2024届湖南省常德市淮阳中学等校联考数学高二第二学期期末监测模拟试题含解析

2024届湖南省常德市淮阳中学等校联考数学高二第二学期期末监测模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，若为奇函数，且在上单调递增，则实数的值是()A． B． C． D．2．的值等于（）A．1 B．－1 C． D．3．等于()A． B．2 C．-2 D．+24．已知函数图象经过点，则该函数图象的一条对称轴方程为（）A． B． C． D．5．已知的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）A． B． C． D．6．的值等于（）A．7351 B．7355 C．7513 D．73157．已知定圆，，定点，动圆满足与外切且与内切，则的最大值为（）A． B． C． D．8．设，则的值为（）A．－7 B． C．2 D．79．已知某随机变量服从正态分布，且，则（）A． B． C． D．10．设集合，集合，则（）A． B． C． D．11．给出下列三个命题：①“若，则”为假命题；②若为真命题，则,均为真命题；③命题，则.其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．312．设f（x）＝＋x﹣4，则函数f（x）的零点位于区间（）A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知，的取值如下表所示：从散点图分析，与线性相关，且，以此预测当时，_______.14．已知复数z满足，则________.15．在中，，，，则的面积等于__________.16．用数学归纳法证明时，从“到”，左边需增乘的代数式是___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）“蛟龙号”载人潜水艇执行某次任务时从海底带回来某种生物.甲乙两个生物小组分别独立开展对该生物离开恒温箱的成活情况的研究，每次试验一个生物，甲组能使生物成活的概率为，乙组能使生物成活的概率为，假定试验后生物成活，则称该次试验成功，如果生物不成活，则称该次试验失败.（1）甲小组做了三次试验，求至少两次试验成功的概率；（2）如果乙小组成功了4次才停止试验，求乙小组第四次成功前共有三次失败，且恰有两次连续失败的概率；（3）若甲乙两小组各进行2次试验，记试验成功的总次数为随机变量X，求X的概率分布与数学期望.18．（12分）2018年6月14日，世界杯足球赛在俄罗斯拉开帷幕，世界杯给俄罗斯经济带来了一定的增长，某纪念商品店的销售人员为了统计世界杯足球赛期间商品的销售情况，随机抽查了该商品商店某天200名顾客的消费金额情况，得到如图频率分布表：将消费顾客超过4万卢布的顾客定义为”足球迷”，消费金额不超过4万卢布的顾客定义为“非足球迷”．消费金额/万卢布合计顾客人数93136446218200（1）求这200名顾客消费金额的中位数与平均数（同一组中的消费金额用该组的中点值作代表；（2）该纪念品商店的销售人员为了进一步了解这200名顾客喜欢纪念品的类型，采用分层抽样的方法从“非足球迷”，“足球迷”中选取5人，再从这5人中随机选取3人进行问卷调查，则选取的3人中“非足球迷”人数的分布列和数学期望．19．（12分）已知集合U＝R，集合A＝{x|（x－2）（x－3）<0}，函数y＝lg的定义域为集合B．（1）若a＝，求集合A∩（∁UB）；（2）命题p：x∈A，命题q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．20．（12分）已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程是（t是参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）判断直线与曲线C的位置关系；（2）设点为曲线C上任意一点，求的取值范围．21．（12分）已知数列的前项和满足,.（1）求数列的通项公式；（2）设，，求数列的前项和.22．（10分）设函数.（1）求的单调区间；（2）若对任意的都有恒成立，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

先根据奇函数性质确定取法，再根据单调性进行取舍，进而确定选项.【题目详解】因为为奇函数，所以因为，所以因此选B.【题目点拨】本题考查幂函数奇偶性与单调性，考查基本判断选择能力.2、B【解题分析】

根据复数的计算方法，可得的值，进而可得，可得答案．【题目详解】解：根据复数的计算方法，可得，则，故选：．【题目点拨】本题考查复数的混合运算，解本题时，注意先计算括号内，再来计算复数平方，属于基础题．3、D【解题分析】∵.故选D4、C【解题分析】

首先把点带入求出，再根据正弦函数的对称轴即可．【题目详解】把点带入得，因为，所以，所以，函数的对称轴为．当，所以选择C【题目点拨】本题主要考查了三角函数的性质，需要记忆常考三角函数的性质有：单调性、周期性、对称轴、对称中心、奇偶性等．属于中等题．5、A【解题分析】由题意可得：，由二项式系数的性质可得：奇数项的二项式系数和为.本题选择A选项.点睛：1．二项展开式的通项是展开式的第k＋1项，这是解决二项式定理有关问题的基础．在利用通项公式求指定项或指定项的系数要根据通项公式讨论对k的限制．2．因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法．3．二项式定理的应用主要是对二项展开式正用、逆用，要充分利用二项展开式的特点和式子间的联系．6、D【解题分析】原式等于，故选D.7、A【解题分析】

将动圆的轨迹方程表示出来：,利用椭圆的性质将距离转化,最后利用距离关系得到最值.【题目详解】定圆，，动圆满足与外切且与内切设动圆半径为，则表示椭圆，轨迹方程为：故答案选A【题目点拨】本题考查了轨迹方程，椭圆的性质，利用椭圆性质变换长度关系是解题的关键.8、D【解题分析】

利用赋值法，令即可确定的值.【题目详解】题中所给等式中，令可得：，即，令可得：，即，据此可知：的值为.本题选择D选项.【题目点拨】本题主要考查赋值法及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9、A【解题分析】

