四川省成都市双流区2024届数学高二下期末达标检测模拟试题含解析

四川省成都市双流区2024届数学高二下期末达标检测模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知是虚数单位，，则计算的结果是（）A． B． C． D．2．已知双曲线的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为A． B． C． D．3．已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数．当x≥0时，f(x)=116x2(0≤x≤2)(12)x(x＞2)，若关于x的方程[f（xA．(-∞,-C．(-124．若双曲线的一条渐近线经过点，则此双曲线的离心率为()A． B． C． D．5．某技术学院安排5个班到3个工厂实习，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，则不同的安排方法共有（）A．60种 B．90种 C．150种 D．240种6．设函数,（）A．3 B．6 C．9 D．127．如图，正方体，则下列四个命题：①点在直线上运动时，直线与直线所成角的大小不变②点在直线上运动时，直线与平面所成角的大小不变③点在直线上运动时，二面角的大小不变④点在直线上运动时，三棱锥的体积不变其中的真命题是（）A．①③ B．③④ C．①②④ D．①③④8．已知函数,，若对,，使成立，则实数的取值范围是()A． B． C． D．9．请观察这些数的排列规律，数字1位置在第一行第一列表示为（1,1），数字14位置在第四行第三列表示为（4,3），根据特点推算出数字2019的位置A．（45,44） B．（45,43）C．（45,42） D．该数不会出现10．函数的极值点所在的区间为（）A． B． C． D．11．函数f(x)=3A． B． C． D．12．体育场南侧有4个大门,北侧有3个大门,某学生到该体育场练跑步,则他进出门的方案有()A．12种 B．7种 C．24种 D．49种二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知双曲线的左顶点和右焦点到一条渐近线的距离之比为1:2，则该双曲线的渐近线方程为_______.14．已知复数z＝，其中i是虚数单位，则z的实部为________．15．某细胞集团，每小时有2个死亡，余下的各个分裂成2个，经过8小时后该细胞集团共有772个细胞，则最初有细胞__________个.16．记为虚数集，设，则下列类比所得的结论正确的是__________．①由，类比得②由，类比得③由，类比得④由，类比得三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）（江苏省南通市高三最后一卷---备用题数学试题）已知函数，其中.（1）当时，求函数处的切线方程；（2）若函数存在两个极值点，求的取值范围；（3）若不等式对任意的实数恒成立，求实数的取值范围.18．（12分）已知.（Ⅰ）计算的值；（Ⅱ）若，求中含项的系数；（Ⅲ）证明：.19．（12分）已知函数在处的导数为0.（1）求的值和的最大值；（2）若实数，对任意，不等式恒成立，求的取值范围.20．（12分）已知函数在点处的切线方程为．（1）求a，b的值；（2）求证：．21．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求和的直角坐标方程；（2）已知直线与轴交于点，且与曲线交于两点，求的值.22．（10分）在新高考改革中，打破文理分科的“（选）”模式：我省实施“”，“”代表语文、数学、外语门高考必考科目，“”是物理、历史两科选一科，这里称之为主选，“”是化学、生物、政治、地理四科选两科，这里称为辅选，其中每位同学选哪科互不影响且等可能.（Ⅰ）甲、乙两同学主选和辅选的科目都相同的概率；（Ⅱ）有一个人的学习小组，主选科目是物理，问：这人中辅选生物的人数是一个随机变量，求的分布列及期望.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

根据虚数单位的运算性质，直接利用复数代数形式的除法运算化简求值．【题目详解】解：，，故选A．【题目点拨】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2、C【解题分析】试题分析：因为双曲线的离心率为,所以,又因为双曲线中,所以,而焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为,所以此双曲线的渐近线方程为,故选C.考点：1、双曲线的离心率；2、双曲线渐近方程.3、B【解题分析】

根据题意，由函数f(x)的解析式以及奇偶性分析可得f(x)的最小值与极大值，要使关于x的方程[f(x)]2+af(x)+b=0，a,b∈R有且只有6个不同实数根，转化为t2+at+b=0必有两个根【题目详解】根据题意，当x≥0时，f(x)=1f(x)在(0,2)上递增，在(2,+∞)上递减，当x=2时，函数当x=0时，函数f(x)取得最小值0，又由函数为偶函数，则f(x)在(-∞,-2)上递增，在当x=-2时，函数f(x)取得极大值14当x=0时，函数f(x)取得最小值0，要使关于x的方程[f(x)]设t=f(x)，则t2+at+b=0必有两个根t1且必有t1=14，y=0<t2<14，y关于x的方程[f(x)]可得1又由-a=t则有-12<a<-【题目点拨】函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数y=f(x)-g(x)的零点⇔函数y=f(x)-g(x)在x轴的交点⇔方程f(x)-g(x)=0的根⇔函数y=f(x)与y=g(x)的交点.4、D【解题分析】因为双曲线的一条渐近线经过点（3，-4），故选D.考点：双曲线的简单性质【名师点睛】渐近线是双曲线独特的性质，在解决有关双曲线问题时，需结合渐近线从数形结合上找突破口.与渐近线有关的结论或方法还有：（1）与双曲线共渐近线的可设为；（2）若渐近线方程为，则可设为；（3）双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长；（4）的一条渐近线的斜率为.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．另外解决不等式恒成立问题关键是等价转化，其实质是确定极端或极限位置.5、C【解题分析】

