宝山区高三下学期二模考试数学试题

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精上海市宝山区2020届高三二模数学试卷一：填空题（本大题共12题,1-6每题4分,7—12每题5分，共54分）1。已知复数z满足（其中，i为虚数单位),则______.【答案】【解析】【分析】根据复数乘方运算法则可得结果.【详解】因为，所以,故答案为：【点睛】本题考查了复数的乘方运算公式，属于基础题。2.函数的定义域是______。【答案】【解析】【分析】根据反正弦函数的定义域列不等式可解得结果.【详解】由得，所以函数的定义域是。故答案为：【点睛】本题考查了反正弦函数的定义域,属于基础题。3。计算行列式的值，______.【答案】【解析】【分析】根据行列式的计算公式计算可得答案。【详解】,故答案为:【点睛】本题考查了二阶行列式的计算，属于基础题。4。已知双曲线C:（，）的实轴与虚轴长度相等，则C:（，）的渐近线方程是______。【答案】【解析】【分析】根据实轴与虚轴的定义可得，根据双曲线的渐近线方程可得答案。【详解】依题意得，即,所以C:（,)的渐近线方程是。故答案为：【点睛】本题考查了双曲线的实轴，虚轴,渐近线，属于基础题。5。已知无穷数列，，则数列的各项和为______.【答案】【解析】【分析】用定义可得数列是首项为，公比为的等比数列，利用公式计算可得答案.【详解】因为,所以,，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以数列的各项和为。故答案为：【点睛】本题考查了无穷等比数列各项和的公式，属于基础题。6.一个圆锥的表面积为,母线长为，则其底面半径为______。【答案】【解析】【分析】设圆锥的底面半径为，根据可解得结果.【详解】设圆锥的底面半径为,则底面周长为，底面积为，侧面展开图扇形的半径为，弧长为，扇形的面积为，所以,解得。故答案为：【点睛】本题考查了圆锥的表面积，考查了扇形的面积公式,属于基础题.7。某种微生物的日增长率r,经过n天后其数量由变化为p，并且满足方程，实验检测，这种微生物经过一周数量由2。58个单位增长到14。86个单位，则增长率______.(精确到)【答案】【解析】【分析】依题意列出方程，改为对数式后，利用计算器可解得结果.【详解】依题意有，所以,所以,所以.故答案为:【点睛】本题考查了指数式化对数式,考查了利用计算器求近似值,属于基础题.8.已知的展开式的常数项为第6项，则常数项为______.【答案】【解析】【分析】根据第6项为常数项，由通项公式可得，再由通项公式即可解得结果。【详解】由通项公式得=为常数项，所以,即,所以。故答案为：【点睛】本题考查了二项展开式的通项公式的应用，属于基础题.9。某医院从3名男医生和2名女医生中任选2位赴武汉抗疫，则选出的2位医生中至少有1位女医生的概率是______.【答案】【解析】【分析】记3名男医生分别为,2名女医生分别为，利用列举法列出所有基本事件，得到所有基本事件的种数和所求事件包含的基本事件个数，再利用古典概型的概率公式计算可得结果.【详解】记3名男医生分别为,2名女医生分别为，则从3名男医生和2名女医生中任选2位赴武汉抗疫的所有基本事件为：,，,，，，，，,共10种，其中至少有1位女医生的有，，，，，，共7种，根据古典概型的概率公式可得选出的2位医生中至少有1位女医生的概率是.故答案为：.【点睛】本题考查了利用列举法求古典概型的概率，使用列举法是解题关键，属于基础题。10。已知方程（）的两个虚根是,，若，则______。【答案】【解析】【分析】根据虚根成对定理可设，，代入可解得,根据韦达定理可得，，将代入可解得，.【详解】因为方程（）的两个虚根是，，所以，解得，由虚根成对定理可设,，所以，，因为，所以，所以,所以，所以，所以,所以，满足，故答案为：。