北京东城区2024届高二数学第二学期期末质量跟踪监视模拟试题含解析

北京东城区2024届高二数学第二学期期末质量跟踪监视模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设，若，则=（）A． B． C． D．2．已知定圆，，定点，动圆满足与外切且与内切，则的最大值为（）A． B． C． D．3．已知椭圆的右焦点为．短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．4．袋中装有完全相同的5个小球，其中有红色小球3个，黄色小球2个，如果不放回地依次摸出2个小球，则在第一次摸出红球的条件下，第二次摸出红球的概率是（）A．310B．35C．15．“人机大战，柯洁哭了，机器赢了”，2017年5月27日，19岁的世界围棋第一人柯洁0:3不敌人工智能系统AlphaGo，落泪离席.许多人认为这场比赛是人类的胜利，也有许多人持反对意见，有网友为此进行了调查.在参与调查的2600男性中，有1560人持反对意见，2400名女性中，有1118人持反对意见.再运用这些数据说明“性别”对判断“人机大战是人类的胜利”是否有关系时，应采用的统计方法是（）A．分层抽样 B．回归分析 C．独立性检验 D．频率分布直方图6．欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，表示的复数位于复平面中的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．直线与曲线所围成的曲边梯形的面积为（）A．9 B． C． D．278．下列关于回归分析的说法中，正确结论的个数为（）（1）回归直线必过样本点中；（2）残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精度越高；（3）残差平方和越小的模型，拟合效果越好；（4）用相关指数来刻画回归效果，越大，说明模型的拟合效果越好．A．4 B．3 C．2 D．19．实验女排和育才女排两队进行比赛，在一局比赛中实验女排获胜的概率是，没有平局.若采用三局两胜制，即先胜两局者获胜且比赛结束，则实验女排获胜的概率等于（）A． B． C． D．10．某班数学课代表给全班同学出了一道证明题.甲说：“丙会证明.”乙说：“我不会证明.”丙说：“丁会证明.”丁说：“我不会证明.”以上四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题.根据以上条件，可以判定会证明此题的人是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁11．在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限12．设函数，则满足的x的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在平面直角坐标系中,已知,,两曲线与在区间上交点为.若两曲线在点处的切线与轴分别相交于两点,则线段的为____________.14．下图三角形数阵为杨辉三角：按照图中排列的规律，第行（）从左向右的第3个数为______（用含的多项式表示）．15．曲线在点处的切线方程为________．16．刘徽是中国古代最杰出的数学家之一，他在中国算术史上最重要的贡献就是注释《九章算术》，刘徽在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”，体现了无限与有限之间转化的思想方法，这种思想方法应用广泛.如数式是一个确定值(数式中的省略号表示按此规律无限重复)，该数式的值可以用如下方法求得：令原式，则，即，解得，取正数得.用类似的方法可得_____________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在三棱锥中，，，为的中点．（1）证明：平面；（2）若点在棱上，且，求点到平面的距离．18．（12分）已知.（1）当时，求的展开式中含项的系数；（2）证明：的展开式中含项的系数为.19．（12分）已知函数，，若且对任意实数均有成立．（1）求表达式；（2）当时，是单调函数，求实数的取值范围．20．（12分）已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若不等式在时恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，证明：．21．（12分）已知函数.（1）当时，求的极值；（2）当时，讨论的单调性；（3）若对任意的，，恒有成立，求实数的取值范围.22．（10分）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线与椭圆C相交于A、B两点，在y轴上是否存在点D，使直线AD与BD关于y轴对称？若存在，求出点D坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

先计算，带入，求出即可。【题目详解】对求导得将带入有。【题目点拨】本题考查函数求导，属于简单题。2、A【解题分析】

将动圆的轨迹方程表示出来：,利用椭圆的性质将距离转化,最后利用距离关系得到最值.【题目详解】定圆，，动圆满足与外切且与内切设动圆半径为，则表示椭圆，轨迹方程为：故答案选A【题目点拨】本题考查了轨迹方程，椭圆的性质，利用椭圆性质变换长度关系是解题的关键.3、A【解题分析】试题分析：设是椭圆的左焦点，由于直线过原点，因此两点关于原点对称，从而是平行四边形，所以，即，，设，则，所以，，即，又，所以，．故选A．考点：椭圆的几何性质．【名师点睛】本题考查椭圆的离心率的范围，因此要求得关系或范围，解题的关键是利用对称性得出就是，从而得，于是只有由点到直线的距离得出的范围，就得出的取值范围，从而得出结论．在涉及到椭圆上的点到焦点的距离时，需要联想到椭圆的定义．4、C【解题分析】试题分析：因为第一次摸到红球的概率为35，则第一次摸出红球且第二次摸出红球的概率为35×考点：1、条件概率；2、独立事件．5、C【解题分析】