直接利用正态分布曲线的对称性求解．【题目详解】，且，．．故选：A．【题目点拨】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．10、B【解题分析】

求解出集合，根据并集的定义求得结果.【题目详解】本题正确选项：【题目点拨】本题考查集合运算中的并集运算，属于基础题.11、B【解题分析】试题分析：①若，则且，所以①正确；②若为真命题，则，应至少有一个是真命题，所以②错；③正确．考点：1.四种命题；2.命题的否定．12、C【解题分析】

根据零点的判定定理，结合单调性直接将选项的端点代入解析式判正负即可．【题目详解】∵f（x）＝2x+x﹣4中，y＝2x单增，y=x-4也是增函数，∴f（x）＝2x+x﹣4是增函数，又f（1）＝﹣1＜0，f（2）＝2＞0，故选C．【题目点拨】本题考查了函数零点存在定理的应用，考查了函数单调性的判断，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

根据表格数据分别求出，代入求出的值，再计算当时的值。【题目详解】由表格知道代入得即当时故填6【题目点拨】本题考查线性回归直线，属于基础题，掌握线性回归直线过中心点是解题的关键。14、3-i【解题分析】

利用复数的运算法则、共轭复数的性质即可得出．【题目详解】解：（z﹣2）i＝1+i，则（z﹣2）i•（﹣i）＝﹣i（1+i），可得z＝2﹣i+1＝3﹣i．故答案为：3﹣i．【题目点拨】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15、【解题分析】

通过余弦定理求出AB的长，然后利用三角形的面积公式求解即可．【题目详解】设AB=c，在△ABC中，由余弦定理知AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosB，即7=c2+4﹣2×2×c×cos60°，c2﹣2c﹣1=0，又c＞0，∴c=1．S△ABC=AB•BCsinB=BC•h，可知S△ABC=×1×2×=．故答案为：．【题目点拨】本题考查三角形的面积求法，余弦定理的应用，考查计算能力，属于中档题．16、.【解题分析】

从到时左边需增乘的代数式是，化简即可得出．【题目详解】假设时命题成立，则，当时，从到时左边需增乘的代数式是．故答案为：.【题目点拨】本题考查数学归纳法的应用，考查推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）；（3）分布列见解析，.【解题分析】

（1）分两类计算：一类是恰有两次成功，另一类是三次均成功；（2）乙小组第四次成功前共进行了6次试验，三次成功三次失败，恰有两次连续失败共有种情况；（3）列出随机变量X的所有可能取值，并求得相应的取值的概率即可得到分布列与期望.【题目详解】（1）记至少两次试验成功为事件A，则，答：甲小组做三次试验，至少两次试验成功的概率为.（2）由题意知，乙小组第四次成功前共进行了6次试验，其中三次成功三次失败，且恰有两次连续失败，共有种情况.记乙小组第四次成功前共有三次失败，且恰有两次连续失败为事件B，则，答：乙小组第四次成功前共有三次失败，且恰有两次连续失败的概率为.（3）X的所有可能取值为0，1，2，3，4.，，，，，所以X的概率分布为：X01234P数学期望.【题目点拨】本题考查独立重复试验的概率、离散型随机变量的分布列、期望，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.18、（1）见解析；（2）见解析.【解题分析】

（1）在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值．平均数的估计值等于频率直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和，这样就可以求出这200名顾客消费金额的中位数与平均数．（2）通过频率分布表可以求“足球迷”与“非足球迷”的人数比，这样可以求出从“足球迷”“非足球迷”中选取5人，其中“足球迷”的人数及“非足球迷”的人数，这样可以求出选取的3人中非足球迷的人数，取值是多少，求出它们相对应的概率，最后列出分布列，算出数学期望．【题目详解】（1）设这200名顾客消费金额的中位数为t，则有，解得所以这200名顾客消费金额的中位数为，这200名顾客消费金额的平均数，所以这200名顾客的消费金额的平均数为3.367万卢布．(2)由频率分布表可知，“足球迷”与“非足球迷”的人数比为，采用分层抽样的方法，从“足球迷”“非足球迷”中选取5人，其中“足球迷”有人，“非足球迷”有人．设为选取的3人中非足球迷的人数，取值为1,2,3.则．分布列为：1230.30.60.1.【题目点拨】本题考查了利用频率分布表求中位数、平均数．考查了求离散型随机变量分布列及数学期望的方法．19、（1）;（2）【解题分析】

（1）由一元二次不等式可解得集合．根据对数的真数大于0可得,将其转化为一元二次不等式可解得集合,从而可得．画数轴分析可得．（2）将是的必要条件转化为．分析可得关于的不等式组,从而可解得的范围．【题目详解】（1）集合，因为．所以函数，由，可得集合．或，故．（2）因为是的必要条件等价于是的充分条件，即，由，而集合应满足>0，因为，故，依题意就有：，即或，所以实数的取值范围是．考点：1集合的运算;2充分必要条件．20、（1）相离；（2）.【解题分析】试题分析：本题考查参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的转化，圆的参数方程的应用以及直线和圆的位置关系的判断．（1）把直线、曲线方程化为直角坐标方程后根据圆心到直线的距离和半径的关系判断即可．（2）利用圆的参数方程，根据点到直线的距离公式和三角函数的知识求解．试题解析：（1）由，消去得直线的普通方程为：由，得.∴，即.化为标准方程得：.∴圆心坐标为，半径为1，∵圆心到直线的距离，∴直线与曲线相离.（2）由为曲线上任意一点，可设，则，∵,∴∴的取值范围是.21、（1）（2）【解题分析】

根据公式解出即可．写出，再分组求