概率论与数理统计说讲解

概率论与数理统计说讲解汇报人：AA2024-01-20BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA目录CONTENTS概率论基本概念随机变量及其分布多维随机变量及其分布数理统计基本概念和方法方差分析与回归分析初步随机过程简介与马尔可夫链初步BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA01概率论基本概念所有可能结果的集合，一般用大写字母S表示。样本空间不包含任何样本点的事件，其概率为0。不可能事件样本空间的子集，即某些可能结果的组合。事件一般用大写字母A、B、C等表示。事件只包含一个样本点的事件，也称为原子事件。基本事件包含样本空间中所有样本点的事件，其概率为1。必然事件0201030405样本空间与事件概率定义在相同条件下，对某事件A进行多次试验，事件A发生的频率稳定在某个常数p附近摆动，则称p为事件A发生的概率，记作P(A)=p。概率性质非负性、规范性（必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0）、可加性（互斥事件的概率和等于它们各自概率的和）。概率定义及性质条件概率在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，记作P(A|B)。条件概率的计算公式为P(A|B)=P(AB)/P(B)，其中P(AB)表示事件A和事件B同时发生的概率。事件的独立性如果事件A的发生与否对事件B发生的概率没有影响，则称事件A与事件B相互独立。对于相互独立的事件A和B，有P(AB)=P(A)P(B)。条件概率与独立性如果事件B1、B2、...、Bn构成一个完备事件组，即它们两两互斥且其和为全集，则对任一事件A，有P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|Bn)P(Bn)。全概率公式在全概率公式的假定下，贝叶斯公式提供了根据新的信息更新先验概率的方法。具体地，对于任一事件A和任一完备事件组B1、B2、...、Bn，有P(Bi|A)=[P(A|Bi)P(Bi)]/∑[P(A|Bj)P(Bj)]，其中i,j=1,2,...,n。贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA02随机变量及其分布随机变量是定义在样本空间上的实值函数，它将样本空间中的每一个样本点映射到一个实数。随机变量可分为离散型随机变量和连续型随机变量。离散型随机变量的取值是有限个或可列个，而连续型随机变量的取值则充满某个区间。随机变量定义及分类分类定义离散型随机变量的分布律描述了随机变量取各个值的概率。对于离散型随机变量X，其分布律可以用一个概率分布列{p(x)}来表示，其中p(x)表示X取值为x的概率。分布律定义二项分布、泊松分布、几何分布等。常见离散型随机变量分布离散型随机变量分布律概率密度函数定义连续型随机变量的概率密度函数是一个非负可积函数f(x)，它描述了随机变量在某个区间内取值的概率分布情况。对于任意实数a和b(a<b)，连续型随机变量X在区间[a,b]内取值的概率为∫f(x)dx(从a到b的定积分)。常见连续型随机变量分布正态分布、均匀分布、指数分布等。连续型随机变量概率密度函数随机变量函数分布设X是一个随机变量，g(X)是X的函数，那么g(X)也是一个随机变量，称为随机变量X的函数。随机变量函数的定义当已知随机变量X的分布时，可以通过一定的方法求出g(X)的分布。对于离散型随机变量，可以通过列举法或母函数法求出g(X)的分布；对于连续型随机变量，可以通过变换法或公式法求出g(X)的分布。随机变量函数的分布求法BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA03多维随机变量及其分布描述二维随机变量$(X,Y)$在某一取值范围内的概率。联合分布函数联合分布律联合概率密度函数对于离散型二维随机变量，联合分布律给出所有可能取值的概率。对于连续型二维随机变量，联合概率密度函数描述其在某一取值范围内的概率分布情况。030201二维随机变量联合分布由联合分布函数推导出的关于单一随机变量的分布函数。边缘分布函数由联合分布律推导出的关于单一随机变量的分布律。边缘分布律在已知一个随机变量取值的条件下，另一个随机变量的分布情况。条件分布边缘分布与条件分布若两个随机变量的联合分布函数等于各自分布函数的乘积，则称这两个随机变量相互独立。定义相互独立的随机变量在概率计算上具有简化性质，如期望、方差等运算可单独进行。性质相互独立随机变量