根据“性别”以及“反对与支持”这两种要素，符合2×2，从而可得出统计方法。【题目详解】本题考查“性别”对判断“人机大战是人类的胜利”这两个变量是否有关系，符合独立性检验的基本思想，因此，该题所选择的统计方法是独立性检验，故选：C.【题目点拨】本题考查独立性检验适用的基本情形，熟悉独立性检验的基本思想是解本题的概念，考查对概念的理解，属于基础题。6、B【解题分析】,对应点,位于第二象限,选B.7、A【解题分析】直线x=0,x=3,y=0与曲线y=x2所围成的曲边梯形的面积为：.本题选择A选项.8、B【解题分析】

利用回归分析的相关知识逐一判断即可【题目详解】回归直线必过样本点中，故（1）正确残差图中残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精度越高，故（2）错误残差平方和越小的模型，拟合效果越好，故（3）正确用相关指数来刻画回归效果，越大，说明模型的拟合效果越好，故（4）正确所以正确结论的个数为3故选：B【题目点拨】本题考查的是回归分析的相关知识，较简单.9、B【解题分析】试题分析：实验女排要获胜必须赢得其中两局，可以是1,2局，也可以是1,3局，也可以是2,3局.故获胜的概率为:,故选B.考点：独立事件概率计算.10、B【解题分析】如果甲会证明，乙与丁都说了真话，与四人中只有一人说了真话相矛盾，不合题意；排除选项；如果丙会证明，甲乙丁都说了真话，与四人中只有一人说了真话相矛盾，不合题意，排除选项；如果丁会证明，丙乙都说了真话，与四人中只有一人说了真话相矛盾，不合题意，排除选项，故选B.11、B【解题分析】

对复数进行整理化简，从得到其在复平面所对应的点，得到答案.【题目详解】复数，所以复数在复平面对应的点的坐标为，位于第二象限.故选：B.【题目点拨】本题考查复数的乘法运算，考查复数在复平面对应点所在象限，属于简单题.12、A【解题分析】

讨论和两种情况，分别解不等式得到答案.【题目详解】当时，，故，即；当时，，解得，即.综上所述：.故选：.【题目点拨】本题考查了分段函数不等式，分类讨论是常用的数学技巧，需要熟练掌握.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】分析：求出点坐标，然后分别求出和在A处切线方程，即可求出两点坐标详解：由可得，所以又因为所以所以在A点处切线方程为：令解得，所以又因为所以所以在A点处切线方程为：令解得，所以所以线段BC的长度为点睛：熟练记忆导函数公式是解导数题的前提条件，导数的几何意义是在曲线上某一点处的导数就等于该点处切线斜率，是解决曲线切线的关键，要灵活掌握.14、【解题分析】

按照如图排列的规律，第行（）从左向右的第3个数分别为，1,3,6,10,15,21，…找到规律及可求出。【题目详解】按照如图排列的规律，第行（）从左向右的第3个数分别为，1,3,6,10,15,21，…由于，，，，则第行（）从左向右的第3个数为。【题目点拨】本题考查了归纳推理的问题，关键找到规律，属于基础题。15、【解题分析】

求出函数的导数，可得切线的斜率，运用斜截式方程可得切线的方程．【题目详解】曲线y＝（1﹣3a）ex在点（1，1），可得：1＝1﹣3a，解得a＝1，函数f（x）＝ex的导数为f′（x）＝ex，可得图象在点（1，1）处的切线斜率为1，则图象在点（1，1）处的切线方程为y＝x+1，即为x﹣y+1＝1．故答案为：x﹣y+1＝1．【题目点拨】本题考查导数的运用：求切线的方程，正确求导和运用斜截式方程是解题的关键，属于基础题．16、3【解题分析】

