2024届重庆市一中数学高二下期末统考试题含解析

2024届重庆市一中数学高二下期末统考试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知点是抛物线的焦点，点为抛物线上的任意一点，为平面上点，则的最小值为（）A．3 B．2 C．4 D．2．已知，是的导数，若的展开式中的系数小于的展开式中的系数，则的取值范围是（）A． B．C． D．3．若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则（）A． B． C． D．4．下列参数方程可以用来表示直线的是（）A．（为参数） B．（为参数）C．（为参数） D．（为参数）5．已知，，，则的大小关系是（）A． B． C． D．6．中国古代儒家提出的“六艺”指:礼､乐､射､御､书､数.某校国学社团预在周六开展“六艺”课程讲座活动,周六这天准备排课六节,每艺一节,排课有如下要求:“乐”与“书”不能相邻,“射”和“御”要相邻,则针对“六艺”课程讲座活动的不同排课顺序共有()A．18种 B．36种 C．72种 D．144种7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A． B． C． D．8．由曲线,直线及轴所围成的平面图形的面积为()A．6 B．4 C． D．9．的值等于（）A．1 B．－1 C． D．10．—个物体的运动方程为其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在5秒末的瞬时速度是（）A．6米秒 B．7米秒 C．8米秒 D．9米秒11．刍薨（），中国古代算术中的一种几何形体，《九章算术》中记载“刍薨者，下有褒有广，而上有褒无广.刍，草也.薨，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱，刍薨字面意思为茅草屋顶”，如图，为一刍薨的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则搭建它（无底面，不考虑厚度）需要的茅草面积至少为（）A．24 B． C．64 D．12．某快递公司的四个快递点呈环形分布（如图所示），每个快递点均已配备快递车辆10辆．因业务发展需要，需将四个快递点的快递车辆分别调整为5,7,14,14辆，要求调整只能在相邻的两个快递点间进行，且每次只能调整1辆快递车辆，则A．最少需要8次调整，相应的可行方案有1种B．最少需要8次调整，相应的可行方案有2种C．最少需要9次调整，相应的可行方案有1种D．最少需要9次调整，相应的可行方案有2种二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知是与的等比中项，则圆锥曲线的离心率是__________．14．在长方体中，，，，二面角的大小是_________（用反三角表示）．15．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中，用图①的三角形形象地表示了二项式系数规律，俗称“杨辉三角形”．现将杨辉三角形中的奇数换成，偶数换成，得到图②所示的由数字和组成的三角形数表，由上往下数，记第行各数字的和为，如，，，，……，则______16．已知正方体的棱长为2，是棱的中点，点在正方体内部或正方体的表面上，且平面，则动点的轨迹所形成的区域面积是______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，直三棱柱的底面为直角三角形，两直角边和的长分别为4和3，侧棱的长为5.（1）求三棱柱的体积；（2）设是中点，求直线与平面所成角的大小.18．（12分）已知函数.（Ⅰ）若，求函数的单调区间；（Ⅱ）若在上恒成立，求实数的取值范围.19．（12分）已知函数.（1）证明：；（2）若对任意的均成立，求实数的最小值.20．（12分）已知函数f(x)=ax2-(a+2)x+(Ⅰ)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(Ⅱ)当a>0时，若f(x)在区间[1,e]上的最小值为-2，求a的取值范围；(Ⅲ)若∀x1，x2∈(0,+∞)，且x121．（12分）某工厂为检验车间一生产线工作是否正常，现从生产线中随机抽取一批零件样本，测量它们的尺寸(单位：)并绘成频率分布直方图，如图所示.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件尺寸服从正态分布，其中近似为零件样本平均数，近似为零件样本方差.(1)求这批零件样本的和的值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(2)假设生产状态正常，求；(3)若从生产线中任取一零件，测量其尺寸为，根据原则判断该生产线是否正常？附：；若，则，，.22．（10分）已知O是平面直角坐标系的原点，双曲线.（1）过双曲线的右焦点作x轴的垂线，交于A、B两点，求线段AB的长；（2）设M为的右顶点，P为右支上任意一点，已知点T的坐标为，当的最小值为时，求t的取值范围；（3）设直线与的右支交于A，B两点，若双曲线右支上存在点C使得，求实数m的值和点C的坐标.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

作垂直准线于点，根据抛物线的定义，得到，当三点共线时，的值最小，进而可得出结果.【题目详解】如图，作垂直准线于点，由题意可得，显然，当三点共线时，的值最小；因为，，准线，所以当三点共线时，，所以.故选A【题目点拨】本题主要考查抛物线上任一点到两定点距离的和的最值问题，熟记抛物线的定义与性质即可，属于常考题型.2、B【解题分析】

