江苏省丹阳中学等三校2024届高二数学第二学期期末考试试题含解析

江苏省丹阳中学等三校2024届高二数学第二学期期末考试试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知顶点在轴上的双曲线实轴长为4，其两条渐近线方程为，该双曲线的焦点为（）A． B． C． D．2．已知函数,，若对,，使成立，则实数的取值范围是()A． B． C． D．3．若身高和体重的回归模型为，则下列叙述正确的是（）A．身高与体重是负相关 B．回归直线必定经过一个样本点C．身高的人体重一定时 D．身高与体重是正相关4．定义在上的偶函数的导函数为,若对任意的正实数,都有恒成立,则使成立的实数的取值范围为(

)A． B． C． D．5．若函数的导函数的图象如图所示，则的图象有可能是（）A． B．C． D．6．名同学参加班长和文娱委员的竞选，每个职务只需人，其中甲不能当文娱委员，则共有（）种不同结果（用数字作答）A． B． C． D．7．设i是虚数单位，则复数的虚部是（）A． B．2 C． D．8．具有线性相关关系的变量，，满足一组数据如表所示，与的回归直线方程为，则的值为（）A． B． C． D．9．《数学统综》有如下记载：“有凹钱，取三数，小小大，存三角”.意思是说“在凹（或凸）函数（函数值为正）图象上取三个点，如果在这三点的纵坐标中两个较小数之和最大的数，则存在将这三点的纵坐标值作为三边长的三角形”.现已知凹函数，在上取三个不同的点，均存在为三边长的三角形，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．10．设集合，则（）A． B． C． D．11．若均为第二象限角，满足，，则（）A． B． C． D．12．抛物线的焦点为,过点的直线交抛物线于、两点，点为轴正半轴上任意一点，则（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．小明玩填数游戏：将1，2，3，4四个数填到的表格中，要求每一行每一列都无重复数字。小明刚填了一格就走开了（如右图所示），剩下的表格由爸爸完成，则爸爸共有_______种不同的填法.（结果用数字作答）114．若点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值为____________15．已知幂函数的图象经过点，则实数α的值是_______.16．已知为数字0，1，2，…，9的一个排列，满足，且，则这样排列的个数为___（用数字作答）．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某技术人员在某基地培育了一种植物,一年后,该技术人员从中随机抽取了部分这种植物的高度(单位:厘米)作为样本(样本容量为)进行统计,绘制了如下频率分布直方图,已知抽取的样本植物高度在内的植物有8株,在内的植物有2株.(Ⅰ)求样本容量和频率分布直方图中的,的值;(Ⅱ)在选取的样本中,从高度在内的植物中随机抽取3株,设随机变量表示所抽取的3株高度在内的株数,求随机变量的分布列及数学期望;(Ⅲ)据市场调研,高度在内的该植物最受市场追捧.老王准备前往该基地随机购买该植物50株.现有两种购买方案,方案一:按照该植物的不同高度来付费,其中高度在内的每株10元,其余高度每株5元;方案二:按照该植物的株数来付费,每株6元.请你根据该基地该植物样本的统计分析结果为决策依据,预测老王采取哪种付费方式更便宜?18．（12分）命题：函数的两个零点分别在区间和上；命题：函数有极值.若命题，为真命题的实数的取值集合分别记为，.（1）求集合，；（2）若命题“且”为假命题，求实数的取值范围.19．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）；以直角坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求的普通方程和的直角坐标方程；（2）若与交于点，求线段的长．20．（12分）在平面直角坐标系中,设向量,.(1)当时,求的值；(2)若，且.求的值.21．（12分）在中，角的对边分别为，且．（1）求角的大小；（2）若函数图象的一条对称轴方程为且，求的值．22．（10分）已知，椭圆C过点，两个焦点为，，E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，直线EF的斜率为，直线l与椭圆C相切于点A，斜率为．求椭圆C的方程；求的值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

