2024届河北省唐山市数学高二第二学期期末预测试题含解析

2024届河北省唐山市数学高二第二学期期末预测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设.若函数，的定义域是.则下列说法错误的是（）A．若，都是增函数，则函数为增函数B．若，都是减函数，则函数为减函数C．若，都是奇函数，则函数为奇函数D．若，都是偶函数，则函数为偶函数2．某同学将收集到的6组数据对，制作成如图所示的散点图（各点旁的数据为该点坐标），并由这6组数据计算得到回归直线：和相关系数．现给出以下3个结论：①；②直线恰过点；③．其中正确结论的序号是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③3．由曲线，直线，和轴所围成平面图形的面积为（）A． B． C． D．4．已知与之间的一组数据，则与的线性回归方程必过点（）A． B． C． D．5．为虚数单位，复数的共轭复数是（）A． B． C． D．6．已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．已知定义在上的函数的周期为6，当时，，则（）A． B． C． D．8．下列几种推理中是演绎推理的序号为（）A．由，，，…猜想B．半径为的圆的面积，单位圆的面积C．猜想数列，，，…的通项为D．由平面直角坐标系中，圆的方程为推测空间直角坐标系中球的方程为9．下列有关统计知识的四个命题正确的是（）A．衡量两变量之间线性相关关系的相关系数越接近，说明两变量间线性关系越密切B．在回归分析中，可以用卡方来刻画回归的效果，越大，模型的拟合效果越差C．线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点D．线性回归方程中，变量每增加一个单位时，变量平均增加个单位10．在中，，，，则等于()A．或 B． C．或 D．11．某产品的广告费支出与销售额（单位：万元）之间的关系如下表，由此得到与的线性回归方程为，由此可得：当广告支出5万元时，随机误差的效应（残差）为（）245683040605070A．-10 B．0 C．10 D．2012．已知，则“”是“”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设，若函数有大于零的极值点，则实数的取值范围是_____14．如图，已知中，点M在线段AC上，点P在线段BM上，且满足，若，则的值为__________．15．若函数有零点，则实数的取值范围是___________．16．已知函数，则函数的最大值为_______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知.（I）求的最小值及最大值；（II）设，，，求的最大值.18．（12分）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）为曲线上的动点，点在线段上，且满足，求点的轨迹的直角坐标方程；（2）设点的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值．19．（12分）已知直三棱柱中，，.（1）求直线与平面所成角的大小；（2）求点到平面的距离.20．（12分）已知函数在处有极值.（1）求的解析式.（2）求函数在上的最值.21．（12分）从某工厂的一个车间抽取某种产品50件，产品尺寸（单位：）落在各个小组的频数分布如下表：数据分组频数（1）根据频数分布表，求该产品尺寸落在的概率；（2）求这件产品尺寸的样本平均数；（3）根据频率分布对应的直方图，可以认为这种产品尺寸服从正态分布；其中近似为样本平均值，近似为样本方差，经计算得，利用正态分布，求．22．（10分）设相互垂直的直线，分别过椭圆的左、右焦点，，且与椭圆的交点分别为、和、.（1）当的倾斜角为时，求以为直径的圆的标准方程；（2）问是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

根据题意得出，据此依次分析选项，综合即可得出答案．【题目详解】根据题意可知，，则，据此依次分析选项：对于A选项，若函数、都是增函数，可得图象均为上升，则函数为增函数，A选项正确；对于B选项，若函数、都是减函数，可得它们的图象都是下降的，则函数为减函数，B选项正确；对于C选项，若函数、都是奇函数，则函数不一定是奇函数，如，，可得函数不关于原点对称，C选项错误；对于D选项，若函数、都是偶函数，可得它们的图象都关于轴对称，则函数为偶函数，D选项正确．故选C．【题目点拨】本题考查分段函数的奇偶性与单调性的判定，解题时要理解题中函数的定义，考查判断这些基本性质时，可以从定义出发来理解，也可以借助图象来理解，考查分析问题的能力，属于难题．2、A【解题分析】

结合图像，计算，由求出，对选项中的命题判断正误即可得出结果.【题目详解】由图像可得，从左到右各点是上升排列的，变量具有正相关性，所以，①正确；由题中数据可得:，，所以回归直线过点，②正确；又，③错误.故选A【题目点拨】本题主要考查回归分析，以及变量间的相关性，熟记线性回归分析的基本思想即可，属于常考题型.3、B【解题分析】

利用定积分表示面积，然后根据牛顿莱布尼茨公式计算，可得结果.【题目详解】，故选：B【题目点拨】本题主要考查微积分基本定理，熟练掌握基础函数的导函数以及牛顿莱布尼茨公式，属基础题.4、C【解题分析】

计算出和，即可得出回归直线必过的点的坐标.【题目详解】由题意可得，，因此，回归直线必过点，故选：C.【题目点拨】本题考查回归直线必过的点的坐标，解题时要熟悉“回归直线过样本中心点”这一结论的应用，考查结论的应用，属于基础题.5、B【解题分析】分析：直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可．详解：则复数的共轭复数是.故选C.点睛：本题考查复数的除法的运算法则的应用，复数的基本概念，是基础题．6、D【解题分析】

根据复数的运算法则，化简复数，再利用复数的表示，即可判定，得到答案.【题目详解】由题意，复数，所以复数对应的点位于第四象限.故选D.【题目点拨】本题主要考查了复数的除法运算，以及复数的表示，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简复数为代数形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7、C【解题分析】

根据函数的周期性以及时的解析式结合，可得，利用对数的运算性质，化简可得答案．【题目详解】∵定义在上的函数的周期为6，当时，，又∵，∴，.即，故选C.【题目点拨】本题主要考查利用函数的周期性求函数的值，考查了学生的计算能力，属于中档题.8、B【解题分析】

