2024届江西省上饶高二数学第二学期期末统考试题含解析

2024届江西省上饶高二数学第二学期期末统考试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在某次体检中，学号为（）的四位同学的体重是集合中的元素，并满足，则这四位同学的体重所有可能的情况有（）A．55种 B．60种 C．65种 D．70种2．袋中装有完全相同的5个小球，其中有红色小球3个，黄色小球2个，如果不放回地依次摸出2个小球，则在第一次摸出红球的条件下，第二次摸出红球的概率是（）A．310B．35C．13．若，则的大小关系为A． B． C． D．4．函数的递增区间为（）A． B． C． D．5．已知函数，若，则的最大值是（）A． B．- C． D．--6．设集合，集合，则（）A． B． C． D．7．已知为虚数单位，若复数的实部为-2，则（）A．5 B． C． D．138．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（）（附：若随机变量ξ服从正态分布，则，．）A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%9．将4名志愿者分别安排到火车站、轮渡码头、机场工作，要求每一个地方至少安排一名志愿者，其中甲、乙两名志愿者不安排在同一个地方工作，则不同的安排方法共有A．24种 B．30种 C．32种 D．36种10．已知函数，函数有四个不同的零点，从小到大依次为，，，，则的取值范围为（）A． B． C． D．11．在区间上随机取一个数x，的值介于0到之间的概率为（）A． B． C． D．12．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．用反证法证明命题：“定义在实数集上的单调函数的图象与轴至多只有个交点”时，应假设“定义在实数集上的单调函数的图象与轴__________”．14．已知函数在上单调递增，则的取值范围为_______.15．已知为数列的前项和，若且，设，则的值是__________．16．曲线在点处的切线平行于直线，则点的坐标为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），直线与直线平行，且过坐标原点，圆的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线和圆的极坐标方程；（2）设直线和圆相交于点、两点，求的周长．18．（12分）已知二次函数满足，且.（1）求的解析式；（2）设函数，当时，求的最小值；（3）设函数，若对任意，总存在，使得成立，求m的取值范围.19．（12分）已知向量m=(3sin（1）若m⋅n=1（2）记f(x)=m⋅n在ΔABC中角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足(2a-c)20．（12分）已知，，求及的值.21．（12分）已知，均为正实数，求证：.22．（10分）已知：在中，，，分别提角，，所对的边长，.判断的形状；若，，求的面积.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

根据中等号所取个数分类讨论，利用组合知识求出即可.【题目详解】解：当中全部取等号时，情况有种；当中有两个取等号，一个不取等号时，情况有种；当中有一个取等号，两个不取等号时，情况有种；当中都不取等号时，情况有种；共种.故选：D.【题目点拨】本题考查分类讨论研究组合问题，关键是要找准分类标准，是中档题.2、C【解题分析】试题分析：因为第一次摸到红球的概率为35，则第一次摸出红球且第二次摸出红球的概率为35×考点：1、条件概率；2、独立事件．3、A【解题分析】

利用作差比较法判断得解.【题目详解】①，∵，∴，故.②∵，∴，所以a＞ab.综上，故选A.【题目点拨】本题主要考查作差比较法比较实数的大小，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.4、D【解题分析】∵f(x)=lnx−4x+1定义域是{x|x>0}∵当f′(x)>0时,.本题选择D选项.点睛：(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．关键是分离参数k，把所求问题转化为求函数的最小值问题．(2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．5、A【解题分析】

设，可分别用表示，进而可得到的表达式，构造函数，通过求导判断单调性可求出的最大值.【题目详解】设，则,则，，故.令，则，因为时，和都是减函数，所以函数在上单调递减.由于，故时，；时，.则当时，取得最大值，.即的最大值为.故答案为A.【题目点拨】构造函数是解决本题的关键，考查了利用导数研究函数的单调性与最值，考查了学生分析问题、解决问题的能力与计算能力，属于难题.6、B【解题分析】

求解出集合，根据并集的定义求得结果.【题目详解】本题正确选项：【题目点拨】本题考查集合运算中的并集运算，属于基础题.7、C【解题分析】分析：利用复数的除法运算得到，进的得到.详解：由题复数的实部为-2，则故选C.点睛：本题考查复数的除法运算及复数的模，属基础题.8、B【解题分析】试题分析：由题意故选B．考点：正态分布9、B【解题分析】

利用间接法，即首先安排4人到三个地方工作的安排方法数N，再求出当甲、乙两名志愿者安排在同一个地方时的安排方法数n，于是得出答案N-n。【题目详解】先考虑安排4人到三个地方工作，先将4人分为三组，分组有C42种，再将这三组安排到三个地方工作，则安排4人到三个地方工作的安排方法数为当甲、乙两名志愿者安排在同一个地方时，则只有一个分组情况，此时，甲、乙两名志愿者安排在同一个地方工作的安排方法数为n=A因此，所求的不同安排方法数为N-n=36-6=30种，故选：B。【题目点拨】本题考查排列组合综合问题的求解，当问题分类情况较多或问题中带有“至少”时，宜用间接法来考查，即在总体中减去不符合条件的方法数，考查分析问题的能力和计算能力，属于中等题。10、B【解题分析】分析：通过f（x）的单调性，画出f（x）的图象和直线y=a，考虑四个交点的情况，得到x1=-2-x2，-1＜x2≤0，x3x4=4，再由二次函数的单调性，可得所求范围．详解：当x＞0时，f（x）=，可得f（x）在x＞2递增，在0＜x＜2处递减，