先将5人分成3组，3，1，1和2，2，1两种分法，再分配，应用排列组合公式列式求解即可.【题目详解】将5个班分成3组，有两类方法：（1）3，1，1，有种；（2）2，2，1，有种.所以不同的安排方法共有种.故选C.【题目点拨】本题主要考查了排列组合的实际应用问题：分组分配，注意此类问题一般要先分组再分配（即为排列），属于基础题.6、C【解题分析】.故选C.7、D【解题分析】

①由与平面的位置关系判断直线与直线所成角的大小变化情况；②考虑与平面所成角的大小，然后判断直线与平面所成角的大小是否不变；③根据以及二面角的定义判断二面角的大小是否不变；④根据线面平行的性质以及三棱锥的体积计算公式判断三棱锥的体积是否不变.【题目详解】①如下图，连接，因为，所以平面，所以，所以直线与直线所成角的大小不变；②如下图，连接，记到平面的距离为，设正方体棱长为，所以，所以，又因为，所以，所以与平面所成角的正弦值为：，又因为，所以，所以所以与平面所成角的正弦值为：，显然，所以直线与平面所成角的大小在变化；③因为，所以四点共面，又在直线上，所以二面角的大小不变；④因为，平面，平面，所以平面，所以当在上运动时，点到平面的距离不变，所以三棱锥的体积不变.所以真命题有：①③④.故选：D.【题目点拨】本题考查空间中点、线、面的位置关系的判断，难度一般.(1)已知直线平行平面，则该直线上任意一点到平面的距离都相等；(2)线面角的计算方法：<1>作出线段的射影，计算出射影长度，利用比值关系即可求解线面角的大小；<2>计算线段在平面外的一个端点到平面的距离，该距离比上线段长度即为线面角的正弦.8、A【解题分析】由题意得“对,，使成立”等价于“”．∵，当且仅当时等号成立．∴．在中，由，解得．令，则，（其中）．∴．由，解得，又，故，∴实数的取值范围是．选A．点睛：（1）对于求或型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便．形如的函数只有最小值，形如的函数既有最大值又有最小值．（2）求函数的最值时要根据函数解析式的特点选择相应的方法，对于含有绝对值符号的函数求最值时，一般采用换元的方法进行，将问题转化为二次函数或三角函数的问题求解．9、C【解题分析】

由所给数的排列规律得到第行的最后一个数为，然后根据可推测2019所在的位置．【题目详解】由所给数表可得，每一行最后一个数为，由于，，所以故2019是第45行的倒数第4个数，所以数字2019的位置为（45,42）．故选C．【题目点拨】（1）数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识．（2）解决归纳推理问题的基本步骤①发现共性，通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)；②归纳推理，把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题(猜想)．10、A【解题分析】

求出导函数，然后运用函数零点存在性定理进行验证可得所求区间．【题目详解】∵，∴，且函数单调递增．又，∴函数在区间内存在唯一的零点，即函数的极值点在区间内．故选A．【题目点拨】本题考查函数零点存在性定理的应用，解答本题时要弄清函数的极值点即为导函数的零点，同时还应注意只有在导函数零点左右两侧的函数值变号时，该零点才为极值点，否则导函数的零点就不是极值点．11、B【解题分析】

取特殊值排除得到答案.【题目详解】f(x)=3x故答案选B【题目点拨】本题考查了函数图像的判断，特殊值可以简化运算.12、D【解题分析】第一步，他进门，有7种选择；第二步，他出门，有7种选择．根据分步乘法计数原理可得他进出门的方案有7×7＝49(种)．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

利用已知条件求出双曲线的左顶点和右焦点坐标，写出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式以及题的条件，列出方程得到的关系，然后求出双曲线的渐近线方程.【题目详解】双曲线的左顶点，右焦点，渐近线方程为，根据题意可得，整理得，因为，所以，所以，所以其渐近线方程为：，故答案是：.【题目点拨】该题考查的是有关双曲线的渐近线的问题，涉及到的知识点有双曲线的性质，点到直线的距离，属于简单题目.14、【解题分析】分析：先化简复数z＝,再确定复数z的实部.详解：由题得z＝=，所以复数z的实部为，故答案为.点睛：(1)本题主要考查复数的运算和复数的实部的概念，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本运算能力.(2)复数的实部是a,虚部为b，不是bi.15、7.【解题分析】