由展开式中的系数是，又，所以的展开式中的系数是，得到，继而解得结果．【题目详解】由题意，函数展开式中的系数是，又，所以的展开式中x的系数是，依题意得，解得．故选：B．【题目点拨】本题主要考查了二项式定理的应用，以及导数的计算，其中解答熟记导数的运算公式和二项展开式的通项是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．3、B【解题分析】分析：由题意可知，，然后利用二项式定理进行展开，使之与进行比较，可得结果详解：由题可知：而则故选点睛：本题主要考查了二次项系数的性质，根据题目意思，将转化为是本题关键，然后运用二项式定理展开求出结果4、A【解题分析】

选项A:利用加减消元法消参,并求出的取值范围,即可判断出所表示的图形；选项B：利用加减消元法消参,并求出的取值范围,即可判断出所表示的图形；选项C：利用加减消元法消参,并求出的取值范围即可判断出所表示的图形；选项D：利用同角的三角函数关系式进行消参即即可判断出所表示的图形,最后选出正确答案.【题目详解】选项A:,而,所以参数方程A表示的是直线；选项B：,而,所以参数方程B表示的是射线；选项C：,而,所以参数方程C表示的是线段；选项D：,所以参数方程D表示的是单位圆,故选A.【题目点拨】本题考查了参数方程化为普通方程,并判断普通方程所表示的平面图形,求出每个参数方程中横坐标的取值范围是解题的关键.5、C【解题分析】，故答案选6、D【解题分析】

由排列、组合及简单的计数问题得：由题意可将“射”和“御”进行捆绑看成一个整体，共有种，然后与“礼”、“数”进行排序，共有种，最后将“乐”与“书”插入4个空即可，共有种，再相乘得解．【题目详解】由题意“乐”与“书”不能相邻,“射”和“御”要相邻，可将“射”和“御”进行捆绑看成一个整体，共有种，然后与“礼”、“数”进行排序，共有种，最后将“乐”与“书”插入4个空即可，共有种，由于是分步进行，所以共有种，故选：D.【题目点拨】本题考查排列、组合及简单计数问题，根据问题选择合适的方法是关键，此类问题常见的方法有元素优先法、捆绑法、插空法等，本题属于中等题.7、D【解题分析】由题设中提供的三视图中的图形信息与数据信息可知该几何体是一个底面是边长分别为３,３,４的等腰三角形，高是４的三棱锥，如图，将其拓展成三棱柱，由于底面三角形是等腰三角形，所以顶角的余弦为，则，底面三角形的外接圆的半径，则三棱锥的外接球的半径，其表面积，应选答案D。8、D【解题分析】

先求可积区间，再根据定积分求面积.【题目详解】由,得交点为，所以所求面积为，选D.【题目点拨】本题考查定积分求封闭图形面积，考查基本求解能力，属基本题.9、B【解题分析】

根据复数的计算方法，可得的值，进而可得，可得答案．【题目详解】解：根据复数的计算方法，可得，则，故选：．【题目点拨】本题考查复数的混合运算，解本题时，注意先计算括号内，再来计算复数平方，属于基础题．10、D【解题分析】分析：求出运动方程的导数，据对位移求导即得到物体的瞬时速度，求出导函数在t=3时的值，即为物体在3秒末的瞬时速度详解：∵物体的运动方程为s=1﹣t+t2s′=﹣1+2ts′|t=5=9.故答案为：D.点睛：求物体的瞬时速度，只要对位移求导数即可．11、B【解题分析】茅草面积即为几何体的侧面积，由题意可知该几何体的侧面为两个全等的等腰梯形和两个全等的等腰三角形．其中，等腰梯形的上底长为4，下底长为8，高为；等腰三角形的底边长为4，高为．故侧面积为．即需要的茅草面积至少为．选B．12、D【解题分析】

先阅读题意，再结合简单的合情推理即可得解．【题目详解】（1）A→D调5辆，D→C调1辆，B→C调3辆，共调整：5＋1＋3＝9次，（2）A→D调4辆，A→B调1辆，B→C调4辆，共调整：4＋1＋4＝9次，故选：D【题目点拨】本题考查了阅读能力及简单的合情推理，属中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、或【解题分析】分析：根据等比中项，可求出m的值为；分类讨论m的不同取值时圆锥曲线的不同，求得相应的离心率。详解：由等比中项定义可知所以当时，圆锥曲线为椭圆，离心率当时，圆锥曲线为双曲线，离心率所以离心率为或2点睛：本题考查了数列和圆锥曲线的综合应用，基本概念和简单的分类讨论，属于简单题。14、【解题分析】

根据二面角平面角的定义可知为二面角的平面角，在直角三角形中表示出，进而求得结果.【题目详解】由长方体特点可知：平面又平面，平面，即为二面角的平面角又，，即二面角的大小为：本题正确结果：【题目点拨】本题考查二面角的求解，关键是能够根据二面角平面角的定义确定平面角，将平面角放到直角三角形中来进行求解.15、64.【解题分析】