由f（x）=e

(x+1)2，x≤0，

x＜-1时，f（x）递减；-1＜x＜0时，f（x）递增，

可得x=-1处取得极小值1，

作出f（x）的图象，以及直线y=a，

可得e

(x1+1)2=e

(x2+1)2=，即有x1+1+x2+1=0，可得x1=-2-x2，-1＜x2≤0，可得x3x4=4，

x1x2+x3x4=4-2x2-x22=-（x2+1）2+5，在-1＜x2≤0递减，

可得所求范围为[4，5）．故选B.点睛：本题考查函数方程的转化思想，以及数形结合思想方法，考查二次函数的最值求法，化简整理的运算能力，属于中档题．11、A【解题分析】因为,若,则,，故选A.12、A【解题分析】

由正视图和侧视图得三棱锥的高，由俯视图得三棱锥底面积，再利用棱锥的体积公式求解即可.【题目详解】由三棱锥的正视图和侧视图得三棱锥的高，由俯视图得三棱锥底面积，所以该三棱锥的体积.故选：A【题目点拨】本题主要考查三视图和棱锥的体积公式，考查学生的空间想象能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、至少有个交点【解题分析】分析：反证法证明命题，只否定结论，条件不变。详解：命题：“定义在实数集上的单调函数的图象与轴至多只有个交点”时，结论的反面为“与轴至少有个交点”。点睛：反证法证明命题，只否定结论，条件不变，至多只有个理解为，故否定为.14、【解题分析】分析：由条件可得①，②，由单调递增的定义可知③，由①②③求得交集即可得到答案详解：函数在上单调递增，时为增，即①时也为增，即有②又由单调递增的定义可知③由②可得由③可得故的取值范围为点睛：本题考查了分段函数的应用，考查了函数的单调性及其应用，助于分段函数的分界点的情况，是一道中档题，也是易错题。15、【解题分析】

根据是等比数列得出，利用数列项与和的关系，求得，从而得出，利用裂项相消法求出答案.【题目详解】由可知，数列是首项为，公比为2的等比数列，所以.时，..时,.【题目点拨】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列通项公式，数列项与和的关系，裂项相消法求和，属于简单题目.16、或【解题分析】

求出函数的导数，令，解出的值，再将的值代入函数的解析式可得出点的坐标.【题目详解】，，令，即，解得，，，因此，点的坐标为或，故答案为：或.【题目点拨】本题考查导数的几何意义，利用切线与直线的位置关系求切点坐标，解题时要利用已知条件得出导数值与直线斜率之间的关系，考查运算求解能力，属于中等题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）直线的极坐标方程为．圆C的极方程为;（2）.【解题分析】

（1）先将直线和圆的参数方程化为普通方程，进而可得其极坐标方程；（2）将直线的极坐标方程代入圆的极坐标方程，可求出关于的方程，由，即可求出结果.【题目详解】（I）因为直线的参数方程为（为参数），所以直线的斜率为1，因为直线与直线平行，且过坐标原点，所以直线的直角坐标方程为，所以直线的极坐标方程为因为圆C的参数方程为（为参数），所以圆C的普通方程为，即，所以圆C的极方程为（Ⅱ）把直线m的极坐标方程代入中得，，所以所以△ABC的周长为【题目点拨】本题主要考查参数方程与极坐标方程，属于基础题型.18、（1）；（2）；（3）【解题分析】

(1)根据二次函数,则可设,再根据题中所给的条件列出对应的等式对比得出所求的系数即可.(2)根据(1)中所求的求得,再分析对称轴与区间的位置关系进行分类讨论求解的最小值即可.(3)根据题意可知需求与在区间上的最小值.再根据对数函数与二次函数的单调性求解最小值即可.【题目详解】(1)设.①∵,∴,又∵,∴,可得,∴解得即.(2)由题意知,,,对称轴为.①当,即时,函数h(x)在上单调递增,即；②当,即时,函数h(x)在上单调递减,在上单调递增,即.综上,(3)由题意可知,∵函数在上单调递增,故最小值为,函数在上单调递减,故最小值为,∴,解得.【题目点拨】本题主要考查利用待定系数法求解二次函数解析式的方法,二次函数对称轴与区间关系求解最值的问题,以及恒成立和能成立的问题等.属于中等题型.19、（1）-（2）(1,【解题分析】试题分析：(1)∵m·n＝1，即3sinx4cosx4＋cos2即32sinx2＋12cosx∴sin(x2＋π6)＝∴cos(2π3－x)＝cos(x－π3)＝－cos(x＋π3)＝－[1－2sin2(＝2·(12)2－1＝－1(2)∵(2a－c)cosB＝bcosC，由正弦定理得(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC.∴2sinAcosB－cosBsinC＝sinBcosC，∴2sinAcosB＝sin(B＋C)，∵A＋B＋C＝π，∴sin(B＋C)＝sinA，且sinA≠0，∴cosB＝12，B＝π3，∴0＜A＜∴π6＜A2＋π6＜π212又∵f(x)＝m·n＝sin(x2＋π6)＋∴f(A)＝sin(x4＋π6)＋故函数f(A)的取值范围是(1，32考点：本题综合考查了向量、三角函数及正余弦定理点评：三角与向量是近几年高考的热门题型,这类题往往是先进行向量运算,再进行三角变换20、，.【解题分析】

计算出的取值范围，判断出的符号，利用同角三角函数的平方关系计算出的值，然后利用半角公式计算出的值.【题目详解】，所以，，且，，，由，得.【题目点拨】本题考查利用同角三角函数的基本关系求值，以及利用半角公式求值，在计算时，首先要考查角的象限，确定所求函数值的符号，再利用相关公式进行计算，考查运算求解能力，属于基础题.21、见证明【解题分析】

方法一：因为，均为正实数，所以由基本不等式可得，，两式相加整理即可；方法二：利用作差法证明【题目详解】解：方法一：因为，均为