【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对定理,考查了韦达定理,复数的模长公式，属于基础题.11.已知O是坐标原点，点，若点为平面区域上的一个动点，则的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】因为，令目标函数为,作出可行域，根据图形得到最优解即可得到结果.【详解】因为，令目标函数为,作出可行域,如图：由图可知，最小值最优解为，最大值最优解为，所以，即的取值范围是。故答案为：【点睛】本题考查了平面向量的数量积的坐标表示，考查了线性规划求函数的最值，属于基础题.12。已知平面向量满足，，，，则的最小值为_____【答案】-4【解析】【分析】设,，，由,可求，再代入，可得，由此表示出,从而可求出最小值。【详解】设,，，由，得：，又，则，解得：，,故的最小值为—4。故答案为：—4.【点睛】本题考查平面向量的坐标表示,考查了向量在几何中的应用，建立坐标系表示出每个向量是常用的基本手段，属中档题。二.选择题（本大题共4题,每题5分，共20分）13.抛物线的准线方程是（）A。 B. C. D。【答案】D【解析】【分析】将抛物线方程化标准形式，可得，进一步可得准线方程。【详解】由可得,所以，所以准线方程为。故选:D【点睛】本题考查了抛物线方程的标准形式,考查了抛物线的准线方程，属于基础题。14.设函数的图象关于直线对称，则的值为（)A. B. C。1 D。—1【答案】C【解析】【分析】根据对称轴可知，代入可求得结果.【详解】关于直线对称，则经检验，满足题意,本题正确选项:【点睛】本题考查函数对称性的应用,在已知对称轴的情况下，通常采用特殊值的方式来进行求解。15.用数学归纳法证明,成立.那么,“当时,命题成立”是“对时，命题成立"(）A。充分不必要 B.必要不充分 C。充要 D.既不充分也不必要【答案】B【解析】【分析】根据必要不充分条件的定义可得结论。【详解】“当时，命题成立”不能推出“对时，命题成立”，“对时，命题成立”可以推出“当时,命题成立”，所以“当时，命题成立”是“对时，命题成立”的必要不充分/故选：B【点睛】本题考查了必要不充分条件的概念，关键是掌握必要不充分条件的概念,属于基础题.16.已知是定义在R上的奇函数，对任意两个不相等的正数，都有，则函数（)A。是偶函数,且在上单调递减 B。是偶函数,且在上单调递增C.是奇函数，且单调递减 D。是奇函数，且单调递增【答案】A【解析】【分析】利用是定义在R上的奇函数,根据偶函数的定义可得为偶函数，设，则，根据可得，所以,根据定义可得函数在上单调递减.【详解】因为是定义在R上的奇函数，所以，所以当时，,当时，，所以时,恒有,即为偶函数，当时，，设，则，由可知,则，因为，所以,又，所以，即，由减函数的定义可知，函数在上单调递减.故选：A【点睛】本题考查了利用定义判断函数奇偶性，考查了利用定义判断函数的单调性，属于基础题。三。解答题（本大题共5题，共76分)17.如图，在直三棱柱中，,，D是的中点.(1）若三棱柱的体积为，求三棱柱的高（2）若，求二面角的大小【答案】(1）6（2)【解析】【分析】(1)求出底面积后,根据棱柱的体积公式可求得棱柱的高；（2)以C为原点，为x轴，为y轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用平面的法向量可求得结果。【详解】(1）由题意,求得，所以，由，解得（2）以C为原点，为x轴，为y轴，为轴,建立如图所示的坐标系：则，，，，，设平面的法向量为，则由得，取,则，,所以，平面的一个法向量为,平面的一个法向量为,记二面角为，则，所以。【点睛】本题考查了棱柱的体积公式,考查了二面角的向量求法，正确建立空间直角坐标系是求二面角的关键，属于中档题。18。