多元函数微积分学

多元函数微积分学汇报人：AA2024-01-24多元函数基本概念与性质多元函数微分学应用重积分概念、性质及计算曲线积分与曲面积分无穷级数在多元函数微积分中应用目录01多元函数基本概念与性质多元函数定义设$D$为一个非空的$n$元有序数组的集合，$f$为某一确定的对应规则。若对于每一个有序数组$(x1,x2,…,xn)∈D$，通过对应规则$f$，都有唯一确定的实数$y$与之对应，则称对应规则$f$为定义在$D$上的$n$元函数。多元函数表示方法多元函数通常用符号$f(x1,x2,…,xn)$或$z=f(x1,x2,…,xn)$表示。其中，$x1,x2,…,xn$是自变量，$z$是因变量。多元函数定义及表示方法多元函数极限设函数$f(x1,x2,…,xn)$在点$P0(x10,x20,…,xn0)$的某去心邻域内有定义。如果存在常数$A$，对于任意给定的正数$epsilon$，总存在正数$delta$，使得当点$P(x1,x2,…,xn)$满足$0<|(x1-x10)2+(x2-x20)2+…+(xn-xn0)2|<delta$时，都有$|f(x1,x2,…,xn)-A|<epsilon$成立，则称常数$A$为函数$f(x1,x2,…,xn)$当$(x1,x2,…,xn)→(x10,x20,…,xn0)$时的极限。要点一要点二多元函数连续性如果函数$f(x1,x2,…,xn)$在点$P0(x10,x20,…,xn0)$处的极限值等于该点的函数值，即$lim_{(x1,x2,…,xn)to(x10,x20,…,xn0)}f(x1,x2,…,xn)=f(x10,x20,…,xn0)$，则称函数在该点连续。多元函数极限与连续性偏导数设函数$z=f(x,y)$在点$(x0,y0)$的某一邻域内有定义，当$y$固定在$y0$而$x$在$x0$处有增量$Deltax$时，相应地函数有增量$Deltaz=f(x0+Deltax,y0)-f(x0,y0)$。如果$Deltaz$与$Deltax$之比当$Deltax→0$时的极限存在，则称此极限为函数在点$(x0,y0)$处对$x$的偏导数。全微分如果函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$处的全增量$Deltaz=f(x+Deltax,y+Deltay)-f(x,y)$可以表示为$Deltaz=ADeltax+BDeltay+o(rho)$，其中$A,B$不依赖于$Deltax,Deltay$而仅与$x,y$有关，$rho=(Deltax)^2+(Deltay)^2)^{1/2}$，则称函数在该点可微，并称线性主部$ADeltax+BDeltay$为函数在点$(x,y)$处的全微分。偏导数与全微分概念及计算多元函数极值设函数$z=f(x,y)$在点$(x0,y0)$的某邻域内有定义。如果对于该邻域内异于$(x0,y0)$的任一点$(x,y)$，都有不等式$f(x,y)<f(x0,y0)（或f(x,y)>f(x0,y0)）$成立，则称函数在点$(x0,y0)$处有极大值（或极小值）。多元函数最值设函数$z=f(x,y)$在闭区域D上有定义。如果存在点$(x0,y0)∈D$，使得对于D上任意一点$(x,y)$都有不等式$f(x,y)≤f(x0,y0)（或f(x,y)≥f(x0,y0)）成立，则称函数在D上有最大值（或最小值）。多元函数极值与最值问题02多元函数微分学应用03空间曲线法平面方程求解根据切向量与法向量的关系，求得法向量后利用点法式方程求解法平面方程。01参数方程表示的空间曲线切线方程求解通过求导得到切向量，利用点向式方程求解切线方程。02一般方程表示的空间曲线切线方程求解转化为参数方程或利用隐函数求导法则得到切向量，进而求解切线方程。