根据题干中给出的提示，利用和自身的相似性列出方程求解。【题目详解】由题得，令原式，则，化简为，解得：.故答案为：3【题目点拨】本题考查了知识迁移能力，是一道中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）详见解析（1）．【解题分析】分析：（1）连接，欲证平面，只需证明即可；（1）过点作，垂足为，只需论证的长即为所求，再利用平面几何知识求解即可.详解：（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP=．连结OB．因为AB=BC=，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB==1．由知，OP⊥OB．由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC．（1）作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．故CH的长为点C到平面POM的距离．由题设可知OC==1，CM==，∠ACB=45°．所以OM=，CH==．所以点C到平面POM的距离为．点睛：立体几何解答题在高考中难度低于解析几何，属于易得分题，第一问多以线面的证明为主，解题的核心是能将问题转化为线线关系的证明；本题第二问可以通过作出点到平面的距离线段求解，也可利用等体积法解决.18、（1）84；（2）证明见解析【解题分析】

（1）当时，根据二项展开式分别求出每个二项式中的项的系数相加即可；（2）根据二项展开式，含项的系数为，又，再结合即可得到结论．【题目详解】（1）当时，，的展开式中含项的系数为．（2），，故的展开式中含项的系数为因为，所以项的系数为：.【题目点拨】本题考查二项式定理、二项展开式中项的系数的求法、组合数的计算，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．19、（1）；（2）【解题分析】试题分析：（1）根据可以得到与的关系，将中代换成表示，再根据对任意实数均有成立，列出关于的不等式，求解得到的值，进而得到的值，即可求得的表达式；（2）为二次函数，利用二次函数的单调性与开口方向和对称轴的关系，列出关于的不等关系，求解即可得到实数的取值范围.试题解析：(1）∵,∴．∵，∴，∴，∴．∵恒成立，∴∴∴，从而，∴．(2）．∵在上是单调函数，∴或，解得，或．∴的取值范围为．点睛：本题考查了求导公式求函数的导函数，考查了函数的恒成立问题，一般选用参变量分离法、最值法，数形结合法解决，同时考查了二次函数的单调性问题，二次函数的单调性与开口方向和对称轴有关，试题有一定的综合性，属于中档试题.20、（1）见解析；（2）；（3）见解析【解题分析】分析：（1）求出的导函数，由得增区间，由得减区间，注意在解不等式时要按的值分类讨论；（2）由（1）的结论知当时，，题中不等式成立，而当时，题中不等式不恒成立；（3）时，由（2）知上有，从而，令，然后所有不等式相加可证．详解：(1)∵y＝f(x)－g(x)＝ln(ax＋1)－，y′＝－＝，当a≥1时，y′≥0，所以函数y＝f(x)－g(x)是[0，＋∞)上的增函数；当0<a<1时，由y′>0得x>2，所以函数y＝f(x)－g(x)在上是单调递增函数，函数y＝f(x)－g(x)在上是单调递减函数；(2)当a≥1时，函数y＝f(x)－g(x)是[0，＋∞)上的增函数．所以f(x)－g(x)≥f(0)－g(0)＝1，即不等式f(x)≥g(x)＋1在x∈[0，＋∞)时恒成立，当0<a<1时，函数y＝f(x)－g(x)是上的减函数，存在，使得f(x0)－g(x0)<f(0)－g(0)＝1，即不等式f(x0)≥g(x0)＋1不成立，综上，实数a的取值范围是[1，＋∞)．(3)当a＝1时，由(2)得不等式f(x)>g(x)＋1在x∈(0，＋∞)时恒成立，即ln(x＋1)>，所以，即<[ln(k＋1)－lnk]．所以<(ln2－ln1)，<(ln3－ln2)，<(ln4－ln3)，…，<[ln(n＋1)－lnn]．将上面各式相加得到，＋＋＋…＋<[(ln2－ln1)＋(ln3－ln2)＋(ln4－ln3)＋…＋(ln(n＋1)－lnn)]＝ln(n＋1)＝f(n)．∴原不等式成立．点睛：本题考查用导数研究函数的单调性，研究函数的最值，利用导数证明不等式．在证明函数不等式时，一般要把不等式进行转化，把不等式的证明转化为求函数的最值．另外在函数问题出现与数列求和有关的不等式证明，一般是利用前面小题中的函数结论，在函数的特殊结论中令变量取特殊值后，再结合数列求和的方法进行证明．象本题先赋值后相加．21、（1）极小值，无极大值；（2）参考解析；（3）【解题分析】

试题分析：第一问，将