将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，可得第1次全行的数都为1的是第2行，第2次全行的数都为1的是第4行，…，由此可知全奇数的行出现在2n的行数，即第n次全行的数都为1的是第2n行．126＝27﹣2，故可得．所以第128行全是1，那么第127行就是101010…101，第126行就是11001100…110011，问题得以解决．【题目详解】解：由题意，将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，可得第1次全行的数都为1的是第2行，第2次全行的数都为1的是第4行，…，由此可知全奇数的行出现在2n的行数，即第n次全行的数都为1的是第2n行．126＝27﹣2，故可得第128行全是1，那么第127行就是101010…101，第126行就是11001100…110011，11又126÷4＝31+2，∴S126＝2×31+2＝64，故答案为：64点睛：本题考查归纳推理，属中档题.16、【解题分析】

分别取的中点,并连同点顺次连接,六边形就是所求的动点的轨迹,求出面积即可.【题目详解】如下图所示：分别取的中点,并连同点顺次连接，因为是三角形的中位线,所以平面,平面,同理都平行平面,所以就是所求的动点的轨迹,该正六边形的边长为,所以正六边形的面积为：.故答案为【题目点拨】本题考查了直线与平面平行的判定定理的应用,考查了数学运算能力、空间想象能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）30；（2）.【解题分析】

（1）根据体积公式直接计算；（2）说明就是直线与平面所成角，再计算.【题目详解】（1）根据题意可知，;（2）连接，平面，就是直线与平面所成角，是直角三角形，，且是中点，，,直线与平面所成角的大小.【题目点拨】本题考查柱体的体积公式和直线与平面所成的角，意在考查基本概念和计算求解能力，属于简单题型.18、（Ⅰ）单调递增区间为，单调递减区间为；（Ⅱ）【解题分析】

（1）求出，当时，求出的解即可；（2）所求的问题为在上恒成立，设，，注意，所以在递增满足题意，若存在区间递减，则不满足题意，对分类讨论，求出单调区间即可.【题目详解】（Ⅰ）当时，，则.所以当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（Ⅱ）由，得在上恒成立.设，则.设，①当时，，则在上恒成立，在上单调递增，在恒成立，所以当时，在上恒成立；②当时，令，得或（舍去）.所以当时，，则是上的减函数；当时，，则是上的增函数.所以当时，.因此当时，不恒成立.综上所述，实数的取值范围是.【题目点拨】本题考查函数导数的综合应用，涉及到函数单调性、不等式恒成立，考查分类讨论思想，确定分类标准是解题的关键，属于中档题.19、（1）证明见解析（2）【解题分析】

(1)由可得,再构造函数,分析函数单调性求最值证明即可.(2)根据题意构造函数,再根据的正负分析函数的单调性可知为最大值,进而求得实数的最小值即可.【题目详解】（1）证明：由,得,.设,所以,函数在上单调递增,在单调递减,所以,.又因为（其中）,所以,,所以,成立.（2）解：设,.,,所以,.下面证明当时,成立.,因为,所以,所以.又因为当时,,所以,所以,所以,当时,.故,.所以,的最大值为,所以,的最小值为.【题目点拨】本题主要考查了利用导数证明函数不等式的问题,同时也考查了数列中求最大值项的方法.需要构造数列求解的正负判断,属于难题.20、（I）y=-2；（II）a≥1；（III）0≤a≤8.【解题分析】

(Ⅰ)求出f'(x),由f(1)的值可得切点坐标，求出f'(1)的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(Ⅱ)确定函数的定义域，求导函数，分类讨论，利用导数确定函数的单调性，利用单调性求得函数f(x)在区间[1,e]上的最小值为-2，即可求a的取值范围；(Ⅲ)设g(x)=f(x)+2x，则g(x)=ax2-ax+lnx，对任意x1，x2∈(0,+∞)，x1【题目详解】(Ⅰ)当a=1时，f(x)=x2因为，f(1)=-2，所以切线方程为

y=-2.(Ⅱ)函数f(x)=ax2-(a+2)x+当a>0时，f'(x)=2ax-(a+2)+1令，即f'(x)=2ax2-(a+2)x+1x当0<1a≤1，即a≥1时，f(x)所以f(x)在[1,e]上的最小值是f(1)=-2；当1<1a<e时，f(x)在[1,e]当1a≥e时，f(x)在所以f(x)在[1,e]上的最小值是f(e)<f(1)=-2，不合题意.综上可得

a≥1.(Ⅲ)设g(x)=f(x)+2x，则g(x)=ax2-ax+lnx，对任意x1，x2∈(0,+∞)，而g'(x)=2ax-a+1当a=0时，g'(x)=1x>0，此时g(x)当a≠0时，只需在(0,+∞)恒成立，因为x∈(0,+∞)，只要2ax2-ax+1≥0，则需要对于函数y=2ax2-ax+1，过定点(0,1)，对称轴综上可得

0≤a≤8.【题目点拨】本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能