根据演绎推理、归纳推理和类比推理的概念可得答案.【题目详解】A.是由特殊到一般，是归纳推理.B.是由一般到特殊，是演绎推理.C.是由特殊到一般，是归纳推理.D.是由一类事物的特征，得到另一类事物的特征，是类比推理.故选：B【题目点拨】本题考查对推理类型的判断，属于基础题.9、A【解题分析】分析：利用“卡方”的意义、相关指数的意义及回归分析的适用范围，逐一分析四个答案的真假，可得答案．详解：A.衡量两变量之间线性相关关系的相关系数越接近，说明两变量间线性关系越密切，正确；B.在回归分析中，可以用卡方来刻画回归的效果，越大，模型的拟合效果越差，错误对分类变量与的随机变量的观测值来说，越大，“与有关系”可信程度越大;故B错误；C.线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点，错误，回归直线可能不经过其样本数据点中的任何一个点；D.线性回归方程中，变量每增加一个单位时，变量平均增加个单位，错误，由回归方程可知变量每增加一个单位时，变量平均增加个单位.故选A.点睛：本题考查回归分析的意义以及注意的问题．是对回归分析的思想、方法小结．要结合实例进行掌握.10、D【解题分析】

已知两边及其中一边的对角，求另一边的对角，先由正弦定理求，再求.【题目详解】由正弦定理，可得.由，可得，所以.故选D.【题目点拨】本题考查正弦定理的应用.已知两边及其中一边的对角，由正弦定理求另一边的对角，要注意判断解的个数.11、C【解题分析】

由已知求得的值，得到，求得线性回归方程，令求得的值，由此可求解结论.【题目详解】由题意，根据表格中的数据，可得，所以，所以，取，得，所以随机误差的效应（残差）为，故选C.【题目点拨】本题主要考查了回归直线方程的求解，以及残差的求法，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.12、A【解题分析】

“a＞1”⇒“”，“”⇒“a＞1或a＜0”，由此能求出结果．【题目详解】a∈R，则“a＞1”⇒“”，“”⇒“a＞1或a＜0”，∴“a＞1”是“”的充分非必要条件．故选A．【题目点拨】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

先求导数，求解导数为零的根，结合根的分布求解.【题目详解】因为，所以，令得，因为函数有大于0的极值点，所以，即.【题目点拨】本题主要考查利用导数研究函数的极值点问题，极值点为导数的变号零点，侧重考查转化化归思想.14、-2【解题分析】.,化为,故答案为.15、【解题分析】

变换得到，设，求导得到单调性，画出图像得到答案.【题目详解】由题可知函数的定义域为函数有零点，等价于有实数根，即，设，则.则函数在上单调递增，在上单调递减，且，画出图像，如图所示：根据图像知.故答案为：.【题目点拨】本题考查了利用导数研究零点，参数分离画出图像是解题的关键.16、0【解题分析】

求出函数的导函数，然后利用导数的性质求出函数的最大值.【题目详解】解：由，得，因为，所以，所以在上单调递减，所以的最大值为故答案：0【题目点拨】此题考查函数在闭区间上的最大值的求法，考查导数性质等基础知识，考查运算求解能力和思维能力，考查函数与方程思想，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ），.（Ⅱ）【解题分析】

（I）利用绝对值三角不等式求的最小值及最大值；（II）先利用基本不等式求出，再求解.【题目详解】解：（Ⅰ），，.（Ⅱ）（当且仅当时取等号），，，的最大值为.【题目点拨】本题主要考查绝对值三角不等式的应用，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.18、（1）；（2）【解题分析】

试题分析：（1）设出P的极坐标，然后由题意得出极坐标方程，最后转化为直角坐标方程为；（2）利用（1）中的结论，设出点的极坐标，然后结合面积公式得到面积的三角函数，结合三角函数的性质可得面积的最大值为.试题解析：解：（1）设P的极坐标为（）（＞0），M的极坐标为（）由题设知|OP|=，=.由|OP|=16得的极坐标方程因此的直角坐标方程为.（2）设点B的极坐标为（）.由题设知|OA|=2，，于是△OAB面积当时，S取得最大值.所以△OAB面积的最大值为.点睛:本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.在求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是将其化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.19、（1）；（2）.【解题分析】

（1）根据直三棱柱的性质,可知直线与平面所成角即为,根据即可得解.（2）根据结合三棱锥体积求法即可得点到平面的距离.【题目详解】（1）画出空间几何体如下图所示:因为三棱柱为直三棱柱,所以即为直线与平面所成角因为,所以即直线与平面所成角为（2）因为直三棱柱中,,.所以则,设点到平面的距离为则所以即,解得所以点到平面的距离为【题目点拨】本题考查了直线与平面的夹角,点到平面距离的求法及等体积法的应用,属于基础题.20、(1)(2)最大值为为【解题分析】分析：（1）先求出函数的导数，根据，联立方程组解出的值，即可得到的解析式；（2）求出，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间，利用单调性可得函数的极值，然后求出的值，与极值比较大小即可求得函数的最值.详解：（1）由题意：，又由此得：经验证：∴（2）由（1）知，又所以最大值为为点睛：本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值与最值，属于中档题.求函数极值的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数；(3)解方程求出函数定义域内的所有根；(4)列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值.（5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.21、（1）；（2）；（3）.【解题分析】分析：（1）根据条件得到概率为；（2）由平均数的概念得到数值；（3）结合第二问得到的均值，以条件中所给的得到，S=4.73，由得到结果.详解：（1）根据频数分布表可知，产品尺寸落在内的概率.（2）样本平均数.（3）依题意.而，，则....即为所求.