的平均费用，根据费用多少作出决策.【题目详解】解：Ⅰ由题得，设在未来3年里，河流的污水排放量的年数为Y，则设事件“在未来3年里，至多有一年污水排放量”为事件A，则．在未来3年里，至多1年污水排放量的概率为．Ⅱ

方案二好，理由如下：由题得，．用，，分别表示方案一、方案二、方案三的经济损失,则万元．的分布列为：

2

62

P

．的分布列为：

0

10

60

P

．三种方案中方案二的平均损失最小，采取方案二最好．【题目点拨】本题主要考查随机变量的分布列和期望，数学期望是生活生产中进行决策的主要指标，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.19、(Ⅰ)；(Ⅱ)【解题分析】

(Ⅰ)设A,P,Q三点的坐标，将重心表示出来，且A,P,Q在抛物线上，可解得A,P两点坐标，进而求得直线AP；(Ⅱ)设直线PQ和直线AP，进而用横坐标表示出，讨论求得最小值。【题目详解】(Ⅰ)设,,则，所以，所以，所以(Ⅱ)设由得所以即又设由得，所以所以所以即过定点所以所以当且仅当时等号成立所以的最小值为【题目点拨】本题主要考查抛物线的方程与性质、直线与抛物线的位置关系以及圆锥曲线中的最值问题，属于抛物线的综合题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法.20、（1），，有的把握认为选择科目与性别有关.详见解析（2）见解析【解题分析】

（1）完善列联表，计算，再与临界值表进行比较得到答案.（2）这4名女生中选择历史的人数可为0，1，2，3，4.分别计算对应概率，得到分布列，再计算数学期望.【题目详解】（1）由题意，男生人数为，女生人数为，所以列联表为：选择“物理”选择“历史”总计男生451055女生252045总计7030100，.假设：选择科目与性别无关，所以的观测值，查表可得：，所以有的把握认为选择科目与性别有关.（2）从45名女生中分层抽样抽9名女生，所以这9名女生中有5人选择物理，4