由双曲线实轴长为4可知由渐近线方程，可得到然后利用即可得到焦点坐标．【题目详解】由双曲线实轴长为4可知由渐近线方程，可得到即所以又双曲线顶点在轴上，所以焦点坐标为．【题目点拨】本题考查了双曲线的几何性质，渐近线方程，属于基础题．2、A【解题分析】由题意得“对,，使成立”等价于“”．∵，当且仅当时等号成立．∴．在中，由，解得．令，则，（其中）．∴．由，解得，又，故，∴实数的取值范围是．选A．点睛：（1）对于求或型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便．形如的函数只有最小值，形如的函数既有最大值又有最小值．（2）求函数的最值时要根据函数解析式的特点选择相应的方法，对于含有绝对值符号的函数求最值时，一般采用换元的方法进行，将问题转化为二次函数或三角函数的问题求解．3、D【解题分析】

由线性回归直线方程可得回归系数大于0，所以正相关，且经过样本中心，且为估计值，即可得到结论．【题目详解】可得，可得身高与体重是正相关，错误，正确；回归直可以不经过每一个样本点，一定过样本中心点，，故错误；若，可得，即体重可能是，故错误．故选．【题目点拨】本题考查线性回归中心方程和运用，考查方程思想和估计思想，属于基础题．4、A【解题分析】

分析：构造新函数，利用导数确定它的单调性，从而可得题中不等式的解．详解：设，则，由已知当时，，∴在上是减函数，又∵是偶函数，∴也是偶函数，，不等式即为，即，∴，∴，即．故选A．点睛：本题考查用导数研究函数的单调性，然后解函数不等式．解题关键是构造新函数．新函数的结构可结合已知导数的不等式和待解的不等式的形式构造．如，，，等等．5、C【解题分析】分析：先根据导函数的图象确定导函数大于0的范围和小于0的x的范围，进而根据当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减确定原函数的单调增减区间．详解：由的图象易得当时

故函数在区间上单调递增；

当时，f'（x）＜0，故函数在区间上单调递减；

故选：C．点睛：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．6、B【解题分析】

先安排甲以外的一人担任文娱委员，再从剩下的3人选一人担任班长即可．【题目详解】先从甲以外的三人中选一人当文娱委员，有3种选法，再从剩下的3人选一人担任班长，有3种选法，故共有种不同结果．故选：B.【题目点拨】本题主要考查分步乘法计数原理的应用,属于基础题.7、B【解题分析】

利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，可得出复数的虚部.【题目详解】，因此，该复数的虚部为，故选B.【题目点拨】本题考查复数的概念，考查复数虚部的计算，解题的关键就是利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，考查计算能力，属于基础题.8、A【解题分析】

将数据的中心点计算出来，代入回归方程，计算得到答案.【题目详解】中心点为：代入回归方程故答案选A【题目点拨】本题考查了回归方程过中心点的知识，意在考查学生的计算能力.9、A【解题分析】

由题意，三点的纵坐标中两个较小数之和小于等于2，可得m2﹣m+2≤2，即可得出结论．【题目详解】易知，所以，在上的最小值为.由题意可知，当，∴或，，故选A.【题目点拨】本题考查新定义，考查学生转化问题的能力，正确转化是关键．10、B【解题分析】分析：首先求得A,B，然后进行交集运算即可.详解：求解函数的定义域可得：，由函数的定义域可得：，结合交集的定义可知：.本题选择B选项.点睛：本题主要考查函数定义域的求解，交集的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11、B【解题分析】

利用同角三角函数的基本关系求得cosα和sinβ的值，两角和的三角公式求得cos（α+β）的值．【题目详解】解：∵sinα，cosβ，α、β均为第二象限角，∴cosα，sinβ，∴cos（α+β）＝cosαcosβ-sinαsinβ•（），故答案为B【题目点拨】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的余弦公式，属于基础题．12、B【解题分析】

分析：设，则，由利用韦达定理求解即可.详解：设，的焦点，设过点的直线为，，，，，故选B.点睛：本题主要考查平面向量数量积公式、平面向量的运算、直线与抛物线的位置关系，意在考查综合运用所学知识解决问题的能力，考查转化与划归思想以及计算能力，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、144【解题分析】分析：依据题意已经放好一个数字，为了满足要求进行列举出结果详解：第一行将数字填入表格有种可能，然后将数字填入表格有种可能；那么第二行每个数字分别有、、、种可能；根据题意每一行每一列都无重复数字，所以第三行只有种可能，第四行每个数字都只有一种情况，所以一共有点睛：本题考查了排列组合，在解答题目时按照题意采取了列举法，分别考虑每一行的情况，然后再进行排列，在解题时注意是否存在重复的情况。14、【解题分析】