多维随机变量函数分布多维随机变量的函数将多维随机变量通过某一函数关系映射到新的随机变量上。函数分布描述多维随机变量函数取值情况的概率分布。变换法通过求解多维随机变量函数的概率密度函数或分布律，得到其函数分布情况。BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA04数理统计基本概念和方法研究对象的全体个体组成的集合，通常用一个分布函数来描述。总体从总体中随机抽取的一部分个体，用于推断总体的性质。样本由样本数据计算得到的用于描述样本特征的量，如样本均值、样本方差等。统计量总体、样本和统计量抽样分布及性质抽样分布样本统计量的概率分布，描述了样本统计量取值的概率规律。性质抽样分布具有无偏性、一致性和有效性等性质，这些性质保证了样本统计量能够准确地反映总体的特征。VS用一个具体的数值来估计总体参数的方法，如样本均值估计总体均值。区间估计根据样本数据构造一个置信区间来估计总体参数的方法，该区间以一定的概率包含总体参数的真值。点估计参数估计方法0102原理先对总体参数提出一个假设，然后利用样本信息来判断这个假设是否成立。1.提出假设包括原假设和备择假设。2.构造检验统计量根据假设和样本数据构造一个检验统计量。3.确定拒绝域根据显著性水平和检验统计量的分布确定拒绝域。4.计算检验统计量的…将样本数据代入检验统计量计算其值，然后根据该值和拒绝域作出是否拒绝原假设的决策。030405假设检验原理及步骤BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA05方差分析与回归分析初步方差分析的应用场景适用于多个总体均数差别的显著性检验，如医学、农学、心理学等领域。方差分析的基本步骤建立假设、构造检验统计量、确定显著性水平、作出决策。方差分析的基本原理通过比较不同组别数据的方差，判断各因素对结果的影响是否显著。方差分析原理及应用03回归分析的基本步骤确定自变量和因变量、建立回归模型、估计模型参数、检验模型显著性。01回归分析的基本原理通过建立因变量与自变量之间的回归方程，描述变量间的依存关系。02回归分析的应用场景适用于预测、控制、优化等问题，如经济学、金融学、社会学等领域。回归分析原理及应用线性回归模型的建立根据自变量和因变量的数据，选择合适的线性回归方程形式。线性回归模型的检验通过残差分析、拟合优度检验等方法，评估模型的拟合效果和预测能力。线性回归模型的优化针对模型存在的问题，如异方差性、自相关性等，采取相应的优化措施。线性回归模型建立与检验非线性回归模型的概念01当因变量与自变量之间的关系不能用线性方程描述时，需要采用非线性回归模型。非线性回归模型的类型02常见的非线性回归模型包括指数函数、对数函数、幂函数等。非线性回归模型的建立与检验03与线性回归模型类似，需要选择合适的模型形式，进行参数估计和模型检验。同时，针对非线性模型的特性，还需注意一些特殊问题，如参数的可识别性、模型的稳定性等。非线性回归模型简介BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA06随机过程简介与马尔可夫链初步随机过程是一族依赖于参数（通常是时间）的随机变量，用于描述随机现象随时间的演变。根据随机过程的性质，可以将其分为平稳过程、独立增量过程、马尔可夫过程等。随机过程的定义随机过程的分类随机过程定义及分类马尔可夫链的定义马尔可夫链是一种特殊的随机过程，具有“无后效性”，即未来的状态只与当前状态有关，而与过去的状态无关。要点一要点二马尔可夫链的性质马尔可夫链具有时齐性、遍历性、常返性、周期性等性质。马尔可夫链基本概念和性质马尔可夫链状态分类根据马尔可夫链的性质，可以将其状态分为可达的、互通的、常返的、暂留的等类型。遍历性定理对于不可约且非周期的马尔可夫链，如果存在一个状态是常返的，则所有状态都是常返的，且该马尔可夫链具有遍历性。马尔可夫链状态分类和遍历性定理