常熟市2022-2023学年高二下学期期中数学试题含解析

常熟市2022~2023学年第二学期期中试卷高二数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．函数的单调递减区间为（）A． B． C． D．2．已知函数的图象在处的切线方程为，则（）A．-2 B．-1 C．0 D．13．苏州有很多闻名的旅游景点.现有两位游客幕名来到苏州，都准备从甲、乙、丙、丁4个著名旅游景点中随机选择一个游玩.设事件为“两人至少有一人选择丙景点”，事件为“两人选择的景点不同”，则条件概率（）A． B． C． D．4．若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．5．用0，1，2，3，4这5个数字组成没有重复数字的三位数，其中为偶数的共有（）A．24个 B．30个 C．36个 D．42个6．函数的图象大致为（）A． B．C． D．7．有4种不同颜色的涂料，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域的颜色不相同，则不同的涂色方法共有（）A．1512种 B．1346种 C．912种 D．756种8．若对任意的，且，有，则的取值范围是（）A． B． C． D．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错或不答的得0分．9．下列命题正确的有（）A．若，则 B．若，则C． D．10．已知，则（）A．展开式中所有项的二项式系数和为B．C．D．11．已知函数，则下列说法中正确的是（）A．的零点个数为4 B．的极值点个数为3C．轴为曲线的切线 D．若，则12．已知函数，则以下结论正确的是（）A．函数的单调减区间是B．函数有且只有1个零点C．存在正实数，使得成立D．对任意两个正实数，，且，若，则三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．13．已知函数，若过点的直线与曲线相切，则该直线斜率为______．14．二项式展开式的常数项为______．15．已知函数，若函数至少有两个零点，则的取值范围是______．16．已知是函数的导函数，在定义域内满足，且，若，则实数的取值范围是______．四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知函数在处取得极值．（1）求的单调区间；（2）若在上恒成立，求实数的取值范围．18．（本小题满分12分）7名师生站成一排照相留念，其中老师1名，男同学4名，女同学2名．（1）若两位女生相邻，但都不与老师相邻的站法有多少种？（2）若排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边的站法有多少种？（3）现有16个相同的口罩全部发给这6名学生，每名同学至少发2个口罩，则不同的发放方法有多少种？19．（本小题满分12分）下图为某仓库一侧墙面的示意图，其下部是矩形ABCD，上部是圆弧AB，该圆弧所在的圆心为O，为了调节仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH（其中E，F在圆弧AB上，G，H在弦AB上）．过O作，交AB于M，交EF于N，交圆弧AB于P，已知，（单位：m），记通风窗EFGH的面积为S（单位：）．（1）设，将S表示成x的函数；（2）通风窗的高度MN为多少时，通风窗EFGH的面积S最大？20．（本小题满分12分）一个猜谜语活动，有A和B两道谜语，小明猜对A谜语的概率为0.8，猜对获得奖金10元，猜对B谜语的概率为0.5，猜对获得奖金20元猜不出不给奖金．（1）设事件A：“两道谜语中小明恰好答对一道”，求事件A发生的概率P（A）；（2）如果按照如下规则猜谜：只有在猜对一道谜语的情况下，才有资格猜下一道．①若猜谜语顺序由小明选择，小明应该先猜哪一道呢？②若小明已经获得30元奖金，此时主办方临时增加了一道终极谜语C，猜对奖金为60元，参赛者可以自行选择是否继续猜谜。假设小明猜对C谜语的概率为a，若小明不继续，可以直接拿走奖金，若继续且答错C谜语，则没收全部奖金．若继续且答对C谜语，即可获得A谜语、B谜语和C谜语的所有奖金．问：概率a至少为何值，值得小明同学继续猜谜？21．（本小题满分12分）已知二项式．（1）若它的二项式系数之和为128.①求展开式中二项式系数最大的项；②求展开式中系数最大的项；（2）若，求二项式的值被7除的余数.22．（本小题满分12分）已知函数．（1）若，求的极值；（2）讨论的单调性；（3）若对任意，有恒成立，求整数m的最小值.常熟市2022~2023学年第二学期期中试卷高二数学参考答案一、单项选择题1．C2．B3．D4．D5．B6．C7．D8．A二、多项选择题9．BCD 10．ABD 11．BC 12．ABD三、填空题13．3 14．-672 15． 16．四、解答题：本题共6小题，共70分.17．解：（1）∵，，又在处取得极值，∴，∴，检验：当时，，，，令，得，当x变化时，，的变化情况如表所示.x-0+单调递减单调递增在处取得极小值成立；所以的单调递减区间是，单调递增区间是.（2）由（1）知在单调递减，单调递增，又，，则，.若在上恒成立，则.即，解得或，所以实数c的取值范围是.18．解：（1）先把除两位女生和老师这3人外的4人排好，有种排法，由于两名女生相邻，故再把两名女生排好，有种排法，最后把排好的女生这个整体与老师分别插入原先排好的4人之间及两端的5个空隙中，有种排法.故排法共有（种）.（2）法一甲在最右边时，其他的可全排，有种方法；甲不在最右边时，可从余下的5个位置任选一个，有种，而乙可排在除去最右边的位置后剩下的5个中任选一个有种，其余人全排列，只有种不同排法，共有（种）.法二7名学生全排列，只有种方法，其中甲在最左边时，有种方法，乙在最右边时，有种方法，其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有种方法，共有（种）.（3）法一16个相同的口罩，每位同学先拿一个，剩下的10个口罩排成一排有9个间隙，插入5块板子分成6份，每一种分法所得6份给到6个人即可，所以不同的发放方法种.法二先分发给每位学生2个口罩，再将剩下4只相同的口罩分给6位同学，有五类分法：1．四只口罩分给1人，有种分法；2．四只口罩分成2，1，1三份分给3人，有种分法；3．四只口罩分成2，2两份分给2人，有种分法；4．四只口罩分成3，1两份分给2人，有种分法；5．四只口罩分成1，1，1，1四份分给4人，有种分法；则共有种分法.19．解：（1）由题意知，，，故.因为，，所以.在中，.在矩形EFGH中，，，故.即所求函数关系是，.（2）因为，令，则，则.因为当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以当时，取到最大值，此时S有最大值.即时，通风窗的面积最大.20．解：（1）；（2）（1）有两种顺序；先猜A；先猜B.设选择先猜A谜语得到的奖金为X元，选择先猜B谜语得到的奖金为Y元.X的可能取值为：0，10，30，，，，∴X的分布列为：X01030P0．20．40．4则.Y的可能取值为：0，20，30，，，，∴Y的分布列为：Y02030P0．50．10．4则，∵，∴小明应该先猜A；（2）设小明谜续谜语得到的奖金为Z元，Z的可能取值为：0，90，则Z的分布列为：Z090P1-aa则，若，则，即当a至少为时，值得小明同学继续猜谜.21．解：（1）∵∴，通项为.①二项式系数最大的项为第4，5项，，.②设展开式中系数最大的项为第项，则，，，解得，因为，2，3，4，5，6，所以或.所以展开式中系数最大的项为第6，7项，，.（2）当，时，，因为，所以二项式的值被7除的余数就是被7除的余数.因为，所以被7除的余数为1，所以二项式的值被7除的余数为1.22．解：（1）当时，，.当时，，则在上单调递增；当时，，则在上单调递减.所以在时取得极大值为，无极小值.（2）因为