因为点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值是过点P的切线与直线平行的时候，则，即点（1，1）那么可知两平行线间的距离即点（1，1）到直线的距离为15、【解题分析】

由幂函数的定义，把代入可求解.【题目详解】点在幂函数的图象上，，，故答案为：【题目点拨】本题考查幂函数的定义.幂函数的性质:(1)幂函数在上都有定义；(2)幂函数的图象过定点；(3)当时，幂函数的图象都过点和，且在上单调递增；(4)当时，幂函数的图象都过点，且在上单调递减；(5)当为奇数时，幂函数为奇函数；当为偶数时，幂函数为偶函数．16、3456【解题分析】

先计算总和为45，将相加为15的3数组罗列出来，计算每个选法后另外一组的选法个数，再利排列得到答案.【题目详解】0，1，2，…，9所有数据之和为45相加为15的3数组有：当选择后，可以选择，，3种选择同理可得：分别有3，3，3，2，3，1，2，3，3，1共24种选择选定后只有一种排列有种排列有种排列共有中选择.故答案为3456【题目点拨】本题考查了排列组合的计算，将和为15的数组罗列出来是解题的关键.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ),，；(Ⅱ)分布列见解析，；(Ⅲ)方案一付费更便宜.【解题分析】

(Ⅰ)由题目条件及频率分布直方图能求出样本容量n和频率分布直方图中的x，y．(Ⅱ)由题意可知，高度在[80，90）内的株数为5，高度在[90，100]内的株数为2，共7株．抽取的3株中高度在[80，90）内的株数X的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．(Ⅲ)根据(Ⅰ)所得结论，分别计算按照方案一购买应付费和按照方案二购买应付费，比较结果即可得按照方案一付费更便宜.【题目详解】(Ⅰ)由题意可知，样本容量,，.(Ⅱ)由题意可知,高度在[80,90)内的株数为5,高度在[90,100]内的株数为2，共7株.抽取的3株中高度在[80,90)内的株数X的可能取值为1,2,3,则，，,∴X的分布列为：X123P故.(Ⅲ)根据(Ⅰ)所得结论，高度在内的概率为，按照方案一购买应付费元，按照方案二购买应付费元，故按照方案一付费更便宜.【题目点拨】本题考查频率分布直方图、分布列和数学期望，考查能否根据频率分布直方图得出每一组的概率以及一组的数据计算总体，求随机变量的分布列的主要步骤：①明确随机变量的取值，并确定随机变量服从何种概率分布；②求每一个随机变量取值的概率；③列成表格，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，属于中等题.18、（1），或；（2）或【解题分析】

（1）通过函数的零点，求解的范围；利用函数的极值求出的范围，即可．（2）利用复合函数的真假推出两个命题的真假关系，然后求解即可．【题目详解】（1）命题：函数的两个零点分别在区间和上；可得：，解得命题：函数有极值，由2个不相等的实数根，所以，可得或．命题，为真命题的实数的取值集合分别记为，．所以集合，或；（2）命题“且”为假命题，可知两个命题至少1个是假命题，当“且”为真命题时，实数的取值范围为集合，“且”为假命题时，实数的取值范围为或．【题目点拨】本题考查命题的真假的判断与应用，函数的零点以及函数的导数的应用，考查计算能力．19、（1），；（2）【解题分析】分析：（1）消去参数，即可得到曲线的普通方程；根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解曲线的直角坐标方程；（2）由（1）得圆的圆心为，半径为，利用圆的弦长公式，即可求解．详解：（1），．（2）圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离为．所以．点睛：本题主要考查了参数方程与普通方程，以及极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线与圆的位置关系的应用，其中熟记参数方程与普通方程，以及极坐标方程与直角坐标方程的互化是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．20、（1）；（2）．【解题分析】分析：(1)直接带入即可(2)利用向量数量积打开后再利用二倍角公式变形化同名详解：(1)当时，，，所以.(2)，若.则，即.因为，所以，所以，所以.点睛：三角函数跟向量的综合是高考当中的热点问题，常常需要利用二倍角公式的逆用对得到的函数关系式进行化简，最终化简为的形式.21、（1）（2）【解