空间曲线切线与法平面方程求解显式方程表示的空间曲面切平面方程求解对曲面方程求偏导得到切平面法向量，利用点法式方程求解切平面方程。隐式方程表示的空间曲面切平面方程求解利用隐函数求导法则得到切平面法向量，进而求解切平面方程。空间曲面法线方程求解根据切平面法向量与法线向量的关系，求得法线向量后利用点向式方程求解法线方程。空间曲面切平面与法线方程求解方向导数与梯度在实际问题中应用通过计算目标函数的梯度可以确定函数值增加最快的方向，进而实现优化问题的求解。方向导数与梯度在优化问题中的应用通过计算方向导数可以确定物理量在某一方向上的变化率。方向导数在温度场、浓度场等物理场中的应用梯度表示物理量在空间中的分布情况和变化趋势，可用于求解力、电场强度等矢量场。梯度在力学、电磁学等领域的应用边际分析与弹性分析利用多元函数微分学中的偏导数概念，可以计算经济学中的边际效应和弹性系数，为经济决策提供量化依据。最优化问题求解多元函数微分学中的极值理论和条件极值方法可用于求解经济学中的最优化问题，如成本最小化、收益最大化等。多元回归分析多元函数微分学中的多元函数拟合和回归分析方法可用于探究多个自变量与一个因变量之间的相关关系，为预测和决策提供数据支持。多元函数微分学在经济学等领域应用03重积分概念、性质及计算在平面区域上，对二元函数进行积分，得到的结果称为二重积分。二重积分的定义包括线性性、可加性、保号性、绝对值不等式等。二重积分的性质通过变量替换、分部积分等方法进行计算，其中格林公式是计算二重积分的常用方法。二重积分的计算二重积分概念、性质及计算三重积分的定义在空间区域上，对三元函数进行积分，得到的结果称为三重积分。三重积分的性质与二重积分类似，具有线性性、可加性、保号性、绝对值不等式等性质。三重积分的计算通过变量替换、分部积分等方法进行计算，其中高斯公式是计算三重积分的常用方法。三重积分概念、性质及计算030201将二重或三重积分转换为柱面坐标系下的积分，简化计算过程。柱面坐标下的重积分将三重积分转换为球面坐标系下的积分，适用于球对称或轴对称的问题。球面坐标下的重积分利用柱面坐标和球面坐标计算重积分用于计算质心、转动惯量、引力势能等物理量。物理学中的应用用于计算面积、体积、质量等工程问题中的相关量。工程学中的应用用于计算总收益、总成本等经济问题中的相关量。经济学中的应用重积分在物理学等领域应用04曲线积分与曲面积分第一类曲线积分的定义：设$L$为平面上可求长度的曲线段，$f(x,y)$为定义在$L$上的函数。对$L$的任意分割$T$，它把$L$分割为$n$个可求长度的小曲线段$L_i(i=1,2,...,n)$，$L_i$的弧长记为$Deltas_i$，分割$T$的细度为$|T|=max{Deltas_1,Deltas_2,...,Deltas_n}$，在$L_i$上任取一点$(xi_i,eta_i)$，若极限$lim_{|T|to0}sum_{i=1}^{n}f(xi_i,eta_i)Deltas_i$存在，且其值与分割$T$和点$(xi_i,eta_i)$的取法无关，则称此极限为函数$f(x,y)$在曲线$L$上的第一类曲线积分，记为$int_{L}f(x,y)ds$。第一类曲面积分的定义：设$Sigma$为空间中的曲面，函数$f(x,y,z)$在$Sigma$上有定义。把$Sigma$任意地分成$n$个小曲面$Sigma_1,Sigma_2,...,Sigma_n$，每个小曲面的面积设为$DeltaS_i(i=1,2,...,n)$，分割的细度$|T|=max{DeltaS_1,DeltaS_2,...,DeltaS_n}$。在$Sigma_i$上任取一点$(X_i,Y_i,Z_i)$，作和式$sum_{i=1}^{n}f(X_i,Y_i,Z_i)DeltaS_i$。