设开始有细胞a个，利用细胞生长规律计算经过1小时、2小时后的细胞数，找出规律，得到经过8小时后的细胞数，根据条件列式求解.【题目详解】设最初有细胞a个，因为每小时有2个死亡，余下的各个分裂成2个，所以经过1个小时细胞有，经过2个小时细胞有=，······经过8个小时细胞有，又，所以，，.故答案为7.【题目点拨】本题考查等比数列求和公式的应用，找出规律、构造数列是解题关键，考查阅读理解能力及建模能力，属于基础题.16、③【解题分析】分析：在数集的扩展过程中，有些性质是可以传递的，但有些性质不能传递，因此，要判断类比的结果是否正确，关键是要在新的数集里进行论证，当然要想证明一个结论是错误的，也可直接举一个反例，要想得到本题的正确答案，可对3个结论逐一进行分析，不难解答．详解：A：由a•b∈R，不能类比得x•y∈I，如x=y=i，则xy=﹣1∉I，故①不正确；B：由a2≥1，不能类比得x2≥1．如x=i，则x2＜1，故②不正确；C：由（a+b）2=a2+2ab+b2，可类比得（x+y）2=x2+2xy+y2．故③正确；D：若x，y∈I，当x=1+i，y=﹣i时，x+y＞1，但x，y是两个虚数，不能比较大小．故④错误故4个结论中，C是正确的．故答案为：③．点睛：类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．但类比推理的结论不一定正确，还需要经过证明．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1).(2).(3).【解题分析】

（1）首先将代入函数解析式，求出函数的导数，求出函数的切线的斜率，利用点斜式写出直线的方程，化简求得结果；（2）求出函数的导数，利用函数存在两个极值点，是方程的两个不等正根，韦达定理得到关系，将化为关于的函数关系式，利用导数求得结果；（3）将恒成立问题应用导数来研究，分类讨论，求得结果.【题目详解】（1）当时，，故，且，故所以函数在处的切线方程为（2）由，可得因为函数存在两个极值点，所以是方程的两个不等正根，即的两个不等正根为所以，即所以令，故，在上单调递增，所以故得取值范围是（3）据题意，对任意的实数恒成立，即对任意的实数恒成立.令，则①若，当时，，故符合题意；②若，（i）若，即，则，在上单调赠所以当时，，故符合题意；（ii）若，即，令，得（舍去），，当时，，在上单调减；当时，，在上单调递增，所以存在，使得，与题意矛盾，所以不符题意.③若，令，得当时，，在上单调增；当时，，在上单调减.首先证明：要证：，即要证：，只要证：因为，所以，故所以其次证明，当时，对任意的都成立令，则，故在上单调递增，所以，则所以当时，对任意的都成立所以当时，即，与题意矛盾，故不符题意，综上所述，实数的取值范围是.【题目点拨】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有导数的几何意义，应用导数研究函数的极值点，应用导数研究不等式恒成立问题，涉及到的解题思想是分类讨论，注意思路清晰是解题的关键.18、（Ⅰ）-2019；（Ⅱ）196；（Ⅲ）详见解析.【解题分析】

（Ⅰ）由于，代入-1即可求得答案;（Ⅱ）由于，利用二项式定理即可得到项的系数；（Ⅲ）可设，找出含项的系数，利用错位相减法数学思想两边同时乘以，再找出含项的系数，于是整理化简即可得证.【题目详解】解：（Ⅰ）∵，∴；∴；（Ⅱ），中项的系数为；（Ⅲ）设（且）①则函数中含项的系数为，另一方面：由①得：②①-②得：，所以，所以，则中含项的系数为，又因为，，所以，即，所以.【题目点拨】本题主要考查二项式定理的相关应用，意在考查学生对于赋值法的理解，计算能力，分析能力及逻辑推理能力，难度较大.19、（1），的最大值为0.（2）【解题分析】

（1）利用导数计算出，得出的值，然后利用导数求出函数在上的最大值作为函数的最大值；（2）将所求不等式转化为对任意的恒成立，转化为，对的取值范围进行分类讨论，考查函数的单调性，结合求出实数的取值范围．【题目详解】（1），由题意得，，则，经检验满足.因为是偶函数，故只考虑部分的最大值，当时，，又，此时在上单调递减，则，所以的最大值为0.（2）设，只要证，对恒成立，且注意到.，设，，，因为，则，从而对恒成立，则在上单调递增，则，即，①当，即时，，故在上单调递增，于是恒成立；②当，即时，存在，使得时，，即在上递减，从而，不能使恒成立.综上所述：，所以的最大值为.【题目点拨】本题考查导数的计算、利用导数求函数的最值以及利用导数研究函数不等式恒成立问题，对于函数不等式恒成立问题，通常是转化为函数的最值来求解，并通过利用导数分析函数的单调性来得到函数的最值，考查化归与转化思想，属于难题．20、（1），；（2）见解析【解题分析】

（1）计算导函数，结合切线方程，建立等式，计算参数，