已知函数，，,，它们的最小正周期为（1）若是奇函数，求和在上的公共递减区间D（2）若的一个零点为，求的最大值【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据周期求出，根据是奇函数，求出，再求出和在上的递减区间，然后求其交集即可得到结果；(2)将点代入，可得，再化简得，可得最大值.【详解】（1）由，以及得,又是奇函数,所以,所以,，又，所以，在上,的递减区间是，的递减区间是，所以.(2），把点代入得,即，又因为，，所以，所以，所以因而.【点睛】本题考查了正弦型函数的周期公式,考查了函数的奇函数性质，考查了函数的单调性，考查了函数的零点，考查了函数的最值，属于中档题.19.据相关数据统计，2019年底全国已开通基站13万个，部分省市的政府工作报告将“推进通信网络建设”列入2020年的重点工作，今年一月份全国共建基站3万个。（1）如果从2月份起，以后的每个月比上一个月多建设2000个，那么，今年底全国共有基站多少万个。（精确到0.1万个）（2）如果计划今年新建基站60万个，到2022年底全国至少需要800万个,并且，今后新建的数量每年比上一年以等比递增，问2021年和2022年至少各建多少万个オ能完成计划？（精确到1万个）【答案】（1）62。2万个，（2)2021年181万个，2022年547万个【解析】【分析】（1）今年每月建设基站的数量构成一个等差数列,首项为3万个，公差为0.2万，根据等差数列的求和公式可得今年建设基站的个数，再加上去年基站的个数即可得到答案；(2）依题意，每年新建基站的数量构成等比数列，设公比为，根据题意列式，可得,再求出和即可得到答案.【详解】(1）依题意，今年每月建设基站的数量构成一个等差数列，首项为3万个，公差为0。2万，所以今年一共建设基站万个，所以今年底全国共有基站万个。(2）依题意，每年新建基站的数量构成等比数列，设公比为，则，即，解得，所以万个，万个。所以2021年至少新建万个基站，2022年至少新建万个基站オ能完成计划。【点睛】本题考查了数列建模，考查了等差数列的求和公式和等比数列的通项公式，考查了运算求解能力，属于中档题。20。已知直线l：和椭圆：相交于点，（1)当直线l过椭圆的左焦点和上顶点时，求直线l的方程（2）点在上，若，求面积的最大值：（3）如果原点O到直线l的距离是，证明：为直角三角形.【答案】（1）（2)（3）证明见解析【解析】【分析】(1)由椭圆方程得左焦点和上顶点坐标，代入直线方程可得结果；（2）联立直线与椭圆方程可得的坐标，可得弦长,求出点到直线的距离。利用三角形面积公式可得面积，然后利用基本不等式可得最大值；(3)利用原点O到直线l的距离是可得，联立，利用韦达定理可得,，求出，利用可证结论.【详解】(1）由知，,，所以，所以,所以左焦点为,上顶点为，所以，，所以直线l的方程为。（2）联立，可得或，所以,，所以，又点到直线的距离，所以三角形的面积，因为要求面积的最大值，所以，所以,当且仅当时，等号成立.所以面积的最大值为.（3）原点到直线的距离为，所以，联立，消去并整理得，由韦达定理得，，所以,所以所以，所以为直角三角形.【点睛】本题考查了椭圆的几何性质，考查了点到直线的距离公式，考查了三角形的面积公式,考查了基本不等式,考查了平面向量的数量积，考查了运算求解能力,属于中档题.21.定义:是无穷数列，若存在正整数k使得对任意，均有则称是近似递增(减)数列,其中k叫近似递增（减)数列的间隔数（1)若，是不是近似递增数列，并说明理由（2）已知数列的通项公式为，其前n项的和为，若2是近似递增数列的间隔数，求a的取值范围:（3)已知，证明是近似递减数列，并且4是它的最小间隔数.【答案】（1)近似递增数列，详见解析（2）(3）证明见解析；【解析】【分析】(1）根据近似递增数列的定义判断可知是近似递增数列；（2）求出，根据,即恒成立,可得;（3）因为等价于，因为n，k是正整数,所以,均取不到，所以时上式恒成立，可得是近似递减数列，再验证时,不是近似递减数列，则可得4是它的最小间隔数。