如果当各小曲面的直径中的最大值趋于零时，这个和式的极限存在，则称此极限为函数$f(x,y,z)$在曲面$Sigma$上的第一类曲面积分，记为$iint_{Sigma}f(x,y,z)dS$。第一类曲线积分与曲面积分定义及计算第二类曲线积分的定义设函数$P(x,y)$及$Q(x,y)$定义在平面有向可求长度曲线$L$上，对曲线$L$的任意分割$T$，它把$L$分割为$n$个有向小线段$overset{longrightarrow}{M_{i-1}M_i}(i=1,2,...,n)$，各小线段的弧长依次为$Deltas_i(i=1,2,...,n)$。在每个小线段上任取一点$(xi_i,eta_i)$，作乘积$(P(xi_i,eta_i)cosalpha_i+Q(xi_i,eta_i)cosbeta_i)Deltas_i(i=1,2,...,n)$并求和。记$lambda=max{Deltas_1,Deltas_2,...,Deltas_n}$，若不论对曲线$L$如何分割及如何取点，只要$lambdato0$时上述和式总趋于确定的极限值$I$，则称此极限值$I$为函数在曲线上的第二类曲线积分。第二类曲面积分的定义设空间曲面$Sigma:z=z(x,y),(x,y)inD_{xy}$（或其他两种形式）及向量值函数$mathbf{A}(x,y,z)=P(x,y,z)mathbf{i}+Q(x,y,z)mathbf{j}+R(x,y,z)mathbf{k}$，如果函数在曲面$Sigma:$上具有一阶连续偏导数，且$Sigma:$的侧（即$Sigma:$的法向量的指向）与$mathbf{A}$的方向成右手系，则称下列极限为向量值函数$mathbf{A}$通过曲面$Sigma:$流向指定侧的第二类曲面积分。第二类曲线积分与曲面积分定义及计算格林公式设闭区域由分段光滑的曲线围成，函数在该区域及边界上具有一阶连续偏导数，则有格林公式：$oint_{L}Pdx+Qdy=iint_{D}(frac{partialQ}{partialx}-frac{partialP}{partialy})dxdy$。高斯公式设空间有界闭合格林公式、高斯公式和斯托克斯公式介绍05无穷级数在多元函数微积分中应用无穷级数定义：无穷级数是无穷序列各项的和，表示为$sum_{n=0}^{infty}a_n$。收敛与发散：无穷级数收敛意味着其部分和序列有极限，发散则没有。绝对收敛与条件收敛：若$sum_{n=0}^{infty}|a_n|$收敛，则原级数绝对收敛；若原级数收敛但$sum_{n=0}^{infty}|a_n|$发散，则原级数条件收敛。比较判别法、比值判别法、根值判别法等：用于判断无穷级数收敛性的方法。无穷级数基本概念与性质回顾幂级数展开式在多元函数中的应用幂级数定义形如$sum_{n=0}^{infty}a_n(x-x_0)^n$的级数称为幂级数。多元函数的幂级数展开多元函数可以在某点处展开为幂级数，如$f(x,y)=sum_{n=0}^{infty}sum_{m=0}^{infty}a_{nm}(x-x_0)^n(y-y_0)^m$。收敛域与和函数幂级数的收敛域是其自变量的取值范围，和函数是幂级数在收敛域内的和。幂级数的运算性质幂级数在收敛域内具有加、减、乘等运算性质。傅里叶级数的应用在信号处理、图像处理等领域有广泛应用。傅里叶级数定义形如$sum_{n=-infty}^{infty}c_ne^{inx}$的级数称为傅里叶级数，其中$c_n$为傅里叶系数。多元函数的傅里叶展开多元函数可以在某区域内展开为傅里叶级数，如$f(x,y)=sum_{n=-infty}^{infty}sum_{m=-infty}^{i